2025年高考数学模拟测试卷带参考答案

第第页2025年高考数学模拟测试卷带参考答案（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________（江苏专用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．全集为，集合，，则（

）A． B．C．或 D．或2．若复数是纯虚数，则实数（

）A． B． C． D．3．在中，，，，且，则（

）A． B． C． D．4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（

）（参考数据：，）A．11 B．22 C．227 D．4815．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，成等差数列，则（

）．A． B． C． D．7．若平面内分别到定点的距离之差为6的点的轨迹是曲线，过点且斜率为的直线与曲线交于两点（点在轴上方）．设的内切圆半径分别为，则（

）A．2 B．3 C． D．8．已知，，，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（

）A．B．函数在区间上单调递增C．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象D．函数的图象关于直线对称10．在正方体中，，分别为线段，上的动点，则（

）A．存在，两点，使得B．C．与所成的最大角为D．与平面所成的最大角的正弦值为11．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则下列结论中正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．当时，越大，越小第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知圆，直线，圆上恰好有两个点到直线的距离等于1．则符合条件的实数可以为．（只需写出一个满足条件的实数即可）13．招待客人时，人们常使用一次性纸杯，将其视为圆台，设其杯底直径为，杯口直径为，高为ℎ，将该纸杯装满水（水面与杯口齐平）后，再将一直径为的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的，则14．函数的图象与直线的交点个数为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线.(1)求证：；(2)截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积.16．（15分）我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120个学生，得到这些学生5天内每天坚持自主学习时长（单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5小时．时长学生数3024401610(1)估计这120个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)以表中的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈．若抽取的时长，则赠送家长慰问金100元；抽取的时长，则赠送家长慰问金200元；抽取的时长，则赠送家长慰问金300元．设抽取的2名学生家长慰问金额之和为，求的分布列及数学期望．17．（15分）已知正项数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和，求满足的正整数n的集合．18．（17分）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.(1)求的方程；(2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.19．（17分）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.(1)函数，是否为函数﹖请说明理由；(2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；(3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．全集为，集合，，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】由，故，，又，故或，或.故选：C2．若复数是纯虚数，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，有.故选：A3．在中，，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则，可得，在中，，，，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：C.4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（

）（参考数据：，）A．11 B．22 C．227 D．481【答案】D【解析】由于，所以，依题意，则，由得，，，，，所以所需的训练迭代轮数至少为轮.故选：D5．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，又，所以，易知双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为.故选：A6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，成等差数列，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．又因为，，成等差数列，则．根据正弦定理可得：，即，展开得：，进一步得：，因为，可得，又易知为锐角，所以，则，故A正确.故选：A．7．若平面内分别到定点的距离之差为6的点的轨迹是曲线，过点且斜率为的直线与曲线交于两点（点在轴上方）．设的内切圆半径分别为，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】根据双曲线的定义得，曲线是以分别为左、右焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为．设的内切圆与轴切于点．根据双曲线的定义及圆的切线长定理，知，即，解得，所以的内切圆与轴切于点．同理，的内切圆与轴也切于点，所以．设的内切圆圆心为，AB的斜率为，则倾斜角为，即，则，根据圆的性质可得，所以，解得．同理，得，解得，所以．故选：B．8．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，即，即，、令，则，故在定义域内单调递增，故，即；令，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故，故，即，故有.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（

）A．B．函数在区间上单调递增C．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象D．函数的图象关于直线对称【答案】BC【解析】,所以，故A错误；即，当时，，所以函数单调递增，故B正确；将函数的图象向左平移个单位长度得，故C正确；，所以函数的图象不关于直线对称.故选：BC.10．在正方体中，，分别为线段，上的动点，则（

）A．存在，两点，使得B．C．与所成的最大角为D．与平面所成的最大角的正弦值为【答案】ABD【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，由在线段上，得，则，，由在线段上，得，则，，对于A，当时，，即，而，则，A正确；对于B，，，，则，B正确；对于C，，，当时，，此时与所成的角为，C错误；对于D，，设平面的法向量，则，令，得，，设与平面所成的角为，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD11．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则下列结论中正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．当时，越大，越小【答案】BC【解析】对于A，，A错误；对于B，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；对于C，由B得：，；当为奇数时，，；当为偶数时，；，，C正确；对于D，，，，即，D错误.故选：BC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知圆，直线，圆上恰好有两个点到直线的距离等于1．则符合条件的实数可以为．（只需写出一个满足条件的实数即可）【答案】（答案不唯一，符合即可）【解析】圆心为，圆的半径为2，设圆心到直线的距离为，因为圆上恰好有两个点到直线的距离等于1，所以，即，解得，，所以的取值范围为.故答案为：（答案不唯一，符合即可）.13．招待客人时，人们常使用一次性纸杯，将其视为圆台，设其杯底直径为，杯口直径为，高为ℎ，将该纸杯装满水（水面与杯口齐平）后，再将一直径为的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的，则【答案】4【解析】由题可得纸杯的体积为，小铁球的体积为，由题可得，即．故答案为：414．函数的图象与直线的交点个数为.【答案】【解析】令，则，函数在区间上单调递增，所以，曲线与直线的交点个数等于曲线与直线的交点个数，作图易知，曲线和直线都过点，且都关于点对称，所以，曲线与直线的交点个数或者为或者为.下面考察关于的方程在区间上的解的个数，令，其中，则对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，则，所以，关于的方程在区间上的解的个数为，因此，函数的图象与直线的交点个数为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线.(1)求证：；(2)截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积.【解析】（1）因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.可知母线与母线的延长线必交于一点，即四点共面，又因为圆面∥圆面，且平面圆面，平面圆面，所以∥.（2）解法一：因为劣弧的长度为，则由，可得.如图，建立空间直角坐标系，设，则，可得，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，由题意可知：底面的一个法向量，因为截面与下底面所成的夹角大小为，则，解得，即，可得，在等腰梯形中，，可得等腰梯形的高，所以.解法二：如图，分别取的中点为，连结，，由题意可得：，所以为截面与底面所成夹角，即，过点作于点，由，得，则（即梯形的高），所以.16．（15分）我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120个学生，得到这些学生5天内每天坚持自主学习时长（单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5小时．时长学生数3024401610(1)估计这120个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)以表中的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈．若抽取的时长，则赠送家长慰问金100元；抽取的时长，则赠送家长慰问金200元；抽取的时长，则赠送家长慰问金300元．设抽取的2名学生家长慰问金额之和为，求的分布列及数学期望．【解析】（1）这120个学生学习时长的平均数．（2）依题意可得的概率为，的概率为，的概率为．的所有可能取值为200，300，400，500，600，，，，，，则的分布列为200300400500600故．17．（15分）已知正项数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和，求满足的正整数n的集合．【解析】（1）由，有，即，因为数列是正项数列，所以，即，可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，故数列的通项公式为；（2）由（1）可得．所以，故不等式可化为，解得，所以满足的正整数n的集合为.18．（17分）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.(1)求的方程；(2)若