小学奥数行程问题核心

行程问题（第二讲）

奥数行程：多人行程的要点及解题技巧

行程问题是小学奥数中难度系数比拟高的一个模块，在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程

问题的身影。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。

每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，

三个关系"

这三个量是：路程（s）、速度（V）、时间（t）

三个关系：1.简单行程：路程二速度x时间

2.相遇问题：路程和=速度和X时间

3.追击问题：路程差二速度差X时间

牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

如“多人行程问题〃，实际最常见的是“三人行程〃

例：有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背

而行。甲每分钟走4（）米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相

遇。问：这个花圃的周长是多少米？

分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以

及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇:在3分钟的时间里,甲、丙的路程和为［4»36）X3=228（米）

第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向

的追击过程,可求出甲、乙相遇的时间为228+（38-36）=114（分钟）

第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周长为（40+38）XI14=8892（米）

我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的"三个

关系”，解决行程问题并非难事！

奥数行程：走走停停的要点及解题技巧

一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做

1.画出速度和路程的图。

2.要学会读图。

3.每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。

4.要注意每一个行程之间的联系。二、学好行程问题的要诀

行程问题可以说是难度最大的奥数专题。

类型多：行程分类细，变化多，工程抓住工作效率和比例关系，而行程每个类型重点不一,

因此没有一个关键点可以抓

题目难：理解题目、动态演绎推理一一静态知识容易学，动态分析需要较高的理解能力、逻

辑分析和概括能力

跨度大：从三年级到六年级都要学行程一一四年的跨度，需要不断的复习稳固来加深理解、

夯实根底

那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？

要诀一：大局部题目有规律可依，要诀是”学透〃根本公式

要诀二：无规律的题目有〃攻略〃，一画（画图法）二抓（比例法、方程法）

竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想（比方：假设法、比例、方程：等的熟练

运用，而这些方法和思想，都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。

模块一

奥数行程：多人行程例题及答案（一）

行程问题是小学奥数中难度系数比拟高的一个模块，在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程

问题的身影。多人行程--这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追

及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。例1.甲乙

丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小时到达西村

后立刻返回。在距西村30公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？

答案一：

设乙每小时行x公里,那么甲为x+12,丙为x-15+12=x-3

3.5*12=（x+12）*2

x=9甲为21公里，丙为6公里，

21*3.5*2/（21+6）=5.44小时

丙行了5.44小时和甲相遇

答案二：

在距西村30公里处和乙相聚，那么中比乙多走60公里，

而甲骑自行车每小时比乙快12公里，

所以，甲乙相聚时所用时叵是60/12=5小时，

所以甲从西村到和乙相聚用了5-3.5=1.5小时，

所以，甲速是：30/1.5=20公里/小时,

所以，丙速是：20-15=5公里/小时,

东村到西村的距离是：20*3.5=70公里，

所以，甲丙相遇时间是：（2*70）/（20+5）=5.6小时例2.难度：高难度甲、乙、丙三辆车同

时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米/时和48千米/时。有一辆迎面开来的卡车

分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、内三辆车相遇。求内车的速度。

【解答】

解题思路：（多人相遇问题要转化成两两之间的问题，咱们的相遇和追击公式也是研究的两者。另

外ST图也是很关键）

第一步：当甲经过6小时与卡车相遇时，乙也走了6小时，甲比乙多走了660-486=72千米；（这

也是现在乙车与卡车的距离）

第二步：接上一步，乙与卡车接着走1小时相遇，所以卡车的速度为72-481=24第三步：综上

整体看问题可以求出全程为：（60+24）6=504或（48+24）7=504四步：收官之战：5048-24=39（千米）

考前须知：画图时，要标上时间，并且多人要同时标，以防思路错乱！例3.难度：高难度李

华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前

来迎接，每小时比李华多走L2千米，又经过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时

在途中某地相遇。问：张明每小时行驶多少千米？

【解答】

老师出发时和李华相距20.4-4X0.5=18.4千米,再过18.4+（4+4+1.2）=2小时相遇,相遇地点

距学校2X4+2=10千米，张明行驶的时间为0.5小时，因此张明的速度为104-0.5=20千米/时。

奥数行程：二次相遇例题及答案（一）

答题思路点拨：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到

B地后返回，乙继续走到A地后返回,第一次在D地相遇。一般知道AC和AD的距离,主要抓住第一次

相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

例1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即

返回，在距A地42千米处相遇,请问A、B两地相距多少千米？

A.120B.100C.90D.80

【解答】A。解析：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x,第二次相遇两车共走

了2x,由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即

54X2=x-54+42,得出x=120。

例2.两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原

路返回，在离A城44千米处相遇。两城市相距（）千米

A.200B.150C.120D.100

【解答】I）。解析：第一次相遇时两车共走一个全程，第二次相遇时两车共走了两个全程，从A城

出发的汽车在第二次相遇时走了52X2=104千米，从B城出发的汽车走了52+44=94千米，故两城间距

离为（104+96）+2=100千米。

绕圈问题：

例3.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟

甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，那么甲环行一周需要（）?

A.24分钟B.26分钟C.28分钟D,30分钟

【解答】C。解析：中、乙两人从笫一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。也就是说，两人

16分钟走一圈。从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走半圈，即从A到B是半圈，甲从A

到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14X2=28分钟。也是一个倍数关系。

奥数行程：二次相遇例题及答案（二）

例1.两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63

千米，经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？（适于五年级程度）

【解答】两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它

行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就

是两地距离。

56X4=224（千米）63X4=252（千米）

224+252=476（千米）

综合算式：56X4+63X4=224+252

=476（千米）

答：甲乙两地相距476千米。

例2.两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每

小时行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度）

解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两

车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。

480-（40+42）X5=480-82X5=480-410

=70（千米）

答：5小时后两列火车相距70千米。

例3.两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小

时行驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。（适

于五年级程度）

解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火

车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距

离。

（60+55）义[20=（60-55：]=115X[20^-5]

=460（千米）

答：甲、乙两地间的距离为460千米。

奥数行程：追及问题的要点及解题技巧

一、多人相遇追及问题的概念及公式

多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

所有行程问题都是围绕“这一条根本关系式展开的，比方我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追

及问题的本质也是这三个量之叵的关系转化.由此还可以得到如下两条关系式：

多人相遇与迫及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即

可迎刃而解•.

二、屡次相遇追及问题的解题思路

所有行程问题都是围绕〃〃这一条根本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住

这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解.

屡次相遇与全程的关系

1.两地相向出发：

第1次相遇，共走1个全程；

第2次相遇，共走3个全程；

笫3次相遇，共走5个全程；

第N次相遇，共走2NT个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲

第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

2.同地同向出发：

第1次相遇，共走2个全程；

第2次相遇，共走4个全程；

第3次相遇，共走6个全程；

第N次相遇，共走2N个全程；

3、多人屡次相遇追及的解题关键

屡次相遇追及的解题关键几个全程

多人相遇追及的解题关键路程差.

奥数行程：火车过桥的例题及答案（一）

例1.一列火车长150米，每秒钟行19米。全车通过长800米的大桥，需要多少时间？【解

答】列车过桥，就是从车头上桥到车尾离桥止。车尾经过的距嘲二车长+桥长，车尾行驶这段路程所用的

时间用车长与桥长和除以车速。

解：（800+150）+19=5（）（秒）答：全车通过长800米的大桥，需要50秒。例2.一列火

车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。这条隧道长

多少米？

【解答】先求出车长与隧道长的和，然后求出隧道长。火车从车头进洞到车尾离洞，共走车长+隧

道长。这段路程是以每秒8米的速度行了40秒。

解：（1）火车40秒所行路程：8X40=320（米）

（2）隧道长度：320-200=120（米）

答：这条隧道长120米。例3.一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米

的速度从对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？【解答】此题是求火车车头与小华相遇时

到车尾与小华相遇时经过的时叵。依题意，必须要知道火车车头与小华相遇时，车尾与小华的距离、火

车与小华的速度和。

解：（1）火车与小华的速度和：15+2=17（米/秒）

（2）相距距离就是一个火车车长：119米

（3）经过时间：119+17=7（秒）

答：经过7秒钟后火车从小华身边通过。

奥数行程：流水行船的要点及解题技巧

一、什么叫流水行船问题船在水中航行时，除了自身的速度外，还受到水流的影响，在这种情况下计

算船只的航行速度、时间和行程，研究水流速度与船只自身速度的相互作用问题，叫作流水行船问题。

二、流水行船问题中有哪三个根本量？流水行船问题是行程问题中的一种，因此行程问题中的速度、时

间、路程三个根本量之间的关系在这里也当然适用.

三、流水行船问题中的三个根本量之间有何关系？

流水行船问题还有以下两个根本公式：

顺水速度=船速+水速，（1）

逆水速度二船速-水速.（2）

这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里

流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

根据加减法互为逆运算的关系，由公式（1）可以得到：

水速二顺水速度-船速，

船速=顺水速度-水速。

由公式（2）可以得到：

水速二船速-逆水速度，

船速=逆水速度+水速。

这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出

第三个量。另外，船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2）,相加和相减就可以得到：

船速二（顺水速度+逆水速度）4-2,

水速=（顺水速度-逆水速度）;2。

奥数行程：走走停停的例题及答案（一）

例1.甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行驶，甲100米/分，乙80米/分，两人每跑200米休

息1分钟，甲需多久第一次追上乙？

【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上。

很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，如果不行再考虑在休息过程中被追上，最后考虑行进中被追

上。其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休息点追上的。

由此首先考虑休息800+200—1=3分钟的情况。甲就要比乙多休息3分钟，就相当于甲要追乙800十

80X3=1040米，需要1040+（100-80）=52分钟，52分钟甲行了52X100=5200米，刚好是在休息

点追上的满足条件。行5200米要休息5200・200—1=25分钟。因此甲需要52+25=77分钟第一次追

上乙。例2.在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，

按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒.那么，甲追上乙需要

多少秒？【解答】这是传说中的“走走停停〃的行程问题。这里分三种情况讨论休息的时间，第一、如

果在行进中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息5秒，第

三，如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲比乙多休息的时间，就在这5〜10秒之间.显然我们

考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，又是否在休息中追上，最后考虑在行进中追上。有了以上的分

析，我们就可以来解答这个题了。我们假设在同一个地点，甲比乙晚出发的时间在200/7+5=235/7和

200/7+10=270/7的之间，在以后的行程中，甲就要比乙少用这么多时间,由于甲行100米比乙少用

100/5—100/7=40/7秒。继续讨论，因为270/7+40/7不是整数，说明第一次追上不是在乙休息结束的

时候追上的。因为在这个范围内有240/7+40/7=6是整数，说明在乙休息的中追上的。即甲共行了

6X100+200=800米，休息了7次，计算出时间就是800/7+7X5=149又2/7秒。注：这种方法不适

于休息点不同的题，具有片面性。

例3.在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,

按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒.那么，甲追上乙需要

多少秒？这里分三种情况讨论休息的时间，第一、如果在行进中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如

果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲

比乙多休息的时间，就在这5~1()秒之间。显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，又是否在

休息中追上，最后考虑在行进中追上。有了以上的分析，我们就可以来解答这个题了。我们假设在同

一个地点，甲比乙晚出发的时间在200/7+5=235/7和200/7+10=270/7的之间，在以后的行程中，

甲就要比乙少用这么多时间，由于甲行100米比乙少用100/5—100/7=40/7秒。

继续讨论，因为270/7+40/7不是整数，说明第一次追上不是在乙休息结束的时候追上的。因为在

这个范围内有240/7+40/7=6是整数，说明在乙休息的中追上的。即甲共行了6义100+200=800米,

休息了7次，计算出时间就是800/7+7X5=149又2/7秒。

奥数行程：多人行程例题及答案(二)

行程问题是小学奥数中难度系数比拟高的一个模块，在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程

问题的身影。多人行程--这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追

及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。

例LAB两地相距30千米，甲乙丙三人同时从A到B,而且要求同时到达。现在有两辆自行车，但

不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。骑自行车的平均速度为每小时20千

米，甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙每小时4千米，那么三人需要多少小时可以同时到达？

【解答】因为乙丙步行速度相等，所以他们两人步行路程和骑车路程应该是相等的。对于甲因为他

步行速度快一些，所以薪车路程少一点，步行路程多一些。

现在考虑甲和乙丙步行路程的距离。甲多步行1千米要用1/5小时，乙多骑车1千米用1/20小时，

甲多用1/5-1/20=3/20小时。

甲步行1千米比乙少用1/4-1/5=1/20小时。，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：1/20/

(3/20=1/3.

这样设乙丙步行路程为3份，甲步行4份。如下列图安排：

这样甲骑车行骑车的3/5,步行2/5.

所以时间为:30*3/5/20+30*2/5/5=3.3小时。

例2.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相

背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙

相遇。问：这个花圃的周长是多少米？

【解答】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，

以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为(4036)X3=228(米)

第一个追击；这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向

的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228+(38-36)=114(分钟)

第一个相遇：在114分钟里，甲、乙一人一起走完了全程

所以花圃周长为（40+38）XI14=8892（米）

我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。总之，行程

问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好'‘三个量"之间的"三个关系'，解决行

程问题并非难事！

奥数行程：二次相遇的要点及解题技巧

一、概念：

两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的开展，必然面对面地相遇，这

类问题叫做相遇问题。

二、特点：它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。

三、类型：

相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。

四、三者的根本关系及公式：

它们的根本关系式如下：

总路程=（甲速+乙速）X相遇时间

相遇时间=总路程。（甲速+乙速）

另一个速度二甲乙速度和-的一个速度.

奥数行程：追及问题例题及答案（二）

例1.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方

追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。

问这时是几点几分？

【解答】先画出示意图图37-1如下（图377中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二

次追上小明的地方）。从图37T上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点

到R点，行完隆-4=）4千米：爸爸先从A点到家，再从家到R点，行完（R+4=）12千米。可见，爸

爸的速度是小明的（12・4二）3倍。从而，行完同样多的路程（比方从家到A点），小明所用的时间就

是爸爸的3倍。

由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。

这样可以算出，小明从家到A所用的时间为

8+（3-1）X3=12（分）84-（3-1）X3XX2=24（分）例2.A、B两地间有条公路，甲从A地出发，

步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第

一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？

【解答】由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100-80=20（分钟）内所走的路程恰

笔于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度

是甲的9倍（=1804-20）,那么BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B,共需走80X（1+9）=800（分

钟），乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时

开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟，所以，在甲从A到B

的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟.奥数行程:

二次相遇例题及答案（二）

例1.两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63

千米，经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？1适于五年级程度）

【解答】两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它

行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就

是两地距离。

56X4=224（千米）

63X4=252（千米）

224+252=476（千米）

综合算式：

56X4+63X4

=224+252

=476（千米）答：甲乙两地相距476千米。

例2.两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时

行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？[适于五年级程度）

解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5

小时共行的路程，所得就是两车的距离。

480-（40+42）X5

=480-82X5

=480-410

=70（千米）答：5小时后两列火车相距70千米.

例3.两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行

驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。（适于五

年级程度）

解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每

小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。

（60+55）X[204-（60-55）]=115X[204-5]

=460（千米）答：甲、乙两地间的距离为460千米。

奥数行程：追及问题的要点及解题技巧

一、多人相遇追及问题的概念及公式

多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题

都是围绕“〃这一条根本关系式展开的，比方我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是

这三个量之间的关系转化.由此还可以得到如下两条关系式：多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要

抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解.

二、屡次相遇追及问题的解题思路

所有行程问题都是围绕“这一条根本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住

这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解.屡次相遇与全程的关系

1.两地相向出发：

第1次相遇，共走1个全程；

第2次相遇，共走3个全程；

第3次相遇，共走5个全程；......，..............；

第N次相遇，共走2NT个全程：

注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2M

米。

2.同地同向出发：

第1次相遇，共走2个全程；

第2次相遇，共走4个全程：

第3次相遇，共走6个全程:

第N次相遇，共走2N个全程；

3、多人屡次相遇追及的解题关键

屡次相遇追及的解题关键几个全程

多人相遇追及的解题关键路程差

奥数行程：追及问题例题及答案（一）

例1.一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔】（）分

钟有一辆公交车超过-一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每

隔相同的时间发一辆车，那么同隔几分钟发一辆公交车？

A.10B.8C.6D.4

【解答】

我们知道这个题目出现了2个情况，就是

（1）汽车与骑自行车的人的追击问题，

（2）汽车与行人的追击问题

追击问题中的一个显著的公式就是路程差=速度差X时间

我们知道这甲.的2个追击情况的路程差都是汽中的间隔发不距离“是相等的.因为我们要求的是关于时

间所以可以将汽车的间隔距离看作单位1.

那么根据追击公式（1）（V汽车-V步行）=1/10

⑵（V汽车一3V步行）=1/20

（1）X3-（2）=2V汽车=3/10-1/20很快速的就能解得V汽车=1/8答案显而易见是8

例2.小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。扶梯方向向上，小芳那么从二楼到一楼。小明的速度是小芳的

2倍。小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。如果我们把一个箱子放在一楼的第一个阶

梯上问多长时间可以到达二楼？

【解答】跟上面一题一样。这个题目也是2个行程问题的比拟

（1）小明跟扶梯之间是方向相同

（1）（V小明+V扶梯）=1/2

（2）小芳跟扶梯的方向相反

⑵（V小芳一V扶梯）=1/8

（1）-2X（2）=3V扶梯=1/4可见扶梯速度是1/12答案就显而易见了。总结：在多个行程问题模型存在的

时候。我们利用其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。可以很轻松的一步求得结果！

奥数行程：追及问题例题及答案（二）

例1.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的

地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰

好是8千米。问这时是几点几分？

【解答】先画出示意图图37T如下（图37T中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二

次追上小明的地方）。从图37T上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点

到B点，行完（8-4=）4千米；爸爸先从A点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12千米。可见，爸

爸的速度是小明的（12^4=）3倍。从而，行完同样多的路程（比方从家到A点），小明所用的时间就

是爸爸的3倍。

由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。

这样可以算出，小明从家到A所用的时间为

89(3-1)X3=12(分)

84-(3-1)X3XX2=24(分)例2.A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从

B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第

一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？

【解答】由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100-80=20(分钟)内所走的路程恰

等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在(80+100)分钟内所走的路程，因此，乙的速度

是甲的9倍(=1804-20),那么BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B,共需走80X(1+9)=800(分

钟)，乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时

开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟，所以，在甲从A到B

的80()分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和70()分钟.奥数行程:

火车过桥的要点及解题技巧

一、什么是过桥问题？

火车过桥问题是行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车

长、桥长等问题。根本数量关系是火车速度X时间;车长+桥长

二、关于火车过桥问题的三种题型：

(1)基此题型：这类问题需要注意两点：火中车长记入总路程；重点是年尾：火午与人擦肩而过，即

车尾离人而去。

如：火车通过一条长1140米的桥梁用了50秒，火车穿过1980米的隧道用了80秒，求这列火车的速度

和车长。(过桥问题)

一列火车通过800米的桥需55秒，通过500米的隧道需40秒。问该列车与另一列长384、每秒钟行

18米的列车迎面错车需要多少秒钟？(火车相遇)

(2)错车或者超车：看哪辆车经过，路程和或差就是哪辆车的车长

如：快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车的2倍，

如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么，坐在决车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？

(3)综合题：用车长求出速度；虽然不知道总路程，但是可以求山某两个时刻间两人或车之间的路程

关系

如：铁路旁有一条小路，一列长为110米的火车以每小时30T•米的速度向南驶去，8点时追上向南行走

的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北走的农民，12秒后离开这个农民。问军人与

农民何时相遇？

奥数行程：火车过桥的例题及答案(一)

例1.一列火车长150米，每秒钟行19米。全车通过长800米的大桥，需要多少时间？【解答】列

车过桥，就是从车头上桥到车尾离桥止。车尾经过的距离-车长;桥长，车尾行驶这段路程所用的时间用

车长与桥长和除以车速。

解：(800+150)4-19=50(秒)

答：全车通过长800米的大桥，需要50秒。

例2.一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40

秒。这条隧道长多少米？

【解答】先求出车长与隧道长的和，然后求出隧道长。火车从车头进洞到车尾离洞，共走车长+隧

道长。这段路程是以每秒8米的速度行了40秒。解：(1)火车40秒所行路程：8X40=3201米)

(2)隧道长度：320-200=120(米)

答：这条隧道长120米。

例3.一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从对面走来，经过几

秒钟后火车从小华身边通过？

【解答】此题是求火车车头与小华相遇时到车尾与小华相遇时经过的时间。依题意，必须要知道火

车车头与小华相遇时，车尾与小华的距离、火车与小华的速度和。

解：（1）火车与小华的速度和：15+2=17（米/秒）

（2）相距距离就是一个火车车长：119米

（3）经过时间：119+17=7（秒）

答：经过7秒钟后火车从小华身边通过。

奥数行程：火车过桥的例题及答案（二）

例1.某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的铁桥用23秒，该列车与另一列长320

米，速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要（）秒。

【解答】火车过桥问题

公式：（车长+桥长）/火车车速=火车过桥时间

速度为每小时行64.8千米的火车，每秒的速度为18米/秒，

某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的铁桥月23秒，那么

该火车车速为：（250-210）/（25-23）=20米/秒

路程差除以时间差等于火车车速.

该火车年长为：20*25-250=250（米）

或20*23-210=250（米）

所以该列车与另一列长320米，速度为每小时行64.8千犬的火车错车时需要的时间为

（320+250）/（18+20）=15（秒）

例2.一列火车长160m,匀速行驶，首先用26s的时间通过甲隧道（即从车头进入口到车尾离开口

为止），行驶了100km后又用15s的时间通过乙隧道，到达了某车站，总行程100.352km。求甲、乙隧

道的长？

【解答】设甲隧道的长度为xm

那么乙隧道的长度是1100.352700）1单位是千米！）*1000-x=（352-x）

那么（x+160）/2G=（352-x+160）/1G

解出x=256

那么乙隧道的长度是352-256=96

火车过桥问题的根本公式

（火车的长度+桥的长度）/'时间=速度

例3.甲、乙两人分别沿铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过,

用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒，两人的步行速度都是3.6千米/小时，这列火车有多长？

【解答】从题意得知，甲与火车是一个相遇问题，两者行驶路程的和是火车的长.乙与火车是一个

追及问题，两者行驶路程的差是火车的长，因此，先设这列火车的速度为x米/秒，两人的步行速度3.6

千米/小时=1米/秒，所以根据甲与火车相遇计算火车的长为（15x+1X15）米，根据乙与火车追及计算

火车的长为（17x-IX17）米，两种运算结果火车的长不变，列得方程为

15x+1X15=17X-1X17

解得：x=16

故火车的长为17X16-1X17=255米

奥数行程：流水行船的要点及解题技巧

一、什么叫流水行船问题

船在水中航行时，除了自身的速度外，还受到水流的影响，在这种情况下计算船只的航行速度、时

间和行程，研究水流速度与船只自身速度的相互作用问题，叫作流水行船问题。二、流水行船问题中有

哪三个根本量？流水行船问题是行程问题中的一种,因此行程问题中的速度、时间、路程三个根本量之

间的关系在这里也当然适用.

三、流水行船问题中的三个根本量之间有何关系？

流水行船问题还有以下两个根本公式：顺水速度:船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）

这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间

里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

根据加减法互为逆运算的关系，由公式（1）可以得到：

水速二顺水速度-船速，

船速二顺水速度-水速。

由公式（2）可以得到：

水速二船速-逆水速度，

船速=逆水速度+水速。

这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出

第三个量。

另外，船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2）,相加和相减就可以得到；

船速=〔顺水速度+逆水速度）4-2,

水速=（顺水速度-逆水速度）

奥数行程：流水行船的例题及答案（二）

例1.甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回

甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

【分析】根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的根本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，

而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。

解：顺水速度：2084-8=26（千米/小时）

逆水速度：2084-13=16（千米/小时）

船速：（26+16）+2=21（千米/小时）

水速:（2G—1G）+2=5（T米/小时）

答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。

例2.某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每

小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？

【分析】要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分沏求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。

解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时）,

甲乙两地路程：18X8=1441千米），

从乙地到甲地的逆水速度：15-3=12（千米/小时）,

返回时逆行用的时间：144+12=12（小时）。

答：从乙地返回甲地需要12小时。

例3.甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在

有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？

【分析】要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题总可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的

时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进

一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此根底上再用和差问题解法求出水速。

解：

轮船逆流航行的时间:（35+5）4-2=20（小时），顺流航行的时间:（35-5）+2=15（小时）,轮

船逆流速度：360+20=18（千米/小时），顺流速度:3604-15=24（千米/小时），水速:（24-18）4-2=3

（千米/小时）,帆船的顺流速度：12+3=15（千米/小时），帆船的逆水速度：12-3=9（千米/小时），

帆船往返两港所用时间：360・15+360+9=24+40=641小时）。

答：机帆船往返两港要64小时。

奥数行程：环形跑道的要点及解题技巧

一、什么是环形跑道问题？

环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）屡次相遇或追及的过程解决多人屡次

相遇与追击问题的关键是看我仅是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线

段图进行分析。二、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和二相遇时间X速度和

路程差二追及时间X速度差三、解环形跑道问题的一般方法：

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，那么每合走一圈相遇一次；如果是同

向而行，那么每追上一圈相遇一次.这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

环线型

直径两端

同一出发点

nSnS+0.5s

同向：路程差

相对nS

（反向）:路程和nS-O.5s

奥数行程：环形跑道的例题及答案（一）

环形跑道问题特殊场地行程问题之-O是多人（一般至少两人）屡次相遇或追及的过程解决多人屡

次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的

线段图进行分析。下面通过几道例题来帮助大家稳固环形跑道的相关知识。例1.甲、乙两人从400米

的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第

五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？

【解答】设乙的速度是x米/分0.1米/秒=6米/分8x+8x+8X6=400X5x=122122X8+400=2....176

那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是176米例2.二人沿一周长400米的环形跑道

均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每

次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？【解答】甲

走完10圈走了10*400=4000米他们每击掌一次，甲走一圈（画画图就会明白的），那么15*4C0=6000米

总共走了6000+4000=10000米10000/400=25分钟因为甲乙所走时间想同所以乙走了25/7*403^1428米

例3.林玲在450米长的环形跑道上跑一圈，他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么

他后一半路程跑了多少秒？

【解答】总共用时为450彳（5+4）=5（）秒后半程用时=（225-4X50）+5+50=55秒例4.某人在

360米的环形跑道上跑了一圈，他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么他后一半路程

跑了多少秒？

【解答】44秒因为共花了80秒的时间（（80/2）-360/2）/5+80/2=44例5.一条环形跑道长400

米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇（不用解方程）

【解答】小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟例6.两人在环形跑道

上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如

果同向而行，几秒后两人再次相遇【解答】（4+3）X45=315米一一环形跑道的长（相遇问题求解）

3154-（4-3）=315秒一一［追及问题求解）答：315秒后两人再次相遇.

奥数行程：环形跑道的例题及答案（二）

环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人［一般至少两人）屡次相遇或追及的过程解决多

人屡次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合

理的线段图进行分析。下面通过几道例题来帮助大家稳固环形跑道的相关知识。

例L甲、乙两人同时从400米的环形路跑道的一点A背向出发，8分钟后两人第三次相遇。甲每秒

钟比乙每秒钟多行0.1米，两人第三次相遇的