大物物理教程 第2版 课件 第2章 刚体力学基础

一、角动量§2-1质点的角动量与角动量守恒定律质点对圆心的角动量行星在公转轨道上的角动量定义：质点对点的角动量为角动量大小（面积）角动量方向

（1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。（2）方向的确定讨论：

（3）做圆周运动时，由于，质点对圆心的角动量大小为质点对圆心O的角动量为恒量大小不变大小不变大小不变方向不变方向不变方向不变例题1

按经典原子理论，认为氢原子中的电子在圆形轨道上绕核运动.电子与氢原子核之间的静电力为F=ke2/r2，其中e为电子或氢原子核的电荷量，r为轨道半径，k为常量．因为电子的角动量具有量子化的特征，所以电子绕核运动的角动量只能等于h/2π的整数(n)倍，问电子运动容许的轨道半径等于多少?解：由牛顿第二定律得由于电子绕核运动时，角动量具有量子化的特征，即由式(1)和式(2)两式，得由上式可知，电子绕核运动容许的轨道半径与n平方成正比．这就是说，只有半径等于一些特定值的轨道才是容许的，轨道半径的量值是不连续的。将各常量的值代人式(3)，并取n=1，得最小的r值：从近代物理学中知道，这一量值与用其他方法估计得到的量值符合得很好．

二、角动量守恒定律表明小球对圆心的角动量保持不变实验中发现行星绕太阳的运动表明行星在运动过程中，对太阳的角动量保持不变。对t求导

质点的角动量定理：如果作用在质点上的外力对某给定点的力矩为零，则质点对点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。例题2

我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点．已知地球的平均半径R=6378km，人造卫星距地面最近距离l1=439km，最远距离l2=2384km．若人造卫星在近地点A1的速度v1=8.10km/s，求人造卫星在远地点v2的速度．

解：因人造卫星所受引力指向地球中心，所以，人造卫星的角动量守恒。l2l1A1A2星系图片球形原始气云具有初始角动量L，L在垂直于L方向，引力使气云收缩，

但在与L平行的方向无此限制，所以形成了旋转盘状结构。

角动量守恒，粒子的旋转速度

，惯性离心力

，离心力与引力达到平衡，维持一定的半径。引言

描述质点或质点系转动状态的物理量

——角动量行星绕日运动，其动量时刻变化，但其角动量在运动过程中却保持不变。匀质圆盘绕其中心垂直轴转动，其动量为零。需要一个描述转动的物理量—角动量来描述转动。

能量、动量和角动量是最基本的物理量。它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适用范围远远超出了牛顿力学。动量描述平动，角动量描述转动。

力的时间积累（冲量）引起动量的变化；力矩的时间积累引起角动量的变化。星系图片

既考虑物体的质量，又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。一、刚体刚体（rigidbody）：刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。§2-2刚体模型及其运动二、平动和转动

当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动（translation）。

可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。平动时，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动，如质心。1、平动

如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动（rotation），这一直线就叫做转轴。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动（fixed-axisrotation）。

可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加。如：门、窗的转动等。如：车轮的滚动。2、转动3、刚体的定轴转动

定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动。

在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可以用来描述整个刚体的转动。

作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的质点具有不同的线量，包括位移、速度和加速度。

线量与角量的关系：角位移角速度角加速度角量：[例题1]一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t

的变化关系为

=(2+4t3)rad，式中t以s计。试求：（1）在t=2s时，砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。（2）当角

为多大时，该质点的加速度与半径成45o角。解：

(1)(2)此时砂轮转过的角度

=(2+4t3)=2+4×(0.55)3=2.67(rad)[例2]一细棒绕

O点自由转动，初始时

=0，。求：(1)

=

/3时，

=？(2)端点A和中点B的线速度为多大?

解：(1)棒做变加速运动由得§2.3

绕定轴转动刚体的动能转动惯量一.转动动能z

O设系统包括有N

个质量元,其动能为各质量元速度不同，但角速度相同刚体的总动能P•绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论取二、转动惯量的计算若质量离散分布若质量连续分布J的单位：kg·m21.转动惯量的计算Momentofinertia注意：(1)J只是对某个轴的。

(2)dm的取法：需使dm

上各点的r相等。例：对Jx，

Jy，

Jz

，dm的不同取法。dmdmdmyox质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中

、

、

分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：[例题1]

求质量为

m、半径为

R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：设线密度为

J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。

dmRORrdrO

解：设面密度为

，取半径为r宽为dr的薄圆环[例题2]求质量为m、半径为R、薄圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。可见，转动惯量与l无关。[例题3]求质量为m、半径为R、长为l的匀质圆柱体对其轴线的转动惯量。解：取薄圆盘dmldm由上题[例题4]求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解：取如图坐标，dm=

dxxABL/2L/2Cdm可见，与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状(质量分布)ABLdmx记住几个典型的转动惯量：圆环（通过中心轴）…

J=mR2圆盘、圆柱（通过中心轴）…………细棒（端点垂直轴）…细棒（质心垂直轴）…2.平行轴定理

若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：前例中Jo＝Jc＋md2平行轴定理ABL/2L/2Cxdm3.正交轴定理Jz＝Jx＋

Jy正交轴定理例：薄圆板。对通过圆心和板面的轴的转动惯量为rdm[习题]一棒长l，质量m，其质量分布与O点距离成正比，将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始角速度为

0

，棒与桌面的摩擦系数为

。求：(1)细棒对O点的转动惯量。(2)细棒绕O点的摩擦力矩。(3)细棒从以ω0

开始转动到停止所经历的时间。解：(2)细棒上距O

点r处长dr

的线元所受的摩擦力和对O点的摩擦力矩：（3）由角动量原理§2.4力矩的功刚体定轴转动的动能定理

O

功的定义力矩作功的微分形式对一有限过程若

M=C(积分形式）力的累积过程——力矩的空间累积效应••.P三.转动动能定理——

力矩功的效果对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理(2)力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。讨论(1)合力矩的功

例1

一根长为

l

，质量为m

的均匀细直棒，可绕轴O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解由动能定理求它由此下摆

角时的

此题也可用机械能守恒定律方便求解Olm

Cx[例2]冲床的飞轮m=600kg，飞轮半径r=0.4m，正常转速为n1=240rev/min。冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔冲头做的功。解：冲孔前后的角速度分别表示为ω1和ω2

[例3]已知棒L，M可绕杆上端水平轴O点转动，一质量m的泥团以速度v0打杆的中部并粘住。求：杆刚开始摆动时的角速度及可摆动的最大角度。O

§2.5刚体的定轴转动定律转动定律质点与刚体综合题目求解步骤：（1）隔离体受力或受力矩分析。（2）建立坐标系。（3）列方程。（4）找角量与线量的关系。（5）解方程。解:联合解得

对轮：又有对m2：[例题1]如图，求m2的加速度a，轮子的角加速度。[例题2]

如图所示m1>m2试由牛顿定律和转动定律写出系统的运动方程，求出m2上的加速度和张力T1，T2，T3。

解：设m2的加速度为a，方向向上，则m1的加速度也为a，方向向下，滑轮与绳不打滑，则滑轮与绳的加速度为：②③⑥⑦两端相加：本题中当M

1，M2质量可以忽略时T1=T2=T3

(2)杆与竖直方向成

角时积分，得

小球的法向加速度解：(1)

[例题3]如图所示。求：(1)刚体绕轴O的转动惯量。(2)杆与竖直方向成

角时,小球的角速度和法向加速度。§2.6刚体定轴转动的角动量守恒定律思路:与处理动量定理动量守恒问题相同1.质点对定点的角动量

t时刻(如图)定义为质点对定点o的角动量方向：垂直组成的平面SI大小：赝矢量角动量方向vrma

t时刻如图定义

为力对定点o的力矩单位时间内传递的角动量2.力对定点的力矩大小：中学就熟知的：力乘力臂方向：垂直组成的平面注意:角动量和力矩均与定点有关力矩：赝矢量方向用右手螺旋法规定称为角动量定理的微分形式。二、定轴转动刚体的角动量定理由定轴转动定律，若J不变，为时间内力矩M

对给定轴的冲量矩。角动量定理的积分形式：且系统满足角动量定理

角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于刚体，非刚体和物体系。

对几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为、、…，系统对该轴的角动量为：三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保持不变。当时，有即(常量)适用于刚体，非刚体和物体系。1、刚体(J

不变)的角动量守恒若

M=0，则J

=常量，而刚体的J

不变，故

的大小，方向保持不变。此时，即使撤去轴承的支撑作用，刚体仍将作定轴转动——定向回转仪——

可以作定向装置。如：直立旋转陀螺不倒。o

2、非刚体(J可变)的角动量守恒当J增大，w就减小，当J减小，w就增大。如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动，恒星塌缩(R0，

0)(R，

)中子星的形成等。3、物体系的角动量守恒

若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。1）角动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律3）有心力力始终过某一点centralforce角动量守恒如行星运动动量不守恒角动量守恒讨论行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），故角动量守恒。

例1

摩擦离合器飞轮1：J1、

w1摩擦轮2：

J2、静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒解：在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热能。21