新高考数学二轮复习 专题05 解析几何 解答题 巩固练习四（教师版）

专题05解析几何解答题巩固练习四1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知抛物线：，过点作斜率互为相反数的直线，分别交抛物线于及两点．(1)若，求直线的方程；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）设，，∵，∴，，∵，∴，．又∵，∴，即，又∵，∴，或，当时，，∴，；当时，，∴，，此时直线AB的斜率不存在，舍去，∴，，∴直线的方程为：．（2）设直线：，则直线：，设，，，，

由，即，则，所以，，又∵，，∴，同理可证：，∴，∴，又∵，∴，∴．2．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．(1)求的内心坐标；(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点【解析】（1）∴椭圆的标准方程为，不妨取，则；因为中，，所以的内心在轴，设直线平分，交轴于，则为的内心，且，所以，则；（2）∵椭圆和弦均关于轴上下对称．若存在定点，则点必在轴上∴设当直线斜率存在时，设方程为，直线方程与椭圆方程联立，消去得，则①∵点的横坐标为1，均在直线上，，整理得，因为点在椭圆外，则直线的斜率必存在．∴存在定点满足题意

3．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，解得，所以椭圆的方程为.（2）设点的坐标分别为，

显然均不为零，依题意，令，有且，又四点共线，从而，即，，于是，从而①，②，又点在椭圆上，即③，④，①+②并结合③，④得，即动点总在定直线上，因此直线方程为，由消去y得，，设，则，于是，设，则点到直线的距离，其中锐角由确定，因此，当且仅当时取等号，所以的面积最大值为.4.（2023·河北·统考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作直线交于点，.(1)若，求直线的斜率；(2)设，是上异于的点，且，，三点共线，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析.【解析】（1）依题意，椭圆的左焦点，当直线的斜率为0时，此时、两点是椭圆长轴上的两点，向量，或，均不满足，不合题意，所以直线的斜率不为0.故可设直线的方程为，，，由得：，，则，①，由可得，所以，即②，由①②可得，，化简整理得，所以，所以直线的斜率为.（2）证明：由，可得直线的方程为，由得：，所以，结合可得：，，即，又，则，所以，所以.5.（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆，，为C的左右焦点.点为椭圆上一点，且.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.(1)求椭圆C的方程；(2)点M满足，求M的轨迹方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以，即，把代入，得，所以，故椭圆C的方程为；（2）由题意，直线AB斜率存在，不妨设其方程为，设点，联立椭圆方程，得，其中，则，所以，因为直线、的倾斜角互补，所以，所以，化简得，即，所以，若，此时直线AB过点P，