重庆市拔尖强基联盟2024-2025学年高一下学期3月联合练习数学试题（原卷版+解析版）

高2027届拔尖强基联盟高一下3月联合练习数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）2025年3月注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.2.在中，，是一元二次方程的两个根，那么是（）A锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断3.梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家、天文学家梅涅劳斯的著作《球面学》中，经过不断地研究和推导，发现任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积.即如图所示，若直线分别截三边延长线于点，，，则有，现若发现图中，，则为（）A. B. C. D.14.已知函数的定义域是，满足，且，，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.45.求的值为（）A.1 B.2 C. D.46.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（）A.无解 B.恰有一解 C.恰有两解 D.不能确定7.函数的图象如图所示，其中，，则（）A. B. C. D.8.已知函数，满足，且函数在单调递增，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（）A若，则 B.若，则使得C.若，则与的夹角为锐角 D.在方向上的投影向量的模为10.已知函数最小正周期是，把它的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数为奇函数，则以下结论中正确的有（）A.的图象关于直线对称 B.当时，的值域为C.的图象关于点对称 D.在上有3个零点11.在中，，角、、对边分别为，，，则下列式子正确的是（）A.BC.若是直角三角形，则.D.若是锐角三角形，在上有一动点，则最小值为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，与的夹角为，则______.13.已知，.若，，则的值是______.14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求的值.（2）已知，，与的夹角为，当与垂直时，求的值.16.已知函数.（1）求对称中心和单调递增区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，当时，求函数的值域.17.在中，内角，，的对边分别为，，，满足.（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，，求的最小值.18.已知，.（1）若，其中，求；（2）求关于的不等式的解集；（3）若函数在内有两个零点，求的取值范围.19.已知面积为6，内角的对边分别为.为中点，为边靠近点的三等分点.（1）求的面积；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的最小值.

高2027届拔尖强基联盟高一下3月联合练习数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）2025年3月注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义及诱导公式即可求解.【详解】因为角的终边过点，所以，.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于容易题.2.在中，，是一元二次方程的两个根，那么是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】由根与系数关系，结合三角形内角性质、和角正切公式判断正切值符号，即可得.【详解】由题设，，易知同正，则，而，所以均为锐角，即是锐角三角形.故选：A3.梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家、天文学家梅涅劳斯的著作《球面学》中，经过不断地研究和推导，发现任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积.即如图所示，若直线分别截三边延长线于点，，，则有，现若发现图中，，则为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由向量的数量积公式分别得到，，然后两式相除得的值，由条件即可求出.【详解】，，∴，又∵，∴，故选：A.4.已知函数的定义域是，满足，且，，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，推得，得到函数是以4为周期的周期函数，结合和函数的对称性，求得，且，结合周期性，即可求得的值.【详解】由，可得，又由，可得，即，所以，所以函数是以4为周期的周期函数，因为，可得函数的图象关于对称，又因为，可得，所以的图象关于中心对称，可得，则因为，可得，且，，所以，则.故选：B.5.求的值为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】借助切化弦，辅助角公式，诱导公式，二倍角公式对代数式进行化简求职.【详解】，故选：D.6.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（）A.无解 B.恰有一解 C.恰有两解 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】由三角形内角的性质得，结合的大小关系，即可判断三角形个数.【详解】中，则，而，，所以，显然满足的三角形恰有两个.故选：C7.函数的图象如图所示，其中，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象求函数解析式，再代入自变量求函数值即可.【详解】由题图，且，则，故，由，则，又，则，所以，则.故选：D8.已知函数，满足，且函数在单调递增，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，利用单调性确定的范围，结合范围可求答案.详解】，，,又时，单调递增,，，且，，，或，或，时，，时，，∴和在其范围内，即取得最大值和最小值，.又时，，的最小值始终在处取得，且最大值，，综上的取值范围为.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则使得C.若，则与的夹角为锐角 D.在方向上的投影向量的模为【答案】ABD【解析】【分析】依据向量数量积的概念与性质，研究模、夹角、垂直，投影向量的概念，向量共线定理等知识对选项逐一判断即可.【详解】对于A选项：因为，所以，正确；对于B选项：由向量共线定理知正确；对于C选项:若，则当同向且为非零向量是满足条件，此时夹角不为锐角，故不正确；对于D选项：由投影向量的概念知，在方向上的投影向量的模为，正确.故选：ABD.10.已知函数的最小正周期是，把它的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数为奇函数，则以下结论中正确的有（）A.的图象关于直线对称 B.当时，的值域为C.的图象关于点对称 D.在上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】根据题设中函数的基本性质求参数值得，结合正弦型函数的性质依次判断各项的正误.【详解】由题设知，且为奇函数，则，又，所以，则，，则是的一条对称轴，A对；，则，故值域为，B对；，则不是一个对称中心，C错；，则，而在上只有2个零点，D错.故选：AB11.在中，，角、、对边分别为，，，则下列式子正确的是（）A.B.C.若是直角三角形，则.D.若是锐角三角形，在上有一动点，则最小值为.【答案】BCD【解析】【分析】利用商数关系、和角正弦公式及三角形内角的性质得判断A；根据A分析及余弦定理有，再应用基本不等式判断B；根据已知得，进而有，，再应用三角形面积公式判断C；过作，要求的最小值，应在之间运动，再应用向量数量积的定义及运算律得求最小值判断D.【详解】A，，则，即，，即，又，则，由正弦定理得，，错；B，由及余弦定理，得，即，由基本不等式知，，当且仅当，即时等号成立，所以，对；C，在中，由于，所有，均不为直角，进而，则，代入得：，由于为锐角，所以，，所以，对；D，过作，则，又在之间运动时，与的夹角为钝角，因此要求的最小值，应在之间运动，即，又，当时，取最小值为，对.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，与的夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律及其定义求.【详解】由.故答案为：13.已知，.若，，则的值是______.【答案】.【解析】【分析】又得到的氛围，由同角三角函数的关系求得.利用诱导公式得到，再由余弦函数在单调得到角的关系，然后得到结果.【详解】∵，由∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵在上单调递减，∴，∴，故答案为：14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】法一：应用正弦边角关系得，再由余弦定理、锐角三角形内角性质及二倍角余弦公式可得，进而有，，即可得，即可求范围；法二：应用正余弦定理有，结合锐角三角形内角性质得，后续同法一.【详解】法一：由正弦定理角化边得，由，所以.由，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，则，，因为为锐角三角形，，解得，设，则，法二：由正弦定理角化边得.由余弦定理，则.由正弦定理，则.则，由为锐角三角形，得，.所以，即，后续同法一.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求的值.（2）已知，，与的夹角为，当与垂直时，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用两角和差公式化简得出的值，再利用齐次化思想将目标转化为关于的式子求解；（2）先求，再利用数量积的运算律化简即可求.【详解】（1），解得.则（2）由题意可得，则，解得16.已知函数.（1）求的对称中心和单调递增区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，当时，求函数的值域.【答案】（1）对称中心为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）应用三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求对称中心和递增区间；（2）根据图象平移得，进而求其在给定区间的值域.【小问1详解】，令，，对称中心为，令，，所以单调递增区间为；【小问2详解】，因为，所以，则，则，即值域为.17.在中，内角，，的对边分别为，，，满足.（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正余弦定理可得，结合三角形内角性质求角；（2）由正弦定理得，结合已知得，进而有，再应用余弦定理可得，由基本不等式求其最小值.【小问1详解】由正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以，，因为，所以.【小问2详解】由正弦定理得，则，，则，，则，由余弦定理知，，，，当时取得最小值为，的最小值为.18.已知，.（1）若，其中，求；（2）求关于的不等式的解集；（3）若函数在内有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由已知及求的正余弦值，进而得；（2）应用三角恒等变换得，根据正弦函数的性质求解集；（3）问题化为有两个解，再应用换元法求右侧的值域，即可得范围.【小问1详解】，又，解得或，所以或；【小问2详解】由，所以，则，由正弦函数图象可知，得，解集为；【小问3详解】有两个零点，所以有两个解，显然时无解，则有两个解，令，则，令，在上单调递减且值域为，在上单调递减且值域为，由余弦函数图象知时有2个解，此时，当函数有两个零点时，.19.已知面积为6，内角的对边分别为.为中点，为边靠近点的三等分点.（1）求的面积；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)设，将分别用表示，通过求出的值，从而找出的面积与面积的关系，即可求得；