2025年九年级中考数学一轮复习 第四章 图形的性质 第一讲 相交线与平行线

第1页（共1页）中考数学一轮复习第四章图形的性质第一讲相交线与平行线一．选择题（共10小题）1．（2025•武汉模拟）如图，潜望镜中的两面镜子AB与CD互相平行放置，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2025•西安二模）如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠F（不包括∠F）相等的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024秋•微山县期末）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，n条直线两两相交，最多交点个数是（）A．12n(n−1) B．C．n（n+1） D．（n﹣1）（n+1）4．（2025•碧江区一模）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠DOB＝43°，则∠EOD的度数是（）A．143° B．133° C．47° D．43°5．（2024秋•贵州期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（）A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180°6．（2025•天涯区模拟）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（）A．45° B．55° C．35° D．65°7．（2024秋•盐城期末）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8．（2024秋•芜湖期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（）A．72° B．90° C．108° D．144°9．（2024秋•松北区期末）下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（）A． B． C． D．10．（2025•宿豫区一模）如图，AB∥CD，AE平分∠BAC．若∠1＝40°，则∠AED的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．140°二．填空题（共5小题）11．（2024秋•李沧区期末）如图，两条平行直线DE，FG被直线AB，BC所截，若∠1＝52°，∠2＝∠B，则∠B的度数为°．12．（2024秋•廉江市期末）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是．13．（2025春•浦东新区校级月考）如图，已知GF交AB于点Q，交CD于点F，FE平分∠GFD，交AB于点E，∠AQG＝50°．当∠EFD＝°时，AB∥CD．14．（2024秋•社旗县期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为°．15．（2024秋•让胡路区期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•北碚区校级期末）已知：如图，在三角形DBF中，DE⊥BF，DE平分∠BDF，点A是线段BD延长线上一点，点C在线段EF上，连接AC交DF于点M，∠A=1求证：AC⊥BF．请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据．证明：∵DE平分∠BDF，∴∠BDE=12∠BDF（∵∠A=1∴∠A＝②（③），∴AC∥④（⑤），∴∠ACB＝∠DEB（⑥）．∵DE⊥BF，∴∠DEB＝90°（⑦），∴∠ACB＝⑧，∴AC⊥BF．17．（2024秋•姜堰区期末）如图，∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D．（1）BD与CE平行吗？为什么？（2）探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由．18．（2024秋•南阳期末）综合与实践（1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠AMP＝32°，∠DNP＝128°，求∠MPN的度数．（2）如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，则∠AMP，∠CNP，∠MPN之间有何数量关系？并说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，∠MPN＝α，∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E，求∠MEN的度数．（结果用含α的式子表示）19．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．（1）求证：∠E＝∠ECD；（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，判断△BCE是什么三角形，并说明理由．20．（2025春•西安月考）如图：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、CD间的动点．（1）如图①，点P在线段EF左侧，找出∠AEP、∠EPF、∠PFC的数量关系并证明．（2）如图②，点P在线段EF右侧时，找出∠AEP、∠EPF、∠PFC数量关系并证明．（3）若∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q，且∠EPF＝70°，求∠EQF的度数．21．（2025春•浦东新区校级月考）如图，∠BAF＝50°，∠ACE＝140°，CD⊥CE，证明：DC∥AB．22．（2024秋•扬州期末）如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．（1）判断ED与FG的位置关系，并说明理由；（2）∠2与∠3相等吗？为什么？（3）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的大小．23．（2025春•浦东新区校级月考）如图，已知∠BAE+∠AED＝180°，若∠1＝∠2，则∠M＝∠N．完成推理过程．

中考数学一轮复习第四章图形的性质第一讲相交线与平行线参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDABBBCCCB一．选择题（共10小题）1．（2025•武汉模拟）如图，潜望镜中的两面镜子AB与CD互相平行放置，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠2，即可得到∠4＝∠1＝45°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠4＝∠1＝45°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠2．2．（2025•西安二模）如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠F（不包括∠F）相等的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：由平行线的性质可知：与∠F相等的角有：∠A，∠ADC，∠C，∠CGE，故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2024秋•微山县期末）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，n条直线两两相交，最多交点个数是（）A．12n(n−1) B．C．n（n+1） D．（n﹣1）（n+1）【分析】根据两条直线相交，最多有1个交点，三条直线两两相交，最多有3＝1+2个交点，四条直线两两相交，最多有6＝1+2+3个交点，则n条直线两两相交，最多交点个数是1+2+3+…+（n﹣1）=12n（【解答】解：两条直线相交，最多有1个交点，三条直线两两相交，最多有3个交点，即3＝1+2，四条直线两两相交，最多有6个交点，即6＝1+2+3，…，按照此规律，n条直线两两相交，最多交点个数是：1+2+3+…+（n﹣1）=12n（故选：A．【点评】此题主要考查了相交线，图形的变化规律，理解直线两两相交的概念，准确地归纳总结出规律是解决问题的关键．4．（2025•碧江区一模）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠DOB＝43°，则∠EOD的度数是（）A．143° B．133° C．47° D．43°【分析】根据垂直定义可得：∠BOE＝90°，然后根据∠EOD＝∠BOE+∠DOB＝133°，即可求解．【解答】解：由条件可知∠BOE＝90°，∴∠EOD＝∠BOE+∠DOB＝133°，故选：B．【点评】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．5．（2024秋•贵州期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（）A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180°【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：∵∠2＝∠5，∴a∥b，∵∠4＝∠5，∴a∥b，∵∠1+∠5＝180°，∴a∥b，故选：B．【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（2025•天涯区模拟）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（）A．45° B．55° C．35° D．65°【分析】根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠3．【解答】解：如图，∵∠1＝35°，∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝55°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．（2024秋•盐城期末）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】根据垂线段最短即可得出答案．【解答】解：要在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，线段PN最短，理由是垂线段最短．故选：C．【点评】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短．8．（2024秋•芜湖期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（）A．72° B．90° C．108° D．144°【分析】根据邻补角的概念求出∠AOD，根据角平分线的定义求出∠DOE，再根据邻补角的概念计算，得到答案．【解答】解：∵∠1＝36°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，故选：C．【点评】本题考查的是邻补角的概念、角平分线的定义，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键．9．（2024秋•松北区期末）下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】根据“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”，逐一判断即可得出答案．【解答】解：由对顶角的定义可得，C选项是一组对顶角．故选：C．【点评】本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．10．（2025•宿豫区一模）如图，AB∥CD，AE平分∠BAC．若∠1＝40°，则∠AED的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．140°【分析】由平角定义求出∠BAC＝140°，由角平分线定义得到∠BAE=12∠BAC＝70°，由平行线的性质推出∠BAE+∠AED＝180°，即可求出∠【解答】解：∵∠1＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝140°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠∵AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，∴∠AED＝110°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BAE+∠AED＝180°．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•李沧区期末）如图，两条平行直线DE，FG被直线AB，BC所截，若∠1＝52°，∠2＝∠B，则∠B的度数为26°．【分析】由平行线的性质推出∠2＝∠BMF，得到∠B＝∠BMF，由三角形的外角性质得到∠B=1【解答】解：∵DE∥FG，∴∠2＝∠BMF，∵∠2＝∠B，∴∠B＝∠BMF，∵∠B+∠BMF＝∠1＝52°，∴∠B=1故答案为：26．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠BMF，由三角形的外角性质得到∠B+∠BMF＝∠1．12．（2024秋•廉江市期末）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短．【分析】根据“两点之间线段最短”可得答案．【解答】解：∵两点之间线段最短，∴他选择走第②条路，故答案为：两点之间线段最短．【点评】本题考查线段的性质，垂线段最短，熟知两点之间线段最短是解题的关键．13．（2025春•浦东新区校级月考）如图，已知GF交AB于点Q，交CD于点F，FE平分∠GFD，交AB于点E，∠AQG＝50°．当∠EFD＝65°时，AB∥CD．【分析】先由对顶角的性质求得∠EQF＝50°，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解．【解答】解：∵GF交AB于点Q，交CD于点F，FE平分∠GFD，交AB于点E，∠AQG＝50°，∴∠EQF＝∠AQG＝50°，∵当∠EQF+∠GFD＝180°时，AB∥CD，∴∠GFD＝180°﹣50°＝130°，∵FE平分∠GFD，∴∠EFD=1故答案为：65．【点评】本题考查的是平行线的判定，对顶角、邻补角，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．14．（2024秋•社旗县期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为32°．【分析】根据垂直的定义得到∠EOC＝90°，再根据平角的定义计算即可．【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠EOC＝90°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠EOC＝180°﹣58°﹣90°＝32°，故答案为：32．【点评】本题考查的是垂线、对顶角、邻补角，掌握垂直的定义是解题的关键．15．（2024秋•让胡路区期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝270°．【分析】过点B作BF∥AE，如图，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，即∠ABF＝90°，于是得到结论．【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，∵CD∥AE，∴BF∥CD，∴∠BCD+∠CBF＝180°，∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．故答案为：270°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•北碚区校级期末）已知：如图，在三角形DBF中，DE⊥BF，DE平分∠BDF，点A是线段BD延长线上一点，点C在线段EF上，连接AC交DF于点M，∠A=1求证：AC⊥BF．请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据．证明：∵DE平分∠BDF，∴∠BDE=12∠BDF（∵∠A=1∴∠A＝②∠BDE（③等量代换），∴AC∥④DE（⑤同位角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠DEB（⑥两直线平行，同位角相等）．∵DE⊥BF，∴∠DEB＝90°（⑦垂直的定义），∴∠ACB＝⑧90°，∴AC⊥BF．【分析】结合角平分线定义推出∠A＝∠BDE，即可判定AC∥DE，再根据平行的性质及垂直的定义求解即可．【解答】证明：∵DE平分∠BDF，∴∠BDE=1∵∠A=1∴∠A＝∠BDE（等量代换），∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．∵DE⊥BF，∴∠DEB＝90°（垂直的定义），∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BF．故答案为：①角平分线定义；②∠BDE；③等量代换；④DE；⑤同位角相等，两直线平行；⑥两直线平行，同位角相等；⑦垂直的定义；⑧90°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．17．（2024秋•姜堰区期末）如图，∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D．（1）BD与CE平行吗？为什么？（2）探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据“同旁内角互补，两直线平行”求解即可；（2）根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：（1）BD∥CE，理由如下：∵∠1＝52°，∠2＝128°，∴∠1+∠2＝180°，∴BD∥CE；（2）∠A＝∠F，理由如下：∵BD∥CE，∴∠ABD＝∠C，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D，∴AC∥DF，∴∠A＝∠F．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．18．（2024秋•南阳期末）综合与实践（1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠AMP＝32°，∠DNP＝128°，求∠MPN的度数．（2）如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，则∠AMP，∠CNP，∠MPN之间有何数量关系？并说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，∠MPN＝α，∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E，求∠MEN的度数．（结果用含α的式子表示）【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质得出∠MPE＝∠AMP＝32°，∠EPN＝180°﹣∠DNP＝180°﹣128°＝52°，最后求出结果即可；（2）过点P作PQ∥CD，根据平行公理得出AB∥CD∥PQ，根据平行线的性质得出∠CNP＝∠NPQ，∠AMP＝∠MPQ，最后求出结果即可；（3）过点E作EF∥CD，根据平行线公理得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠NEF＝∠CNE，∠AME＝∠MEF，根据角平分线定义得出∠AME=∠MEF=12∠AMP，∠CNE=∠NEF=12∠CNP，根据解析（2），得出∠【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥AB，∵PE∥AB，∴∠MPE＝∠AMP＝32°．∵AB∥CD，∴CD∥PE，∴∠EPN＝180°﹣∠DNP＝52°，∴∠MPN＝∠MPE+∠EPN＝84°．（2）∠AMP＝∠MPN+∠CNP．理由：如图2，过点P作PQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ，∴∠CNP＝∠NPQ，∵∠MPQ＝∠NPQ+∠MPN，∴∠MPQ＝∠CNP+∠MPN，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠AMP，∴∠AMP＝∠CNP+∠MPN．（3）如图3，过点E作EF∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥AB∥EF，∴∠CNE＝∠NEF，∠MEF＝∠AME，∵∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E．∴∠AME=∠MEF=1由（2）得∠AMP＝∠MPN+∠CNP，∵∠MPN＝α，∴∠MEF=∠AME=1∴∠MEN=∠MEF−∠NEF=1【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．19．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．（1）求证：∠E＝∠ECD；（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，判断△BCE是什么三角形，并说明理由．【分析】（1）由平行线的性质得到∠EAD＝∠B，已知∠B＝∠D，则∠EAD＝∠D，可判定BE∥CD，即可得到∠E＝∠ECD；（2）由∠E＝∠ECD，∠E＝60°，得到∠ECD＝∠E＝60°，由CE平分∠BCD，得到∠BCE＝∠ECD，进一步可得∠B＝∠BCE＝∠E，即可证明△BCE是等边三角形．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD；（2）解：△BCE是等边三角形．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∵BE∥CD，∴∠ECD＝∠E＝60°，∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝60°，∴∠B＝∠BCE＝∠E，∴△BCE是等边三角形．【点评】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．20．（2025春•西安月考）如图：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、CD间的动点．（1）如图①，点P在线段EF左侧，找出∠AEP、∠EPF、∠PFC的数量关系并证明．（2）如图②，点P在线段EF右侧时，找出∠AEP、∠EPF、∠PFC数量关系并证明．（3）若∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q，且∠EPF＝70°，求∠EQF的度数．【分析】（1）点P作直线PH∥AB，根据平行线性质及角度加减即可得到；（2）点P作直线PH∥AB，根据平行线性质及角度加减即可得到；（3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得到∠PEB、∠PFD的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案．【解答】解：（1）∠EPF＝∠AEP+∠PFC，理由：如图1，过点P作直线PH∥AB，得∠AEP＝∠EPH，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠HPF＝∠PFC，∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF，∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC；（2）∠EPF+∠AEP+∠PFC＝360°，理由：如图2，过点P作直线PH∥AB，得∠AEP+∠EPH＝180°，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠HPF+∠PFC＝180°，∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF，∴∠EPF＝360°﹣∠AEP﹣∠PFC，∴∠EPF+∠AEP+∠PFC＝360°；（3）当点P在线段EF左侧时，如图3所示，∵∠EPF＝∠AEP+∠PFC，∠EPF＝70°，∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣70°＝290°，∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ=12（∠PEB+∠PFD）当点P在线段EF右侧时，如图4所示，∵∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，∠EPF＝70°，∴∠AEP+∠PFC＝360°﹣∠EPF＝290°，∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣290°＝70°，∴∠EQF＝∠EBQ+∠DFQ=12（∠PEB+∠PFD）∴∠EQF的度数为145°或35°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论等知识点：两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行：两直线平行，内错角相等，同旁