高考数学专题复习专题二不等式教案文

高考数学专题复习专题二不等式教案文

第一篇：高考数学专题复习专题二不等式教案文

2013年高考数学（文）复习

专题二不等式

自查网络

核心背记

-,不等关系与不等式的证明1-叫做不等式.

2.对于任意两个实数a和6,在a=6,a>b,a

（1）性质1:,称为不等式的对称性，（2）性质2.一，称

为不等式的传递性.（3）性质3:①推论1:,称为

不等式的移项法则.②推论2:—（同向不等式可以相加）.

（4）性质4;（不等式两边同乘非零数值）.①推论

1.—②推论2:一③推论3:—二，基本不等式与不等式的证明

（-）实数大小比较与运算性质之间的关系

四、不等式的应用

1.应用基本不等式解决实际问题

用基本不等式知识解决实际问题是不等式应用的一个重要内容，

常出现在选择与填空题中，属中档题.

Q）理解题意，确定量与量之间的关系；

（2）建立相应的不等式关系，把实际问题抽象（或转化）为不等式

问题；（3）回归到实际问题，得出满足实际要求的结论.2.不等式与

函数交汇的命题

用不等式知识解决函数问题是不等式应用的一个重要内容，也是

高考的一个热点和难点，常以压轴题的形式出现

3.不等式与解析几何、数列等知识交汇的命题不等式与解析几

何、数列的综合问题在近年的高考中时有出现，近两年更是以压轴题

形式出现，因此不等式与数列的综合问题是高考的重点，也是难

点.五、二元一次不等式组与简单线，性规划问题

（一）二元一次不等式表示平面区域1.一般地，二元一次不等式

Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O的某一侧的

所有点组成的平面区域（半平面）—边界直线，不等式

Ax+By+C>0所表示的平面区域（半平面）边界直线.

2.对于直线Ax+By+C=O同一侧的所有点。，y）,使得

Ax+By+C的值符号相同，也就是同一半平面的点，其坐标适合—；

而位于另一个半平面内的点，其坐标适合—3.可在直线Az-+B

y+C—O的某一侧任取一点,一般取特殊点（乂。，人），从Ax。+By。

+C的—来判断Az-+By+C>0（或Ax+By+C

4.由几个不等式组成的不等式组所表示的三面区域，是各个不等

式所表示的平面区域的—.

（二）基本概念

1.线性约束条件：由z,y的—（或方程）组成的不等式组,是

对z与y的—.2.目标函数：如z-2x十y,z=>+,等3.线

性目标函数；关于x,y的一

4.可行解：满足—的解（x,y）叫做可行解.5.可行域：—组

成的集合叫可行域.6.最优解：使目标函数达到—的可行解.

7.线性规划问题：求—在—的最大值或最小值的问题，统称

线性规划问题.参考答案

（-）1.一次不等式限制

2.求最大值或最小值的函数3.一次函数4.线性约束条件

5.所有可行解6.最大值或最小值

7.线性目标函数线性约束条件规律探究

1.不等式的性质是证明不等式、解不等式、求函数的定义域等问

题的依据，必须牢固掌握并会进行推导.

2,应用基本不等式求最值时必须注意〃一正、二定、三相等〃，

一正即必须各项均为正数；二定就是积定则和有最小值，和定则积有

最大值；三相等就是必须验证等号成立的条件，这是最容易出错的地

方.

4.要学会构造不等式求解或构造函数求函数最值的方法，求最值

时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误.

5.加强分类讨论思想的复习，加强函数与方程思想在不等式中的

应用训练.实际应用

参考答案1.【答案IC【命题立意】本题考查线性规划，利用线

性规划的一般方法求目标函数的最值.【解题思路】画出可行域如图

所示，根据图形，显然兰P—z平移到点A（6,。）时,目标函数取得

最大值，此时大值z-6.所以选择c【易错点】解决本题需要注意三条

直线斜率之间的关系，否则容易出现错误.

2.【答案】3【命题立意】本题考查利用基本不等式求解最值

【举一反三】在利用基本不等式求解最值时，要注意其三个条件

缺一不可，即一正（各项为正值）、二定（和或积为定值）、三相等

（即取得等号时变量是否在定义域限制范围之内）.3.【答案】27

【命题立意】本题考查了不等式之间的关系及代数式的最值探究问题，

考查了整体思想的应用

第二篇：高考数学专题复习专题七立体几何教案文

专题七立体几何

自查网络

核心背记

一、空间几何体的结构特征

（-）多面体

1.棱柱可以看成是一个多边形（包含图形所围成的平面部分）上

各点都沿同一个方向移动―所形成的几何体.

2.主要结构特征：棱柱有两个面互相平行，而其余的交线都互

相平行，其余的这些面都是四边形.

3.侧棱和底面—的棱柱叫做直棱柱,底面为的直棱柱叫做正棱

柱.4.有一个面是多边形，而其余各面都的三角形的多面体叫做棱

锥.

5.如果棱推的底面是一，它的顶点又在过且与底面垂直的直线

上，则这个棱锥叫做正棱锥，正棱锥各侧面都是一的等腰三角形，这

些等腰三角形一都相等，叫做棱锥的斜高.

6棱锥被一的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台.一——

7.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯

形，这些一叫做棱台的斜高.正棱台中两底面中心连线，相应的边心

距和•组成一个直角梯形；两底面中心连线，和两底面相应的外接圆

半径组成一个直角梯形.

（二）旋转体

1.分别以

一、直角梯形中——、———所在的直线为旋转轴，其余各边

旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台.旋转

轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；

垂直于轴的边旋转而成的叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋

转而成的叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫

做侧面的母线，’2.一个半圆绕着—所在的直线旋转一周所形成的

曲面叫球面，球面所围成的几何体称为1

球.球面也可以看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集

合.

3.球的截面性质：球的截面是；球心和截面（不过球心）圆心

的连线于截面；设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面圆的

距离d就是球心0到截面圆心Oi的距离，它们的关系是一.

4.球的大圆、小圆：球面被的平面截得的圆叫做球的大圆；球

面被的平面截得的圆叫做球的小圆.

（三）投影

1.当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有如下

性质：①直线或线段的平行投影是—；②平行直线的平行投影是；

③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段；④与投射面平行的平

面图形，它的投影与这个图形；⑤在同一直线或平行线上，两条线段

的平行投影的比等于—.2.-个.把一个图形照射在一个平面上，这

个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.空间图形经过中心投

影后，直线还是直线，但是平行线可能变成一.

3.在物体的平行投影中,如果投射线与投射面_,则称这样的

平行投影为正投影.4.除了平行投影的性质正投影还具备如下性质:

直于投射面的直线或线段的正投影是.②于投射霹的平面图形的

正投影是

（四）斜二测画法与三视图

1.斜二测画法的作图规则可以简记为：水平方向方向长度竖直

方向线，变为方线，长度

2.投射面与视图：通常，总是选取三个一的平面作为投射面，来

得到三个投影图.一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到水

平投射面内的图形叫做，一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做

直立投射面.投射到直立投射面内的圆形叫做和直立、水平两个投射

面都垂直的投射面叫做侧立投射I面.投射到侧立投射面内的圆形叫做

3.三视图定义：将空间图形向水平投射面，直立投射面、侧立投

射面作正投影.然后把这个投影按一定的布局放在一个平面内，这样

构成的图形叫做空闷图形的三视图.

4.三视图的画法要求；三视图的主视图、俯视图、左视图分别是

从物体的看到的物体的正投影围成的平面图形.

5.一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在的下面，长度与

一样；左视图放在主视图的，高度与—一样，宽度与——的宽度一

样为了便于记忆.通常说："长对正高平齐、宽相等"或"主左一样

高、主俯一样长、左俯一样宽

6.画三视图时应注意：被挡住的轮廓要画成瘦线，尺寸线用细支

线标出；（P表示直径，R表示半径；单位不注明按mm计，二、空间

几何体的表面积与体积

（一）柱、锥、台的表面积公式

1.设直棱柱的高为b,底面多边形的周长为c,则直棱柱侧面面

积计算公式为——.设圆柱的底面半径为r周长为C,侧面母线长为I,

则圆柱的侧面积是—.2.设正棱锥的底面边长为a,底面周长为C,

斜高为h,则正n梭锥的侧面积计算公式为一•如果圆锥底面半径为r,

周长为C,侧面母线长为I,那么圆锥的侧面积是一.

3.如果设正棱台下底面边长为a、周长为C,上底面边长为a;周

长为G斜高为h\则正竹棱台的侧面积公式为—.如果圆台的上下

底面半径分为r\r,周长为C,C,侧面母线长为I,那么圆台的侧面

积是

（二）柱、锥、台的体积公式

1.棱柱的底面面积为S,高为h,则体积为——’

底面半径为「，高是h的圆柱体的体积计算公式是一一.

2.若一个棱锥的底面面积为S.高为h,那么它的体积公式为

一.若圆锥的底面圆的半径为r,高为h,则体积为一.

3.若台体（棱台、圆台）上、下底面面积分别为S,S,高为h,

则台体的体积公式为一，若圆台的上、下底面半径分别为r,r,高为

h.则圆台的体积公式为

（三）球的表面积与体积公式设球的半径为R.则球的表面积计

算公式为-.即球面面积等于它的大圆面积的—.球的体积公式为

三、平面的基本性质与推论

（-）平面的定义平面是一个不加定义，只需理解的最基本的原

始概念.在生活中平静的水面、镜面、书桌面都给我们平面的印象，

立体几何中的平面就是由此抽象出来的.平面是处处平直的面，它是

向四面八方一的.无大小、厚薄之分，它是不可度量的.

（二）平面的基本性质及推论1.平面的基本性质1:如果一条直

线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内，这时

我们说：直线在平面内或平面一直线.

2.平面的基本性质2:经过—的三点，有且只有一个平面，即：

—的三点确定一个平面.

3.推论1:经过一条直线和——点，有且只有一个平面.4.推论

2:经过两条直线有且只有一个平面.5.推论3:经过两条直线有且

只有一个平面.

6.面面相交：如果两个平面有一条公共直线，则称之为两平面

相交，这条公共直线也叫做两个平面的交线.平面口与p相交，交线

是Z,符号表示为.

7.平面的基本性质3:如果不重合的两个平面有一个公共点，那

么它们一条经过一的公共直线.

（三）异面直线

1.—_的直线叫做异面直线.

2.异面直线的判定：与一平面相交于一点的直线与平面内一的

直线是异面直线,用符号表示为：若ABn口-B,B垂z,Zc口，则直

线AB与直线z是异面直线.

四、空间中的平行关系

（-）平面的基本性质4与等角定理

1.平面的基本性质4:平行子同一直线的两条直线—.符号表

示为：若直线矗116.CII6,那么——.

2.等角定理：如果一个角的p边与另一个角的两边分别对应平行，

并且一,那么这两个角相等.

（二）空间四边形顺次连接一的四点A.B,C.D所梅成的图

形叫做空闻四边形.其中,四个点A,B,C.D,每个点都Hq它的

一.所连接的相邻顶点fa-的线段叫做它的—•连接不相邻的顶点

的线段叫做空间四边形的—.

（三）直线与平面平行

1.直线a和平面口只有一个公共点A,叫做直线与平面—.这个

公共点A叫做直线与平面的交点.记作—.

2,直线a与平面a没有公共点，叫做直线与平面平行.记作一一.

3.判定定理：如果—的一条直线和——的一条直线平行，那么

这条直线与这个平面平行.4.性质定理：如果一条直线与一个平面

平行的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线

平行.

（四）平面与平面平行

1.两不重合平面有公共点就叫两平面相交，记作口n卢2Z.若

两个平面一，则称这两个平面为平行平面，"平面口平行于平面p"可

以记作〃口1111.

2.平面与平面平行的判定定理；如果一个平面内有两条一直线

都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.3.推论：如果一个平面

内有两条一直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平

面平行.

4.性质定理：如果两个—平面同时与第三个平面相交,那么它

们的交线平行.符号语言表示为:口〃pza(ly=a,pffy=b净_,.。

5.两个平面平行，其中一个平面内的一直线平行于另一个平

面.五，空间中的垂直关系

(—)直线与平面垂直

1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角

为一，则称这两条直线互相垂直.

2.直线与平面垂直的定义：如果一条直线Z和一个平面口相交于

点0,并且Z和这个平面内过点0的直线都垂直，则该直线垂直于这

个平面.这条直线叫做平面的——，这个平面叫做直线的交点

叫做。.-O-..-.O_—.

3.点到平面的距离：垂线上任意一点到一间的线段，叫做这个点

到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.

4.判定定理：如果一条直线与平面内的两条直线垂直，则这条直

线与这个平面垂直.5.推论：如果在两条—一直线中，有一条直线

垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。’

6.性质定理：如果两条直线垂直予同一个平面，那么这两条直线

一—-7.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平

面内的一一直线.

(二)平面与平面垂直

1*如果两个相交平面的一与第三个平面垂直，又这两个平面与第

三个平面相交所得的两条直线互相—.就称这p个平面互相垂直.

2.如果-个平面过另一个平面的一，则这两个平面互相垂直.

3.如果两个平面互相垂直，那么在一垂直予它们一

二、的直线垂直于另一个平面.4.如果p个平面互相垂直，那么

经过第一个平面内的一点垂直于第二AI平面的直线在—平面内.

参考答案

一、(-)1.相同的距离2.每相邻两个面3.垂直正多边形

4.有一个公共顶点

5.正多边形底面中心全等底边上的高6.平行于底面

7.等腰梯形的高斜高侧援

（=）1.矩形的一条边直焦三角形的一条直角边垂直于底边的腰圆

面曲面

（=）1.所有点经过

2.不在同一直线上不共线3.直线外..4.相交5.平行6.a

7.有且只有这个点‘

（=）1.既不平行也不相交2.不经过该点

四、（一）1.互相平行a//c2.方向相同

（二）不共面顶点边对角线

（三）1.相交ana=A2.a//a3.不在一个平面内平面内4.经过

这条直线

（四）1.没有公共点2.相交3.相交4.平行a〃b5.任意

五、（一）1-直角2.任何垂线垂面垂足3.垂足4.相交5.平

行6.平行7.任意条

（-）1.交线垂直2.一条垂线3._AI平面内交线4.第一个

规律探究

1.在正棱锥中，要利用四个直角三角形（高、斜高及底面边心

距组成一个直角三角形，高、侧棱与底面外接圆的半径组成一个直角

三角形，底面的边心距、外接圆半径及底边一半组成一个直角三角形,

侧棱、斜高与底边一半组成一个直角三角形）进行有关计算.2.在正

棱台中，要充分利用三个直角梯形（高、斜高及上下底面的边心距组

成一个直角梯形，侧棱、斜高及上下底边的一半组成一个直角梯形，

侧梭、高及上下底面外接圆半径组成一个直角梯形）、两个直角三角

形（上下底面的边心距，外接圆半径和边的一半）进行有关计算.

3.解与直观图有关的问题时，应熟练掌握斜二测画法的规则，关

键是确定宣观图的顶点或其他关键点.因此，尽量把顶点或其他关键

点放在轴上或与轴平行的直线上.

4.学习三视图应会选取投射面，正确放置三视图中三个图的位置，

掌握三视图之间的联系和规律：正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相

同.

5.棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再

求和.对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式,6.圆柱、圆

锥、圆台侧面积就是其侧面展开图的面积，要熟泥公式.

7.有关旋转体的问题或球与多面体的切、接问题，特别要注意应

用轴截面.8.有关体积的问题，要注意"等积变换"〃分割求和〃

"拼补求差〃等解题思路.

9.结合模型，在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台的表面积公式

和体积公式.

10.球的体积公式和表面积公式是用无限分割的极限思想推导出来

的.主要是记忆、掌握公式.

11.求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积之和，

对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面半径和母线长可以用表面积

公式直接求出；对于棱柱、棱推、棱台没有一般计算公式，可以直接

根据条件求各个面的面积.

12.求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面

积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高

不知道时，求高比较困难，一般要转化勾平面几何知识求出高.

13.证明直线共面可通过先证明其中的两条直线确定一个平面，

再证明其余的直线都在这个平面内；也可以利用共面向量定理来证

明.证明空间几点共面，可先取不共线的三点确定一个平面，再证明

其他的点都在这个平面内’14.理解“有且只有一个〃的含义，它强调

存在性和唯一性两个方面，也称为〃确定"平面.15.求证三点及三

点以上的点共线，主要是依据平面的基本性质3,只要证明这些点都是

两个平面的公共点’那么它们都在这两个平面的交线上；求证三条直线

或三条以上的直线共点的一般方法是：首先证明其中两条直线交于一

点，再证明其余各直线都经过这点-16.平面的基本性质2及其推论是

空间中确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几

何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.

17.直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直

线和直线的位置关系，直线6

和平面平行的性质定理在应用时，要特别注意〃一条直线平行于

一个平面，就平行于这个平面的一切直线"的错误结论.

18.以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利

用转化和降维的思想方法求锵其他几何参量.19.线面平行和面面平行

的判定和性质20.转化思想方法：直线与平面平行的判定定理和性质

定理的实质就是线线平行与线面平行的转化.

21.要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题.对此需强调两点；

第一，辅助线、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或

辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆

断，否则谬误难免.

22.直线与平面垂直，只需这条直线垂直于这个平面内的两条相交

直线，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这无关紧要.

23.三垂线定理及其逆定理是立体几何中的重要定理，复习运用时

要注意：

①弄清定理中所指明的三种垂线，②定理中的直线a-定在某直线

的射影所在的平面a内，因此要熟练地掌握直线n在不同位置时的情

况.

24.在证明两平面垂直时，一般先从现有直线的平面中寻找平面的

垂线，若这样的直线图中没有明确给出，则可通过作辅助线来解决，

而作辅助线则应有理论根据，并有利于证明，不能随意添加，如有平

面垂直时，一般要用性质定理，在一个面内作交线的垂线，使之转化

为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.25.线面垂直的判定和性

质：①依定义，所成角为90。,②判定定理；③性质定理；④其他结

论，如，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂

直于同一个平面.

26.应用三垂线定理的难点主要是对非水平放置的图形的辨认，在

解证中可按照"一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随

便〃的原则去认定图形.其关键是转化，即把已知的线线垂直转化为

所需的线线垂直’也就是斜线和它在平面内的射影的转化，因此，寻

找斜线、射影非常重要.

实际应用

3.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABIICD,

ACIBD,垂足为H,PH是四棱锥的高.⑴证明.平面PAC_1_平面

PBD:,（H）若AB-厢，/APB—/ADB=60o,求四簸P-ABCD的

体积.

参考答案1.【答案ID【命题立意】本题考查几何体的直观图和

三视图的有关知识，考查学生的空间想象能力.【解题思路】由已知

条件和直观图（斜二测）可知D正确.2.【答案】D【命题立意】本

题考查空间想象能力及平行与垂直关系的推理与论证.【解题思路】A

错，平行直线的平行投影仍可平行；B错’平行于同~直线的两平面可

平行或相交；c错，垂直于同一平面的两平面可平行或相交；D正确，

空间想象易知垂直于同一平面的两直线平行，

第三篇：XX届高考数学第一轮不等式专项复习教案

XX届高考数学第一轮不等式专项复习教

案

•网络体系总览

•考点目标定位

.理解不等式的性质及应用2掌握两个（不扩展到三个）正数的算

术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比

较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法5理解

不等式同一|b|w|a±b|w|a|+|b|.•复习方略指南

本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方

面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一

起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助

不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形

结合思想及分类讨论思想等教学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，

不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题

的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：

.复习不等式的性质时，要克服"想当然"和〃显然成立"的思维

定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据2不等式的证明方法除

比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造

法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.

解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起

来4注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用5利用平均值定

理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一〃正〃、二

"定〃、三〃相等〃.6.对于含有绝对值的不等式(问题)，要紧紧抓

住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义7要强化不等式的

应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系61不等式

的性质

•知识梳理

比较准则：a・b>Oa>b;

a-b=0a=b;a-b<0a<b.2.基本性质：(1)a>bb<a.(2)

a>b,b>ca>c.(3)a>ba+c>b+c;a>b,c>da+c>b+d.(4)

a>b#c>Oac>be;a>bzc<Oac<bc;a>b>Ozc>cl>Oac>

bd.(5)a>b>0

>(nwNzn>1);a>b>Oan>bn(nGN,n>1).3.要注意

不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a>b#ab>0

<,不能弱化条件得a>b

<,也不能强化条件得a>b>0

<.4.要正确处理带等号的情况.如由a>b,b"或a?b,b>c均

可得出a>c;而由azb,b"可能有a>c,也可能有a=c,当且仅当

a二b且b二c时,才会有a=c.5.性质(3)的推论以及性质(4)的推论

可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质(5)中的指数n可以推广到

任意正数的情形特别提示

不等式的性质从形式上可分两类：一类是"〃型；另一类是""

型.要注意二者的区别.•点击双基

.若a<b<0,则下列不等式不能成立的是

A.>

B.2a>2b

c.|a|>|b|

D.()a>()b

解析：由a<b<0知ab>0,因止匕a・<b•，即>成立;

由a<b〈O得-b>0,因此同>|b|>0成立.又()x是减

函数，所以()a>()b成立.故不成立的是B.答案：B

2.(XX年春季北京，7)已知三个不等式:ab>Ofbc-ad>0,

->0(其中a、b、c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，

余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数

是

A.0

B.1

c.2

D.3

解析：由ab>0,be-ad>0可得出->O.bc-ad>0f两端同除

以ab,得・>0.同样由・>0,ab>0可得be・ad>O.ab>0.答案：

D

3.设a£(0,)邛£[0,]，那么2a-的范围是

A.(0,)

B.(-，)

C.(0,TT)

D.(-,TI)

解析：由题设得0<2a<TT,0<<..,.-<-<0..*.-<2a-.答

案：D

4.a>b>0,m>0,n>0,贝!J,,的由大到小的顺序是

.解析：特殊值法即可

答案：>>>

5.设a=2-,b=-2,c=5-2/则a、b、c之间的大小关系为

.解析：a=2-=-<0z/.b>O.c=5-2=->O.b-c=3-

7=-<O./.c>b>a.答案：c>b>a

•典例剖析

【例1】已知・1<a+b<3且2va・bv4,求2a+3b的取值范

围.剖析：va+b,a-b的范围已知，二要求2a+3b的取值范围，只需

将2a+3b用已知量a+b,a-b表示出来.可设2a+3b=x(a+b)+y

(a-b),用待定系数法求出x、y.解：设2a+3b=x(a+b)+y(a

-b),・••解得

/.-<(a+b)<z-2<-(a-b)<-1./.-<(a+b)-(a

-b)<，即・<2a+3b<.评述:解此题常见错误是：-1<a+b<3,

@

2<a-b<4.②

①+②得l<2a<7.③

由②得-4<b-a<-2.(4)

①+④得-5<2b<11-<3b<.⑤

③+⑤得-<2a+3b<.思考讨论

.评述中解法错在何处？

2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题：

已知函数f(x)=ax2-c,满足-4"(1)w-1,-14(2)

«5,求f(3)的最大值和最小值.答案:20-1

【例2】(XX年福建，3)命题p:若a、b£R,则|a|+|b|>l是

|a+b|>1的充分而不必要条件；命题q:函数y二的定义域是(-8,

・1]U[3,+8),则

A.〃p或q〃为假

B.〃p且q〃为真

cp真q假

D.p假q真

剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.解：•・•|a+b|w|a|+|b|,若

|a|+|b|>1不能推出|a+b|>1,而|a+b|>1一定有|a|+|b|>1,故命题

P为假.又函数y二的定义域为|x-1|-2>0,小-1|>2.AX<-1或

x>3./.q为真.答案：D

［例3］比较1+Iogx3与2logx2(x>0且x/1)的大小.剖析:

由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函

数的单调性解：(1+Iogx3)-2logx2=logx.当或即0vxv1或x>

时，有logx>0,1+Iogx3>2logx2.当①或②时,logx<0.解①得无

解，解②得1<x<,即当1<x〈时，有logx<0,1+Iogx3<2logx2.

当x=l,即x=日寸，有Iogx=0.「.l+logx3=2logx2.综上所述，当0<x

<1或x>时，1+Iogx3>2logx2;

当1vx<时，1+Iogx3<2logx2;

当x=时，1+1。9乂3=21。9乂2.评述：作差看符号是比较两数大小的

常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展

函数f(x)=x2+(b・1)x+c的图象与x轴交于(xl,0)、

(x2,0),且x2-xl>1.当tvxl时，比较t2+bt+c与xl的大小.

提示：令f(x)=(x-xl)(x-x2)f/.x2+bx+c=(x-xl)(x-

x2)+x把t2+bt+c与xl作差即可.答案:t2+bt+c>xl.•闯关训练

夯实基础

.(XX年辽宁，2)对于0<a<1,给出下列四个不等式：

®loga(1+a)<loga(1+);②loga(1+a)>loga(1+);

@al+a<al;④al+a>a.其中成立的是

A.①③

B.①④

c.②③

D.②④

解析：.0<a<1,/.a<,从而1+a<l+./.loga(1+a)>loga

(1+).又二。<a<l,/.al+a>a.故②与④成立.答案：D

2.若p=a+(a>2),q=2,则

A.p>q

B.p<q

c.p却

D-P<q

解析：p=a-2++2>4,而・a2+4a-2=-(a・2)2+2<2,

.,.q<4.「.p>q.答案:A

3.已知-1<2a<0,A=l+a2,B=1-a2,c=,D=贝！]A、B、c、

D按从小到大的顺序排列起来是__________.解析：取特殊值a=-,

计算可得A=，B=,c=,D=./.D<B<A<c.答案:D<B<A<c

4.若l<a<3,-4<0<2,则a-IBI的取值范围是______.

解析：・4v0<2,「.OMIBIv4.「.・4<・・3va・v3.答

案：(-3,3)

5.已知a>2,b>2t试比较a+b与ab的大小.解:,.ab-(a+b)

=(a-1)(b-1)-1/Xa>2,b>2//.a-1>1,b-1>1./.

(a-1)(b-1)>1z(a-1)(b-1)-1>O./.ab>a+b.6.设

A=xn+x-n,B=xn-l+xl-n,当xER+,nEN时，求证：A>B.

证明:A-B=(xn+x-n)-(xn-1+xl-n)=x-n(x2n+l-

x2n-1-x)

=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]=x-n(x-1)

(x2n・1・1)・由xER+,x・n>0,得

当XN1时，x-120,x2n-1-1>0;

当x<l时，x・l<0,x2n・l<0,即x-1与x2n-1-1同

号BNQ.'ANB.培养能力

7.设0<x<lfa>0S.a^,试比较|log3a(1-x)3|与|log3a

(1+x)3|的大小.解:,.0<xv1,.•.①当3a>1,即a>时"log3a

(1-x)3|-|log3a(1+x)3|=|3log3a(1-x)|-|3log3a(1+x)

I

=3[-Iog3a(1-x)-Iog3a(1+x)]=-3log3a(1-

x2).-.0<1-x2<1,-3log3a(1-x2)>0.②当0<3a<1,即0

va〈时"log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|=3[Iog3a(1-x)

+Iog3a(1+x)]

=3log3a(1-x2)>0.综上所述"log3a(1-x)3|>|log3a

(1+x)3|.8.设ah,令a2=l+.(1)证明介于al.a2之间;

(2)求al、a2中哪一个更接近于；

(3)你能设计一个比a2更接近于的一个aB吗？并说明理由.(1)

证明：(-al)(-a2)=(-al)•(-1-)=<0..•・介于al.a2

之间・(2)解：

=|"al|<|-al|./.a2比al更接近于.(3)解：令a3=l+,则a3

比a2更接近于.由(2)知|-a3|=|-a2|<|-a2|.探究创新

9.已知x>-1,也2且n£N*,比较(1+x)n与1+nx的大小.

解：设f(x)=(1+x)n-(1+nx)，贝ij(x)=n(1+x)n-1-

n=n[(1+x)n-1-1].由(x)=0得x=0.当xG(-1,0)时，

(x)<0,"乂)在(・1,0)上递减.当><£(0,+8)时，(x)>

0,f(x)在(0,+oo)上递增，的0时，f(x)最小，最小值为0,

即f(x)>0..'.(1+x)n21+nx评述:理科学生也可以用数学归纳法

证明.•思悟小结

.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有己-

b>0a>bza-b=0a=bza-b<0a<bz这是比较两数(式)大小

的理论根据，也是学W不等式的基石2一定要在理解的基础上记准、

记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个

(或两个以上)不等式同加(或同乘)时一定要注意不等式是否同向

(且大于零)4对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.•教师下载

中心

教学点睛

.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算2通过复习要

强化不等式“运算"的条件.如a>b、od在什么条件下才能推出ac

>bd.3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.

拓展题例

【例1]已知f(x)=|log2(x+1)|,m<n/f(m)=f(n).

(1)匕瞅m+n与0的大小；

(2)比较f()与f()的大小.剖析：本题关键是如何去掉绝对

值号，然后再判断差的符号.解：(1)」(m)=f(n),.[logZ

(m+l)|=|log2(n+1)|./.log22(m+l)=log22(n+1)

[Iog2(m+1)+Iog2(n+1)][Iog2(m+1)-Iog2(n+1)]

=0zIog2(m+1)(n+1)•Iog2=0//m<nf/./l./.log2(m+1)

(n+1)=0..,.mn+m+n+l=l./.mn+m+n=0.^m、ne(-1,0]

或m、nW[0,+8)时，由函数y=f(x)的且调性知xe(-1,0]

时，f(x)为减函数，x£[0,+8)时，f(x)为增函数，f(m)

/f(n)-1<m<0,n>O.「.m・n<O./.m+n=-mn>0.(2)f()

=|log2|=-Iog2=log2,f()=|log2|=log2.-==->O./.f()>f

().[例2]某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社

提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余

人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按

七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家

旅行社外出旅游合算？

解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收

费总金额分别为yl和y2.一张全票价格为a元，那么yl=a+0.55ax,

y2=0.75(x+1)a./.yl-y2=a+0.55ax-0.75a(x+1)=0.2a(1.25

・x)..•.当x>1.25时，yl<y2;

当x<1.25时，yl>y2.又因x为正整数,所以当x=l,即两口之

家应选择乙旅行社；

当XN2(XWN),即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.

课

彳牛

第四篇：高考第一轮复习数学：不等式的证明

不等式的证明

(-)•知识梳理

1.均值定理：a+b>2ab;ab<(a+b2)2(a、beR+),当且

仅当a=b时取等号2比较法：a-b>Ona>b,a-b<Ona<b.3.作

商法:a>O#b>O,ab>l=>a>b.特别提示

L比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判

断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式

或配成完全平方式2比商法要注意使用条件，若•点击双基

1.若a、b是正数,则

a+b2ab>1不能推出a>b.这里要注意a、b两数的符号.、ab、

2aba+b、a2+b22这四个数的大小顺序是

A.ab<a+b22<2aba+b<

a2+b22

B.a2+b2<ab<

a+b2<

2aba+b2

C.2aba+b<ab<a+b22<

a2+b2

D.ab<a+b2<

a+b22<

2aba+b

解析：可设a=l,b=2,则a+b2=43232,ab=2,2aba+ba2=,

l+4252+b2===2.5.答案:C

2.设0<x<1,则a=2x,b=l+x,c=A.a

解析：•・,（）<x<1zB.b

11-x中最大的一个是C.c

D.不能确定

/.1+x>2x=4x>2x..,.只需比较1+x与=l+x-/.1+x<

ll-xll-xll-x2的大小.=-

x2=.l-x-ll-xl-x<0,答案：C3.（2005年春季上海，15）若

a、b、c是常数，则“a>0且b2-4ac<0〃是〃对任意xcR,有

ax2+bx+c>0n的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

必要条件解析：当a>0,b2・4acv0时，ax2+bx+c>0.反之,

ax+bx+c>0对x£R成立不能推出a>0,b-4ac<0.反例：a=b=0,

c=2.故选A.答案：A4.（理）已知|a+b|<-c（a、b、ceR），给出

下列不等式：

®a<-b-c;@a>-b+c;0a<b-c;④|a|<|b|-c;0|a|<

-|b|-c.其中一定成立的不等式是__________.(把成立的不等式的序

号者B填上)解析：*.|a+b|<-c,/.c<a+b<-c./.-b+c<a<-b-

c.故①②成立,③不成立<-c,|a+b|>|a|-|b|,.,.|a|-|b|<

-c./.|a|<|b|-c.故④成立,⑤不成立.答案：①②④

(文)若a、bGR,有下列不等式：①a+3>2a;②a+b22(a

-b-1);③a+b>a3b2+a2b3;④a+la

222

552

2N2.其中一定成立的是________.解析：①a2+3-2a=(a-1)

2+2>0，.=a2+3>2a;

②a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2>0,/.a2+b2>2

(a-b-1);

③a+b-ab-ab=a(a-b)+b(b-a)=(a2-b2)(a3-

b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)//(a-b)>0,

a+ab+b>0，但a+b符号不确定，「.a5+b5>a3b2+a2b3不正确；

④awR时，a+答案：①②la22

255322

332

2>2不正确.5.船在流水中在甲顺口乙地间来回行驶一次的平均速

度vl和在静水中的速度v2的大小关系为.解析：设甲地至

乙地的距离为s,船在静水中的速度为v2,水流速度为v(v2>v>0),

则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间

t=sv2+v+sv2-v=v2v22v2s2-v22,平均速度vl=22st2二

-W2/.V1-v2=/.vl<v2.v2-vv22-v2=-

v2v2<0,答案：vl<v2•典例剖析

【例1】设a>0,b>0,求证：(a21b)2(b2111a)

22a2+b2.剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或

比商法证明.证法一：左边•右边二

(a)+(b)ab(a+b)(a-ab+b)-ab(a+b)(a-2ab+b)

(a+ab(a+b)33-(a+b)

b)(aba-b)22O.ab.,.原不等式成立.证法二：左边>0,右边>

0,左边右边二(a+b)(a-ab(a+ab+b)b)=

a-ab+bab>

2ab-abab=1..,.原不等式成立.评述：用比较法证不等式,一般要

经历作差(或商)、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因

式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下

面的例3则是公式法与配方法的综合应用.［例2］已知a、b、x、

y£R且求证：xx+a+

la>

lb,x>y.>yy+b.剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分

析法较适合.证法一：(作差比较法)

,又xx+ala-lbyy+b(x+a)(y+b)=

bx-ay,>且a、b£R+,/.b>a>0.又x>y>0,.\bx>

ay./.bx-ay(x+a)(y+b)>0,即

xx+a>

yy+b.证法二:(分析法)「X、y、a、b£R,.,.要证+

xx+a>

yy+b,只需证明x(y+b)>y(x+a),即证xb>ya.而由la>

lb>0,/.b>a>0.又x>y>0,知xb>ya显然成立.故原不等式成立.

思考讨论

该例若用函数的单调性应如何构造函数？解法一：令f(x)二再令

g(x)=*/laxx+a,易证f(x)在(0,+oo)上为增函数，从而

xx+a>

yy+b.mm+x,易证g(x)在(0,+oo)上单调递减.+>lb,a、

beR./.a<b.mm+a/.g(a)>g(b)，即〉

mm+b,命题得证.xy解法二：原不等式即为

axa+1>

byb+1,为此构造函数f(x)=

xx+1,xe(0z+oo).xa易证f(x)在(0,+oo)上为单调增函

数，而xy>

yb,/.axa+1>byb+1,即

xx+a>

yy+b.[例3]某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6t,

每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3

元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，

才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：

当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠(即原价的

90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.解：(1)设该

厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6xt,由题意知，面粉的保管

等其他费用为3[6x+6(x-1)+〃+6x2+6xl]=9x(x+1).设平均

每天所支付的总费用为yl元，则yl=900xlx[9x(x+1)+900]

+6x1800=+9x+10809>

2900x9x+10809=10989.当且仅当9x=900x,即x=10时取等

号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费

用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面

粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2==lx[9x(x+1)+900]+6x1800x0.90+9x+9729

(x>35),100x900x令f(x)=x+(x>35),x2>xl>35，则f(xl)

-f(x2)=(xl+=

100x1)-(x2+

100x2)

(x2-xl)(100-xlx2)xlx2

•/x2>xl>35,「.x2-xl>0rxlx2>0,100-xlx2<O./.f(xl)

-f(x2)<0,f(xl)<f(x2),即f(x)=x+100x,当x>35时

为增函数；当x=35时，f(x)有最小值，此时y2<为989..该厂应该

接受此优惠条件.•闯关训练夯实基础

1.设x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则A.x+y<22+2

B.x+y>22+2D.x+y>(2+1)

2C.x+y<(2+1)解析:\x>0,y>0z/.xy<(由xy-(x+y)

二1得(/.x+y之2+22.答案:B

x+y2x+y2).2)2-(x+y)21.2.已知x、ywR,M=x2+y2+l,

N=x+y+xy，则M与N的大小关系是A.M>N

B.M<N

C.M=N

D.不能确定

解析：M-N=x+y+l-(x+y+xy)==121222[(x2+y2-

2xy)+(x2-2x+l)+(y2-2y+l)][(x-y)2+(x-1)2+

(y-l)2]20.答案：A3.设a>0,b>0,a+解析：a+

22b22b2=l,则al+b2的最大值是

.+12b2b22=l<=>a+

32.a2「.al+b2=2a•答案:324+12+b22+12332=2-2=.<2-

a+b24.若记号〃必表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，

即aXb=，则两边均含有运算符号和,且对于任意3个实

数a、b、c都能成立的一个等式可以是.解析：

•/aXb=a+b2b+a2,bXa=,/.aXb+c=bXa+c.答案：

aXb+c=bXa+c.思考：对于运算杂”分配律成立吗？即④※(b+c)

=aXb+aXc.答案：不成立

5.当m>n时，求证：m3-m2n-3mn2>2m2n-6mn2+n3.

证明:,/(m3-m2n-3mn2)-(2m2n-6mn2+n3)=m3

-3m2n+3mn2-n3=(m-n)3,3又m>n,/.m-n>0./.(m

-n)>0,BP(m3-m2n-3mn2)-(2m2n-6mn2+