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文档简介

8.5.2直线与平面平行的判定（二）平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：

定理引申：当两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线均与另一个平面平行。由此，我们得到了直线-平面间平行的关系图：直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行引申性质性质判定判定

平面与平面平行的定理引申，给了我们一种证明直线与平面平行的新思路，当应用“第一类方法”在平面内寻找和已知直线平行的直线遇到困难时，我们可以通过已知直线寻找或构造一个和原有平面平行的平面，进而得到直线与平面平行的证明。我们把这类通过寻找或构建面面平行来证明线面平行的线面平行判定方法称为“第二类方法”。ABCGEFPD例1：如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，求证：ABCGEFPD本例如果应用“第一类方法”，需取AD中点H，连FH，GH后，先证明E,F,G,H四点共面（），再通过得到。我们虽然找到了平面内和已知直线PA平行的直线FH，但也对原有平面表达进行了拓展（面EFG面EFHG），还需附加共面的证明。HABCGEFPD观察图形，容易发现包含直线PA的平面PAB中的另两条直线PB、AB，均平行于平面EFG，由此即可得平面PAB∥平面EFG，那么也就得到了PA∥平面EFG。ABCGEFPDABCGEFPD“第二类方法”通过寻找或构建包含已知直线的平面，通过面面平行来得到线面平行，比“第一类方法”更具空间特色，并且可以解决不方便在平面内找到直线和已知直线平行或不方便证明平面内相关直线和已知直线平行的线面平行证明问题。比如将本例更改为在AB上任选一点H，证明PH∥平面EFG。ABCMNPD回顾上一讲中的例3，我们也可以用“第二类方法”加以证明：欲证明MN∥平面PAD，可以通过MN寻找或构建一个与平面PAD平行的平面，很明显图形内没有已知的包含MN的平面与平面PAD平行，所以我们需要构建一个符合条件的平面。这个构建过程可以想象成用刀沿MN“切”出一个平面与面PAD平行。ABCMNPD类似于“第一类方法”，在切出这个平面的过程中，切面与棱CD的交点H是我们关注的重点。在连接NH和MH后，我们要构建的和已知平面PAD平行的平面就找到了。从形式上看，这个“寻点-连线-证明”的过程和“第一类方法”是统一的。HABNMSDC例2：如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且求证：MN∥平面SBC.ABNMSDCPEABB1DA1CC1

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