北京市昌平区前锋学校2024届高三上学期10月月考数学试题（解析版）

第1页/共1页2023-2024年前锋高三上数学月考试卷一、选择题（每题5分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简，根据交集的概念可求出结果.【详解】由，得，则，所以.故选：B2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可.【详解】对应的点为，在第四象限，故选：3.已知，则（）A.为偶函数，且在上单调递增B.为偶函数，且在上单调递减C.为奇函数，且在上单调递增D.为奇函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数定义判断函数的奇偶性以及结合指数函数判断函数的单调性；【详解】结合奇偶性定义，可知函数为奇函数，结合指数函数性质，在单调递增，故在单调递增，故选；C.4.下列函数中，值域为的偶函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知结合函数的奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解．【详解】选项A，是偶函数，值域是，不符合题意；选项B，是非奇非偶函数，不合题意；选项C，是偶函数，值域是，不合题意；选项D，是偶函数，值域是符合题意.故选：D.5.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量减法和数量积的坐标表示求解即可.【详解】设，则由题意可得，解得，所以，故选：D6.若，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意即可得，得到，从而可得到与的夹角.【详解】，，，，，，，故选：B.7.已知为平面上的单位向量，“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不必要又不充分条件【答案】C【解析】【分析】两边平方，结合是单位向量，求出，从而得到，故“”是“”的充分必要条件.【详解】两边平方得，，因为为平面上的单位向量，所以，解得，由于为平面上的单位向量，所以，故“”是“”的充分必要条件.故选：C8.在中，，，，则的面积为（）A.24 B.18 C.12 D.9【答案】C【解析】【分析】根据平方关系求出，再由面积公式计算可得.【详解】，，，又，，．故选：C．9.已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由，得，整理得，则，因为，所以，又由及正弦定理，得，化简得，所以为等边三角形，故选：B10.已知正方形边长为1，为正方形四条边上的一个动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，按点P在、、、上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，，，当点P在上时，设，则，；当点P在上时，设，则，；当点P在上时，设，则，；当点P在上时，设，则，，所以的取值范围是.故选：B二、填空题（每题5分，第一问3分，第二问2分）11.①函数定义域是__________.②函数的值域是___________【答案】①.②.【解析】【分析】对于①：根据根式函数和对数函数的定义域列式求解；对于②：分和两种情况，结合指、对数函数单调性运算求解.【详解】对于①：令，解得，所以函数的定义域是；对于②：若，可知在单调递减，则；若，可知在单调递增，则；综上所述：函数的值域是.故答案为：；.12.①已知，，∥，则__________.②、满足，，与的夹角为，则___________【答案】①.##②.【解析】【分析】对于①：根据向量平行的坐标表示运算求解；对于②：根据数量积的定义和运算律求模长.【详解】对于①：因为∥，则，解得；对于②：由题意可得，所以.故答案为：；.13.①__________；②函数是奇函数，则___________【答案】①.6②.##0.5【解析】【分析】空1：直接根据指数和对数运算即可；空2：利用特殊值法得到方程，解出值再代入验证即可.【详解】空1:；空2：令，定义域为，，即，解得，此时，，则此时为奇函数.故答案为：6；.14.①在中，，，，则__________；②已知，，，则的大小关系是___________【答案】①.②.【解析】【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可；对于②：根据指、对数函数单调性分析判断.【详解】对于①：利用余弦定理，即，解得；对于②：因为，且在定义域内单调递增，可得，即，又因，所以.故答案为：；.15.若函数的一个零点为，则________；________．【答案】①.1②.【解析】【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.【详解】∵，∴∴故答案为：1，16.已知数列对任意的，都有，且．①当时，_________．②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则P＝_________．【答案】①.2②.1【解析】【分析】根据通项公式确定的周期性即可求，由题设可得，讨论的奇偶性确定后续数列出现奇数项与相等，列方程求P的值.【详解】由题设通项公式，可得，故从第二项开始形成周期为3的数列，而，故．当时，为奇数时为偶数，故；若为奇数，由，故，不满足；若为偶数，则直到为奇教，有，故，当时满足条件，此时，即，故答案为：2，1【点睛】关键点点睛：讨论的奇偶性，判断数列后续出现的奇数项与相等时是否为奇数.三、解答题（每题14分）17.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为2，最小值为【解析】【分析】(1)先将函数化简为，根据公式求最小正周期.

(2)由，则，可求出函数的最值.【详解】(1)所以的最小正周期为：.（2）由（1）有，则则当，即时，有最小值.当即，时，有最大值2.所以在区间上的最大值为2，最小值为．【点睛】本题考查三角函数化简、求最小正周期和函数在闭区间上的最值，属于中档题.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）设函数，求在区间上的最大值以及取得最大值时的值.【答案】（1）（2）时，有最大值为2.【解析】【分析】（1）根据函数图象确定A，以及周期即可求得，利用特殊点坐标可求得，即可得函数解析式；（2）先利用三角恒等变换化简，再根据x的范围，确定的范围，从而结合正弦函数性质，即可求得答案.【小问1详解】由图可得，且，所以，即，所以.又，所以，即，所以.又，所以，故.【小问2详解】因为，所以，因为，所以，所以当，即时，有最大值为2.19.在中，.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理求角；（2）根据正弦定理求，以及，再根据三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】根据余弦定理，因为，所以；【小问2详解】根据正弦定理，得，所以.20.在中，.（1）求角的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：；条件④：.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角公式求出，即可求出；（2）分类讨论，6种不同的情况，分别选择对应的条件，利用正余弦定理解三角形，利用面积公式求出三角形的面积.【小问1详解】中，，由正弦定理得：，因为为三角形的内角，所以，所以，即.因为，所以.【小问2详解】选条件①②，只知道三个角，三角形不唯一（相似三角形的的对应角相等），不合题意，舍去.选条件①③，则有：，，.对于，由正弦定理得：.而由可得：.因为，所以.所以三角形无解，不合题意，舍去.选条件①④，则有：，，.因为，所以.因为，由正弦定理得：，所以.由得：.由余弦定理得：，整理得：.因为，且，所以关于c的方程有两正解，所以三角形有两解，不合题意，舍去.选条件②③，则有：，，.因为，所以.因为，所以.所以.所以，由正弦定理得：.与已知条件相符.但是只知道三个角，三角形不唯一（相似三角形的的对应角相等），不合题意，舍去.选条件②④，则有：，，因为，所以.因为，所以.所以.由正弦定理得：.而，解得：.所以的面积为.选条件③④，则有：，，.由余弦定理得：即，解得：（舍去）.又，所以.所以的面积为.21.若数列满足，则称数列为数列.记.（1）写出一个满足，且的数列；（2）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为1的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.【答案】（1）.（答案不唯一.）（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】(1)根据与和可写出数列.(2)先证明必要性,根据数列是递增数列,可得,进而求得.再证明充分性,因为,故,再累加可得证明即可.(3)设，则,再累加求得,再分析的奇偶,取值只能为或，并写出符合条件的数列.【小问1详解】.（答案不唯一.）【小问2详解】必要性：因为数列是递增数列，所以（）.所以数列是以为首项，公差为的等差数列.所以.充分性：因为，所以所