数学 第二册（五年制高职）课件 第三章 直线与圆的方程

8.1.1两点间距离公式江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）

现实世界中，到处有美丽的曲线。从古代的石拱桥到现代的斜拉索桥，从摩天轮旋转轨迹到行星绕太阳运行轨迹等。对于几何问题的研究，除了直接依据几何图形中的点、直线、平面的关系展开外，还有一种重要的研究方法，即坐标法.坐标法是以坐标系为桥梁,把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法，也是解决实际问题的重要手段.坐标思想是由著名的法国哲学家、数学家笛卡儿创立的.笛卡儿对现代数学的发展做出了重要贡献,被称为解析几何之父。

在平面直角坐标系中，如果给出两点的坐标，那么这两点间的距离是确定的，这个确定的距离与两点的坐标间存在怎样的关系呢？

求两点间的距离在日常生活及工程技术中有着广泛的应用.很多时候，可以用带刻度的尺子去测量两点间的距离，但如果两点相距太远或者它们之间的距离不方便用尺子去度量，那么就需要选用其他的方法。问题探究

抽象概括例题讲析例1已知点

M（28,10）和

N（12,22），求线段MN

的长度．例题讲析

合作交流

思维拓展如图8-2，大海中有两个小岛，甲乙两艘船需要从灯塔O点同时出发，分别到A、B两个岛屿执行任务。甲船沿灯塔先向正东方向航行60nmile，再向正北方向航行80nmile到达A岛；乙船则沿灯塔先向正西方向航行10nmile，再向正北方向航行55

nmile到达B岛，那么如何确定这两岛之间的距离呢?(精确到0.0l

nmile)

图8-2课堂练习

课堂练习2.如图，试写出点M，N，P，Q的坐标，并求：（1）点O与点M之间的距离；（2）点N与Q间的距离；（3）线段MN与PN的长度.课堂小结1.两点距离公式2.两点距离公式的应用8.1.2线段的中点坐标公式江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）复习回顾两点间距离公式问题探究

抽象概括例题讲析例3已知点A(9,-2)和B(-3,3),求线段AB的中点Q的坐标.例题讲析例4已知线段AB,它的中点坐标是(3,2),端点A的坐标是（1，-2），求它的另一个端点B的坐标.例题讲析例5如图8-4,已知三角形的三个顶点分别为A(1,2),B(-3,4),C(2,6),求三角形中BC边上的中线AD的长.合作交流

课堂练习

课堂练习

课堂小结1.线段的中点坐标公式2.线段的中点坐标公式的应用8.2直线的倾斜角与斜率江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）复习回顾1.两点间距离公式2.线段的中点坐标公式

港珠澳大桥集桥梁、隧道和人工岛于一体，建设难度之大，被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”.港珠澳大桥主桥的三座通航孔桥全部采用斜拉索桥，由多条超高强度巨型斜拉缆索从主塔处张拉承受梁面的重量.如果把桥面一侧连接斜拉索的各个节点近似看成在一条水平线上，那么这些斜拉索所在的直线相对于这条水平线的倾斜程度如何表示呢?问题探究

图8-5

抽象概括图8-6

在日常生活中，楼梯的倾斜程度可以用坡度来刻画（坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比）,如图8-7.

可以看出,如果楼梯台阶的高度（级高)与宽度(级宽)的比值越大,那么坡度就越大,楼梯就越陡.

在平面直角坐标系中,我们可以采用类似的方法来刻画直线的倾斜程度.

抽象概括

零角锐角直角钝角kk不存在问题探究

经过两个定点的直线是唯一的，它的倾斜角也是确定的。如果知道两个定点的坐标，那么是否可以直接用坐标来表示这条直线的斜率呢？

抽象概括例题讲析

例题讲析例2

已知直线l的斜率为-1，求直线l的倾斜角.例题讲析

合作交流倾斜角相等的两条直线的斜率是否一定相等？反过来，斜率相等的两条直线的倾斜角是否一定相等？课堂练习

课堂练习

课堂练习3.填空：(1)已知直线l垂直于x轴

,则直线l的倾斜角是

,斜率为

.(2)已知直线l垂直于y轴

,则直线l的倾斜角是

,斜率为

.(3)直线l的倾斜角的范围是

.(4)已知直线l的斜率为1，那么它的倾斜角是

.课堂练习4.分别求出经过下列两点的直线的斜率.（1）(-1,-3),(1,1)；（2）(0,2),(4,-2)；（3）(2,-4),(-3,-4);（4）(1,0),(0,-1)

课堂小结1.直线的倾斜角2.直线的斜率3.直线的倾斜角与斜率的关系8.3.1直线的点斜式方程江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）复习回顾1.直线的倾斜角；2.直线的斜率；3.直线的倾斜角与斜率的关系.

问题探究

抽象概括例题讲析

例题讲析例2已知一条直线经过点(2,3)和(-1,-3)，求这条直线的方程.合作交流

课堂练习

课堂小结1.直线的点斜式方程;2.直线的点斜式方程的应用.8.3.1直线的斜截式方程江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）复习回顾直线的点斜式方程问题探究

抽象概括例题讲析

图8-13合作交流任何一条直线都可以用斜截式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方程吗？课堂练习1.根据下列条件，写出直线的方程.（1）斜率为-3，在y轴上的截距为4；（2）经过点（0，-2），倾斜角为45°；（3）经过两点(1，3)，(0,5).例题讲析

课堂小结1.直线的斜截式方程；2.直线的斜截式方程的应用.8.4直线的一般式方程江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）复习回顾1.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可化为

kx-y+y0-kx0=02.直线的斜截式方程y=kx+b可化为

kx-y+b=0

直线的点斜式方程、斜截式方程以及一些特殊位置下的方程都是关于

的一次方程，那么，直线的方程有没有一个统一的表示形式呢？问题探究当B≠0时，

二元一次方程Ax+By+C=0可化为当B=0时,此时一定有A≠0，二元一次方程Ax+By+C=0可化为抽象概括

在平面直角坐标系中，方程

Ax+By+C=0（A，B不全为0）

称为直线的一般式方程.例题讲析例1已知直线l的方程为2x+5y-10=0，求直线l的斜率以及它在y轴上的截距，并画出它的图形.例题讲析例2写出图中各直线的方程，并化为一般式方程.合作交流

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一般式方程表示吗？直线的一般式方程可以化成点斜式方程或者斜截式方程吗？课堂练习1.求下列直线的斜率，并将方程化为直线的一般式方程.

(1)

y=-x-3(2)y-1=（x+4）2.根据下列各条件，分别求直线的一般式方程.(1)直线经过点(2,5)，斜率为2；(2)直线经过点(3,-3)，倾斜角为0；(3)直线在y轴上的截距为3，斜率为4.3.写出直线2x+3y-6=0的斜截以及在y轴上的截距方程.课堂小结8.5两条直线的交点江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究前面学习了直线方程的几种形式，那么如何通过直线的方程来研究两条直线的位置关系呢？问题探究设两条直线l1和l2的方程分别是

,

.如何判断这两条直线的位置关系？如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，那么交点的坐标一定是这两个方程的公共解，也就是这个方程组的解；反之，如果这个方程组只有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1与l2的交点。将这两条直线的方程联立，得方程组抽象概括一般地，将两条直线的方程联立，得方程组有如下结论：（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是两直线交点的坐标；（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；（3）若方程组有无数个公共解，则两条直线有无数个公共点，即两条直线重合.抽象概括反之亦然．以上结论亦可用下表表示.例题讲析例1

分别判断下列直线l1与l2是否相交，若相交，求出它们的交点坐标.(1)l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0；(2)l1:2x-3y+4=0,l2:4x-6y+8=0；(3)l1:

4x+2y+4=0,l2:y=-2x+3.例题讲析例2直线l经过点（2，0），且经过另两条直线2x+3y+6=0，x-y-2=0的交点，求直线l的方程．课堂练习1．求下列两条直线的交点，并画图:(1)l1:2x+3y-12=0,l2:x-2y-4=0(2)l1:2x-3y-7=0,l2:x-2y-4=02.直线l经过点(1，-1)，且经过另两条直线x+3y+4=0，x-y=0的交点，求直线l的方程．课堂小结求两直线交点的方法——解方程组8.6两条直线平行的条件江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

拱是中国建筑特有的一种结构.在斗拱的设计中,可以抽象出许多直线,其中有很多直线是相互平行的.问题探究

在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度.那么能否利用两条直线的斜率来判断它们是否平行？

设两条直线l1与l2的斜截式方程分别为l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，它们的倾斜角分别为α1，α2，如图，

若直线l1//l2，则倾斜角相等,即α1=α2，所以

，

此时k1=k2且b1≠b2.即l1//l2反之，如果

，那么

，因为

根据正切函数的性质可知α1=α2.又因为

，所以l1//l2.即

l1//l2抽象概括一般地，如果两条直线的方程分别是l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，有

l1//l2

例题讲析例1判断下列直线是否平行，并说明理由:(1)l1:y=-3x+5,l2:y=-3x-5；(2)l1:2x-4y+5=0,l2:y=2x-1；(3)l1:x-y=0,l2:2x-2y-3=0.

例2求过点A

(-3,1),且与直线2x-y+5=0平行的直线的方程.合作交流1.如果直线l1与l2的斜率都不存在,那么它们的位置关系是怎样的?2.如果两条平行直线的方程分别是

,

那么它们的系数有怎样的关系？思维拓展老旧小区改造是国家近两年高度重视的民生工程和发展工程.在某一施工过程中，施工人员测得A、B、C、D点的坐标如图所示.你能帮助施工人员判断AB与CD是否平行吗?

课堂练习1.判断下列直线是否平行，并说明理由:(1)l1:x+2y=0,l2:2x+4y-13=0；(2)l1:x-y=0,l2:x-y-5=0.2.求过点A

(2,-1),且与直线x-7y-10=0平行的直线的方程.探究新知对于两条直线

，

，如果系数

，

中有为0的情况，那么直线l2与坐标轴垂直，此时容易判断这两条直线的位置关系.一般地，如果两条直线的方程分别是有l1∥l2另外若

，则两条直线不平行；若

，则两条直线重合.例题讲析例3判断下列直线是否平行，并说明理由:

例4求过点A

(-3,1),且与直线2x-y+5=0平行的直线的方程.(1)l1:2x-3y+9=0,l2:4x-6y-5=0；(2)l1:3x-5y+6=0,l2:6x-10y+12=0；(3)l1:x-y-1=0,l2:x-y-2=0.课堂练习1.判断下列直线是否平行，并说明理由:3.求过点A

(-2,3),且与直线3x-2y-10=0平行的直线的方程.(1)l1:3x+4y=0,l2:6x+8y-13=0；(2)l1:x-y+1=0,l2:-x+

y-2=0.2.已知点A(2,-4),B(-,-4),C(0,1),D(4,1),

判断直线AB与CD的位置.课堂小结1.两直线平行的条件；2.求与已知直线平行的直线方法；3.特殊直线平行的条件.8.7两条直线垂直的条件江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

在上一节研究了由直线的斜率来判断两直线是否平行，那么，如何由直线的斜率来判断两条直线是否垂直呢？

如果直线l1⊥l2，那么直线l1，l2的斜率有什么关系？问题探究

直线l1⊥l2

，且斜率都存在，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1和α2，则α2=α1+90°.

因为

,又

,

,则,即k1k2=-1.

当两条直线都有斜率时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于-1；反之，如果它们斜率的乘积等于-1，那么它们互相垂直.即抽象概括

k1k2=-1(k1

,k2

均存在)

l1⊥l2

合作交流1.如果直线l1

，l2中的一条直线斜率不存在，如何判断这两条直线是否垂直？

2.如果两条直线的方程分别是

，如何利用系数关系判断直线l1

与l2是否垂直？例题讲析例1判断下列直线l1,l2的位置关系.

(1)l1:2x+y-40=0,l2:2x-y+1=0；(2)l1:y=x-3,l2:x-2y-3=0；(3)l1:3x-5y+5=0,l2:4x+y-1=0.(1)l1:2x+y-40=0,l2:2x-y+1=0；(2)l1:y=x-3,l2:x-2y-3=0；(3)l1:3x-5y+5=0,l2:4x+y-1=0.例题讲析例2已知点A(3,1),B(8,4),C(3,-4),D(-6,11),AB⊥CD.

例3求过点A

(-3,1),且与直线2x-y+5=0垂直的直线的方程.思维拓展已知点A(3,2),

B(1,13),

C(7,5),

试判断△ABC的形状.

课堂练习1.判断下列直线l1,l2的位置关系.

2.求过点P

(1,-1),且与直线2x+y-2=0垂直的直线的方程.(1)l1:7x+2y-3=0,l2:2x-7y+1=0；(2)l1:x-y+2=0,l2:x-y=5.3.已知点A(3,-1),B(-1,1),C(-3,5),D(5,1),

判断直线AB与CD的位置.课堂小结1.两条直线垂直的条件；2.已知两直线的方程，判断它们的位置关系.8.8点到直线的距离公式江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

铁轨可以看作是两条相互平行的直线,铁轨间的距离是高速列车设计时的重要参数.而铁轨间的距离实际上就是两条平行线之间的距离,如何计算这个重要参数呢?这需要借助于点到直线的距离.问题探究对于平面上确定的直线l：Ax+By+C=0

(A，B不全为0)和直线l外一点，如何求点P(x0,y0)到直线的距离呢?例如，已知直线l：x-2y+3=0和直线外一点P(3,-2)，如何求点P(3,-2)到直线l的距离呢？问题探究若点P的坐标为(3,-2)，直线l的方程为x-2y+3=0，如图，求点P到直线l:x-2y+3=0的距离.

(1)过点P作直线l的垂线，可求得垂线方程为

2x+y-4=0.

(2)求得两条直线的交点E的坐标为(1,2).

(3)求点到直线的距离为P、E两点间的距离.抽象概括

一般地，对于直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），直线外一点P(x0,y0)到l的距离为此公式称为点到直线的距离公式.例题讲析例1求点P(-1,0)到下列各直线的距离：(1)2x+y-10=0；(2)y=2x-1；(3)3x=2例2求两条平行直线x+3y-1=0与2x+6y-7=0之间的距离.合作交流1.运用点到直线的距离公式的前提：直线方程应该是什么形式？2.如何求两条具体平行直线间距离呢？

课堂练习1.求原点到下列各直线的距离：(1)

2x+3y-13=0；(2)3x=20；(3)y=-5；(4)x=2y.2.求下列两条平行直线之间的距离.(1)

5x-12y-8=0与5x-12y+5=0；(2)6x-4y+15=0与y=.课堂小结1.点到直线的距离公式及公式的条件；2.本章所涉及的距离问题：①两点间距离；②点到直线距离；③两平行直线间距离.8.9.1圆的标准方程江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

问题探究

抽象概括

例题讲析

例题讲析例2如下图，试写出小熊图案的“脸”和“眼睛”的方程.例题讲析

思维拓展

课堂练习

课堂小结1．圆的标准方程的推导过程；2．如何写出圆的标准方程．8.9.2圆的一般方程江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

问题探究

抽象概括

合作交流圆的标准方程和圆的一般方程分别有什么特点?例题讲析例5下列方程是否表示圆？若表示圆,求其圆心的坐标和半径.

例题讲析

课堂练习

例题讲析

合作交流试一试：例7是否还有其他解法？例题讲析

例题讲析

思维拓展

课堂练习

课堂小结1．圆的一般方程；2．圆的一般方程与标准方程的互相转化．8.10.1直线与圆的位置关系江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究如何根据直线与圆的方程来判断直线与圆的位置关系？方法1：根据点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离d，并与圆的半径r比较大小，可以判断直线和圆的位置关系.有如下结论：（1）d<r⇔直线与圆相交；（2）d=r⇔直线与圆相切；（3）d>r⇔直线与圆相离.问题探究

问题探究

问题探究直线与圆的位置关系