小学奥数讲义4年级-6-幻方和数阵图-难版

幻方和数阵图

.叁

“z知识梳理

传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的

图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。

I92

幻方和数阵是我国文化遗产之一，¥在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记

载。到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。明朝程大位、清朝

张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。

将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字

满足一定的约束条件,这类问题，通常被称为“数阵图”。幻方是特殊的数阵图。大约在15

世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。人们发现幻方不

仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图

中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。

数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。

幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。这个相等的和

叫“幻和二要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上nXn个连续的自然数。这

些自然数所组成的一列薮有极强的规律性，校顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1,

即它们构成了差相等的数列，是等差数列。

因此在解答这类问题时，常用的知识有：

1.等差数列的求和公式

总和二（首项+末项）X项数+2

2.数字的奇偶性

奇数土奇数二偶数

偶教士偶数二偶数

奇教士偶数二奇数

可简记为：同性为偶，异性为奇(注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶)。

典型例题

数阵图

【例1】★如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为

奇数。请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。

设所填的数分别是a,b,c,如图所示。假设a+b=奇数.a+c二奇数,

b+c=奇数，左边=2(a+b+c),是偶数，右边=三个奇数相加，是奇数，偶效片奇数。

【例2】★小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中，必须将1〜6六个自然数分别填入下图

的。内，使三角形每边上的三数之和都等于11才能通过这个数阵图，你能帮它吗？

【解析】因为每条边上的和都为11,那么三条边上的数字之和为11X3=33,而1+2+…

+5+6=21,所以三个角的三个数之和等于33-21=12,在1〜6中选3个和为12的数，且其中

任意两个的和不等于11,这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法见右上图.

【小试牛刀】把1,2,3,4,5,6,7,8八个数字填入下图中的。内，使正方形每条边上

三个数的和都等于13.

0-0

【解析】囚为每边上的和为13,那么四条边上的数字之和为13X4=52,而1十2十…十7+8=36,

所以四个角上的四个数之和等于52-36=16.在1〜8中选四个数，四数之和等于16,且其中

任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6.只有上图的两种填法.

【例3】★把1〜7这七个自然数，分别填在下图（D的圆圈内，使每条直线上的三个数的

和都相等。

【解析】为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图(2)。

设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,则(a+b+e)+(a+c+f)+(a+d+g)=

3k

3a+b+c+d+e+f+g=3k2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k

2a+(1+2+3+4+5+64-7)=3k2a+28=3ka为1、4或7。

若a=l,则k=10,直线上另外两个数的和为9。在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+

6=4+5=9,因此得到一个解为：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5。

若a=4,则k=12,直线上另外两个数的和为8。在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+

6=3十5=8,因此得到第二个解为：日=4,b=l,u=2,d=3,e=7,f=6»g=5«

若a=7,则k=14,直线上另外两个数的和为7。在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+

5=34-4=7,因此得到第三个解为：a=7,b=l,c=2,d=3,c=6,f=5,g=40

共得到三个解，如下图:

【小试牛刀】把1一8各数填入图3的圆圈内，使每个面上四数的和等于18。

【解析】此立方体图形比较特殊，每个顶点位置的数字被重复的次数相同。因此找不到关键

数字。因此只能从每个面上四个数字的和为18入手。先将1填入其中任意一个位置，来找

到所有含有“1”，并且和为18的情况，有：1+2+7+8,1+3+6+8,1+4+5+8,1+4+6+7。将其

中任意一组的4个数放入其中一个面的四个圈中，再将其他的数字以此为基础做出调整，即

可得出答案。

【例5】以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。将这八个奇数填入图4

的八个。中（其中“3”已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。

【例6】★小鸟欢欢和乐乐有1至6六个数字，它们想把1至6分别填入图的各方格中，横

行三个数字欢欢填，竖行四个数字乐乐填，并且使得横行3个数的和与竖列4个数的和相

等，你能做到吗？

【解析】数阵中左右两个数与下边三个数的和相等，所以这5个数和是偶数，这五个数的和

加上第一行中间的数和为1+2+…+5+6=21,所以第一行最中间的数是奇数,即1、3、5,确

定中间的数后经过尝试可得解，如右上图.

[例7]★★请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是

15,竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18.

【解析】竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18,从上至下第二个数与第三个数的和

是18-3=15,第二个数+第三个数+第四个数=18,第四个数等于3,以此类推，从上至下第一

个数等于第四个数等于第七个数，第二个数等于第五个数等于第八个数，所以啜行从上至下

依次为3、8、7、3、8、7、3、8；同理，横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15,由

左至右第六个数是8,所以横行由左至右依次为5、2、8、5、2、8、5、2、8、5,如右上图

所示.

【例8】★★小白兔在森林里玩耍，突然发现一个发光的东西，走近一看是一个带有奇妙数

阵图的树桩，上面写着如果你能在下图的六个。内各填入一个质数（可取相同的质数;，使

它们的和等于20,而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等，那么你就是一个

聪明人，小白兔很快得出答案，你能吗？

5

325

【解析】因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三人顶点正好是图中的六个。，又因为

每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20+2=10.10分

为三个质数之和只能是2+3+5,由此得到右上图的填法.

【小试牛刀】将1-9填入圈中的9个方格内，使得每条直线上的3个数字的和都相等.其中

b2,7已经给出.

【解析】这个数阵中重复数无法确定，只能找突破口一一试验.我们可以选择的突破口有2

个，一个是2+7的这条线，另一个是1+7的这条线，试验后答案如右上图.

幻方

【例9】★IF九个数字填在图7内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行

和两条对角线上的三个数之和相等。

【解析】1—9九个数字之和正好为三个纵行（或横行）的数字之和，1+2+…+9=45。由题意

知每一横行、纵行和对角线上的三个数之和相等。则此三个数的和为45+3=15。找到所有

三个数和为15的情况:1+5+9,1+6+8,2+4+9,2+5+8,2+6+7,3+4+8,3+5+7,4+5+6。图

中位于中心位置的数是关健数，有四条线通过它，因此要求它出现于4个算式中，容易找出

这个数是5。4个角上的数字有三条线通过，应该在算式中出现三次，找到它们是2、4、6、

8。则其他位置的数通过简单计算可确定。

02

m

3JmL6J

【例10]★★★将「16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻

方。

【解析】先求出此幻方的幻和:（1+2+…+16）+4=136+4=34。将广16这十六个数分别填在

四阶方阵的各个小格内，这时两主对角线上四个数的和为34,正好等于四阶幻方的幻和，

其他每行、每列四个数的和都不等于34。（如图8）

保持两主对角线上的数不动，通过改变其他位置的数字来达到目的。先将一、四两列和

二、三两列中的其他数字互相交换。（如图9）,再将一、四两行与二、三两行中非主对角线

上的数字交换，就得到一个四阶幻方。也可将以上步骤归纳为：保持对角线上的数字不变,

【例11】★★请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.

【解析】（1）根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24,所以中心数为24+3=8.

（2）既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16,想一想

哪两个数相加为16呢？

1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16

（3）按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.

【小试牛刀】用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方.

【解析】给出的九个数形成一个等差数列，1〜9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里

的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个用上方格中的数是位于偶数项的数,

即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13+25=17+21；余下各数就不难填写了（见

下图）.

与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3义3(三行三列)的九个方格中，使得任一

行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方.

【例12】★★★在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方.

【解析】(1)从1行和3列得:A+12+D=D+20+ll,A+12=20+ll,A=19.

(2)观察对角线上的三个数的总和，实际上它即为每行、每列的三个数的和.对角线

上的三个数的和：A+的+11=19+15+11=45.

(3)B=45-(16+19)=10.

(4)D=45-(20+11)=14.

(5)C=45-(16+11)=18.

・•・A=19、B=10、018、D=14.

【小试牛刀】在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方

格中的各数之和都等于19.95.那么，标有*的格内所填的数是多少？

【解析】设中间的数为X,可以此确定上边、右上角、右下角、左下角、左边、右边所填数

的代数式，由于3X=19.95,X=6.65,最后得到,标有*的格内所填的数是H.12.

【例13】★★在九宫图中，第一行第三列的位置上填5,第二行第一列位置上填6,如下图.

请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27・

【解析】为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示.根据题意可知:

A+B+5=27(1)

5+C+E=27(2)

5+D+G=27(3)

6+C+D=27(4)

A+6+E=27(5)

A+C+G=27(6)

B+C+F=27(7)

E+F+G=27(8)

由(2)+(4)+(6)-(3)-(5)得知：3C=27C=9.

将C=9代入(4),D=12代入(2),则E=13.

将D=12代入(3),则G=10.将E=13代入(5),贝］A=8.将A=8代入(1),则B=14.

将B=I4、C=9代入(7),则F=4.

由分析可知，中心方格必须填数字9,其他方格中也只有一种填法.见右上图.

【小试牛刀】如图所示，在3X3方格表内己填好了两个数19和95,在其余的空格中填上

适当的数,可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.(1)求x：(2)如果

中间的空格内填入100,试在上一小题的基础上，完成填图.

X24171105

191001918110019

95959529176

【解析】(1)设中间的数为Y,则各行各列的和为3Y,求出各个方格中每个数的代数式，左

上角为Y-X+95,右上角为2Y-95,右下角为：Y+X-95,最下面一行中间的数为：2Y-X,根据每

行每列的和相等，最左面的一列等于最右面的一列，可列出方程：X+3Y-190+19=3Y-X+190-19,

解得X=171.

(由此引出三阶幻方性质：角上的数等于不相邻边上数的平均数)

(2)根据(1)所得的每个方格中的代数式可得右上图.

【例14】★★将白然数1至9分别填在如下图所示的3X3方格表内，使得每行、每列及两

条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5.

【解析】中间的数只能为5,这样才能保证有4组数对分别填写「方格四周，相对位置两数

和相等并且比中心所填的数大5.

412

753

896

【例15】★★★将1〜16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间

正方形的四个数之和都为34,图中已填好八个数，请将其余的数填完整。

【解析】为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示。

9+15+a+c=34,5+10+e+g=34,

7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34,

c+d+e+f=34,

化简得：a+c=104+6=10。

e+g=193+16=19,6+13=19

b+d=131+12=13,

f+h=152+13=15,3+12=15。

a,b,c,d,e,f,g,h应分别从1,2,3,4,6,12,13,16中选取。因为a+c=

10,所以只能选a+c=4+6；b+d=13,只能选b+d=13：e+g=19,只能选e+g=3+

16；f+h=15,只能选f+h=2+13

若d=l,c=4,则e+f=34—1—4=29,有e=16,f=13。

若d=l,c=6,则e+f=34—1—6=27,那么c、f无值可取，使其和为27。

若d=12,c=4,则e+f=34-12-4=18,有e=16,f=2o

若d=12,c=6,Wi]e+f=34-12-6=16,有e=3,f=13。

共有三个解：

61

.叁

、课后作业

1.将1〜6六个自然数分别填入下图的。内，使三角形每边上的三数之和都等于10.

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【解析】因为每边上的和为10,那么三条边上的数字之和为10X3=30,而1+2+…+5+6=21,

所以三个角的三个数之和等于30-21=9,在1〜6中选3个和为9的数，而且任意两个数的

和大于或等于10-6=4,这样的组合有：9=1+3+5=2+3+4,经试验，填法见右上图.

2.如图，大三角形被分成了9个小三角形.试将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入这9

个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和

相等，问这5个数的和最大可能是多少？

【解析】计算三条边和的和，这个和一定是3的倍数，其中有6个角上数被重复计算了2

遍,边上的三个数分别计算了两遍，因此（1十2十3十4十5十6十7十8十9）X2再减去三个边上的数，

所得应该为3的倍数，当三条边上的三角形中分别填入1、2、3时，这个和取得最大值，各

条边上的和也取得最大值28.

3.在下图的空格中填人适当的数字，使任意三个相邻格子中的数字之和都等于20.

56956956

【解析】任意三个相邻格子中的数之和都为20,说明第一个格与第三个格中的和是20-6:14,

第三个格与第四个格中数的和也是14,所以，第一个格中的数等于第四个格中的数，以此

类推，第四个格中的数等于第七个格中的数，第7个格中的数为5,此时可以填出表内的所

有数，如右上图.

4.将1〜5填入右图的。中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等.

【解析】将横、竖、大圆周上的所有数相加，所有的数都被加了两次，所以每个和为：

(1+2+3+4+5)4-3=10,

四个数的和为10只有一种情况：1+2+3+4,所以中间的数为5.

5.在下列各图中，分别从1〜8中选择六个数填入口内，使得按顺时针方向计算的各关系式

成立:

团

回0m

□□於*

4・

・--U■

=U+

+由

K回

2口22

XXH

X由

”SK

□□口®0=0

=-二J]-

【解析】能被2和4整除的数有4与8,左上角的数为4或8,如果为8,为一种情况，如

果是4是另一种情况，答案见右上图.

6.7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数,

那么标有支的圆内填的数是多少？

【解析】所有和相加得14+11+8+12+9+6+10=70.每个数相加两次，所以7个连

续数和为70+2=35,所以7个连续数为：2,3,4,5,6,7,8.

从最大和或最小和处开始尝试，14只有唯一分解14=8+6假设★为8,尝试发现不能完

成，所以★为6,逐一计算完成如图：

7.将「12这十二个数分别填入图5中的各个圈内，使每条线段上五个圈内数的和相等,

并且两个六边形六个顶点上圈内数的和也相等。

【解析】结果如图6所示。

图6

8.将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图(1)所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数

之和与每条直线上的三个数之和相等。

【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图(2)所示。

设A+B4-C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k

(A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)+(C+E+G)=5k,

3A+2B+2c+2D+2E+2F+2G=5k,2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,

2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k。

因为56+A为5的倍数，得A=4,进而推出k=12。

因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12,不妨设B=l,F=5,D=6,则

C=12-(4+1)=7,G=12-(44-5)=3,E=12—(4+6)=2。

得到一个基本的解为：

9.将4、5、6、7、8、9六个数，填在图10的空格里，使每条线上的三个数的和都是18。

图10

【解析】由已知条件，每条线上三个数的和是18,那么三条线上9个数的和为18X3=54,

且六个数的和4+5+6+7+8+9=39,三角形三个顶点上的数是重复相加的，所以三个顶点的数

字和为54-39=15。六个数字中和为15的数为4、5、6。则三个顶点的数字分别为4、5、6。

其他数字易求。结果如图1所示。

⑥

/\

⑦⑧

/\

⑤----⑨----④

答图1

10.图11中有10个小三角形、4个大三角形，请把0~9填入图中的小三角形内，每格填一

个数，使4个大三角形内的数字和相等.

【解析】每个大三角形内有4个小三角形，中心位置的小三角形用到的次数最多，有4次。

则它一定为0