高二数学人教A版2019选择性讲义第9讲圆的方程

第9讲圆的方程

考点分析

考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆

考点二：圆的标准方程

设圆心的坐标C(a,6),半径为r,则圆的标准方程为：(x-a)2+(y-fe)2=r2

考点三：圆的一般方程

圆的一般方程为x2+y2+0x+或+尸=(),圆心坐标：(—2,一与,半径：r=-ylD2+E2-4F

222

注意：①的系数相同，方程中无犯项

②对于力、E、F的取值要求：D2+E2-4F>0

当加+£一4尸=0时，方程只有实数解x=—=D，yE=—它表示一个点(一D三，一：E)

2222

当。?+片-4/<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

'4=C*0

③二元二次方程Ar'+firy+Cy+反+4+尸=(),表示圆的充要条件是，8=0

D2+E2-4A尸>0

考点四：以A(3,y),B®,必)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-w)+(y-y)(y-y2)=0

考点五：阿波罗尼斯圆

IpaI

设4,8为平面上相异两定点，且|AB|=2a(a>0),尸为平面上异于4,8—动点且扁=/1(彳>0且；1*1)

则P点轨迹为圆；特别的当2=1,P轨迹为4?中垂线；

题型目录

题型一：圆的标准方程

题型二：圆的一般方程

题型三：由圆的定义及方程求参数

题型四：阿波罗尼斯圆(阿氏圆)

题型五：二次函数与圆的交汇问题

典型例题

题型一：圆的标准方程

【例1】(浙江高二期末)圆1)2+丁=3的圆心坐标和半径分别是()

A.(-1,0),3B.(1,0),3

C.(-1,0),73D.(1,0),73

【答案】D

【解析】根据圆的标准方程可得，(x-l『+y2=3的圆心坐标为(1,0),半径为行，故选：D.

【例2】(2022•贵州•高二学业考试)圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是()

A.x2+y2=lB.x2+y2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=3D.(x+l)2+(y+l)2=6

【答案】B

【分析】直接写出标准方程，即可得到答案.

【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为d+y2=4.

故选：B

【例3】(2020•北京十五中高二期中)经过三个点A(0,0),B(2Q,0),C(0,-2)的圆的方程为()

A.1-可+(y+lp=2B.(x->/3)2+(y-l)2=2

C.(x-G)+(y+l)~=4D.(x-6)+(y-l)2=4

【答案】C

【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出aABC是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径

为8c的一半，圆心坐标为BC的中点，进而根据圆的标准方程求解.

【详解】由已知得，A(0,0),B(26,0),C(0,-2)分别在原点、x轴、一轴上,

ABLAC,

•••经过三点圆的半径为r==gj(2石-0丫+(0+2)2=2,

圆心坐标为8c的中点(2年2,9)，Bp(^-l),

；•圆的标准方程为1-百)2+(y+l『=4.

故选：C.

【例4】(2023•全国•高三专题练习)已知圆(x+l)?+(y+2)2=4关于直线or+外+1=0(a>0,b>0)对

12

称，则上+3的最小值为()

ab

A.-B.9C.4D.8

2

【答案】B

【分析】由题可得。+»=1(。>(),%>()),然后利用基本不等式即得.

【详解】圆(x+lY+(y+2)2=4的圆心为(―1,一2),依题意，点(—1,—2)在直线6+切+1=0上，

因止匕一。一2Z?+1=0,即»=,

,12f12\7、=2b2d-.12b2a八

ab\ab)abyab

当且仅当丝=孕，即0=6=1时取“=”，

ab3

所以11?的最小值为9.

ab

故选：B.

【例5】(2022.北京.高考真题)若直线2x+y-1=0是圆(x-〃)2+y2=i的一条对称轴，则〃=()

A.；B.—C.1D.—1

22

【答案】A

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.

【详解】由题可知圆心为(。,0),因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+()-l=0,解得a=g.

故选：A.

【例6X2022•全国•高二专题练习)过点A(l,l),B(-3,5),且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的方程为

【答案】(x+2)2+(y-2)2=10

【分析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-0)2=/,根据题意列出方程组，求得。力/的值，即可求解.

【详解】设圆的标准方程为(x-"+(y-B)三产,

因为圆过点41』),8(-3,5),且圆心在直线2x+y+2=0上，

(l-tz)2+(1-/>)2=/

则有，(-3-a)-+(5-。)一=/,解得a=—2,b=2,/■=V10,

2a+b+2=0

所以所求圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=10.

故答案为：(x+2)2+(y-2)2=10.

【例7】(2021.福建宁德•高二期中)苏州有很多圆拱的悬索拱桥(如寒山桥)，经测得某圆拱索桥(如图)

的跨度|AB|=100米，拱高10pl=10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支

柱MN的高度是()米.(注意：710-3.162)

A.B.C.D.

【答案】A

［解析】以0为原点，以AB所在直线为*轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

2(10-a)'=r2

可设圆拱所在圆的方程为—。)2=产,由题意可得：/

(-50)~+/=/

解得：6Z=-120,r2=16900.

所以所求圆的方程为/+()，+120)2=16900.

将x=-30代入圆方程，得：900+(y+120『=16900,

因为y>0,所以。=40函-120a40x3.162-120=6.48.

故选：A.

【题型专练】

1.(2022•广西•高二学业考试)已知圆的方程为/+产=4,那么这个圆的面积等于()

A.2B.3C.兀D.4兀

【答案】D

【分析】根据圆的半径求得圆的面积.

【详解】圆/+尸=4的半径为2,所以面积为仆22=4兀.

故选:D

2.（2022•全国•高三专题练习（文））已知圆（x+iy+（y+2）2=4关于直线or+勿+2=0（“＞0,。＞0）对称，则

工1+■2的最小值为（）

ab

A.-B.-C.4D.8

22

【答案】B

【分析】求出圆心坐标，进而求出。，〃的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.

【详解】圆（x+l）2+（y+2）2=4的圆心为（一1,—2）,依题意，点（—L—2）在直线ar+by+2=O上，

因止匕一。一4+2=0,即“+»=2（。＞0,6＞0）,

12112、/12h2a、、ly.12b2”、9,...2b2a,2…，，

一+—=—（一+—）（〃+2b）=—（5+—+—）＞—（5+2./---------）=—,当lz且仅n当一=—,即rllI〃=/?=一时=,

ab2ab2ab2\ab2ab3

所以±1+?［的最小值为9

ab2

故选：B

3.（2022・江苏•高二）圆（x-2y+y2=5,则（）

A.关于点（2,0）对称B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y—2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称

【答案】ABC

【分析】由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误.

【详解】对于A,由圆的方程知其圆心为（2,0）,则圆关于点（2,0）对称，A正确；

对于B,由A知其圆心在“轴上，则圆关于了轴对称，即关于y=。对称，B正确；

对于C,x+3y—2=0过圆心（2,0）,.,•圆关于直线x+3y-2=0对称，C正确；

对于D,x-y+2=0不过圆心（2,0）,.•.圆不关于直线x-y+2=0对称，D错误.

故选：ABC.

4.（2022・上海市第三女子中学高二期末）圆（》+2），（丫-1）2=5关于直线了-,=0对称的圆的方程为.

【答案】(x-l)?+(y+2)2=5

【分析】先求圆心关于直线x-y=O的对称点，半径不变，可得圆的方程.

【详解】圆(x+2)2+(y—l)2=5的圆心为(一2,1),半径为石；

圆心(-2,1)关于直线x—y=0对称的点为(1,一2),

所以所求圆的方程为(x—l)?+(y+2)2=5.

故答案为:(x-l)2+(y+2)2=5.

5.(2022•全国•高考真题(文))设点M在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在M上,则M的方程

为.

【答案】(x-l)2+(y+l)2=5

【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在0M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】解：•••点M在直线2x+y-l=0上，

，设点M为31-2a),乂因为点(3,0)和(0,1)均在二M上，

.•.点M到两点的距离相等且为半径R,

J(a-3.+(1-2.)2=y］a2+(-2a)2=R,

“2-6。+9+4。2-4。+1=5。2,解得a=l,

R=5

M的方程为(x-lf+(y+l)2=5.

故答案为:(x-l)2+(y+l)2=5

6.(新疆乌苏市第一中学)过点A(l,-1),8(—1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程

［答案］(x_l)2+(y_l『二4

【解析】因为过点所以线段4B的中点坐标为(0,0),须8=［上"=一1，

-1—1

所以线段A8的中垂线的斜率为攵=1,所以线段A8的中垂线的方程为丁=龙，

x+y-2=0fx=l

又因为圆心在直线x+y-2=0上，所以〈,解得〈，

y=x［y=i

所以圆心为(1,1),r=J(l_l)2+(l+l)2=2所以圆的方程为(x—l)2+(y_l)2=4.故选:C

7.(内蒙古包头市.高二月考(理))二AO3顶点坐标分别为A(2,0),3(0,4),0(0,0).则AAOB外接

圆的标准方程为.

［答案］(x—l)2+(y_2)2=5

【解析】设圆的标准方程为(工一4+(>一匕)2=/，因为过点4(2,0),8(0,4),0(0,0)

(2-。『+(。-6)2=/卜=i

所以.(0—a)2+(4—6)2=产解得"=2

(0-<z)2+(0-/?)2=r21/=5

则圆的标准方程为(x-l)2+(y-2)2=5

故答案为：(x-iy+(y-2)2=5

题型二：圆的一般方程

［例1］(北京高二期末)圆C:/+2x+y2—i=o的圆心c的坐标为()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(2,0)D.(-2,0)

【答案】B

【解析】由圆。：/+2彳+：/-1=0可得(x+iy+y2=2,故圆心坐标为(-1,0),故选：B

【例2】(广东肇庆市)在平面直角坐标系中，经过三点(0,1),(0,2),(1,3)的圆的方程为.

【答案】x2+y2-3x-3y+2=0

【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

\+E+F=Q,D=-3,

因为圆过(0,1),(0,2),(1,3)三点，所以44+2E+F=0,

得＜E=-3,

l+9+O+3E+F=0,[F=2,

2

所以圆的方程为V+y2一3x—3丁+2=0.故答案为：%+/-3x-3y+2=0

【例3】(2022.全国.模拟预测)已知圆。:/+尸+8x-4.丫=0与以原点为圆心的圆C'关于直线丘—丫+。=0

对称，则。=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】分别求得圆C和原点为圆心的圆的圆心坐标，求得直线CC'的斜率为七c=-g，即CC'的中点坐

标为结合题意，求得直线2x-y+h=o的方程，代入中点坐标，即可求解.

【详解】由题意，圆C:x2+V+8x-4y=0,可得圆心坐标为C(T2),

以原点为圆心的圆的圆心坐标为C'(0,0),

可得直线CC的斜率为kcc=葺义=,且C,C'的中点坐标为(-2,1),

因为圆C与以原点为圆心的圆C'关于直线区-y+b=0对称，

所以k=2,BP2x-y+h=O,

将点(-2,1)代入直线2x-y+0=0,可得6=5.

故选：A.

【例4】(2022・全国・高二课时练习)与圆工2+丫2-2犬+4.丫+3=0同圆心，且过点(1,-1)的圆的方程是()

A.x2+y2-2x+4y-4=0B.x2+y2-2x+4y+4=0

C.x2+y2+2x-4y-4=0D.x?+y?+2x-4y+4=0

【答案】B

【分析】根据同圆心，可设圆的一般式方程为丁+;/-2犬+43?+机=0,代入点即可求解.

【详解】设所求圆的方程为/+丁-2天+”+优=0,由该圆过点得,”=4,

所以所求圆的方程为/+V-2x+4y+4=0.

故选：B

[例5](2022全国卷乙卷)过四点(0,0),(4,0),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

【答案】x2+y2-4x-2y=0W4x2+y2-4x-6y=0B£X2+y2y=0SKx2+y2=0(答

案不唯一，填其中一个即可)

【解析】设圆的方程为炉+/+以+£>+尸=0

F=0[D=-4

若圆过(0,0),(4,0),(4,2)三点，则16+4O+F=0,解得,E=-2,故圆的方程为

20+4D+2E+尸=0[f=0

x2+y2—4x—2y=0；

尸=0D=-4

若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点，则.16+4。+尸=0，解得<E=-6,故圆的方程为J+y2-4x-6y=0；

2-£>+E+F=0F=0

2

F=03

厂14

若圆过(0,0)，(-U)，(4,2)三点，则■2-D+E+F=0,解得」E=----,故圆的方程为

3

20+4D+2E+尸=0

F=0

%=0;

x2+y2--x-

33

16+40+尸=05

若圆过(4,0)，(-M).(4,2)三点，则.2-D+E+F=0,解得，E=-2,故圆的方程为

20+4O+2E+/=0「16

r=----

5

【题型专练】

1.(2023・全国•高三专题练习)已知圆方程x2+y2-2x+4)，-l=0的圆心为()

A.(-2,4)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(2,T)

【答案】C

【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标；

【详解】解：因为f+>2_2犬+”—1=0,即(x-iy+(y+2)2=6,

所以圆心坐标为。，-2)；

故选：C

2.(2022•江苏・高二)圆/+丁+2*-4丫-6=0的圆心和半径分别是()

A.(-1,-2),11B.(—1,2),11C.(-1,-2),5/nD.(—1,2),

【答案】D

【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.

【详解】先化为标准方程可得(x+iy+()，-2)2=11,故圆心为(T,2),半径为而.

故选：D.

3.(2021・河北唐山•高二期中)点M,N是圆/+>2+依+2),-4=0上的不同两点，且点N关于直线x

—y+l=O对称，则该圆的半径等于()

A.242B.72C.3D.9

【答案】C

【分析】根据题意可得：直线/：x—y+l=O经过圆心(一!，-1),代入运算解得k=4,再代入r=15+£

2V4

求圆的半径.

【详解】圆/+/+丘+2/-4=0的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=5+',

则圆心坐标为(—2，-1),半径为r=、5+£

2V4

因为点例，N在圆/+>2+履+2〉-4=0上，且点M,N关于直线/：x-y+l=O对称,

所以直线/：x-y+l=O经过圆心,

所以一七+1+1=0,k=4.

2

所以圆的方程为：x2+/+4x+2y-4=0,圆的半径「=卜§=3.

故选：C.

4.(2022・陕西咸阳•高一期末)过四点(—1,0),(-4,4),(0,1),(1,0)中的三点的一个圆的方程为.

qiQI94ai

222

［答案］x+y+—x-—y-i--=0^(lx-i-y~--y-l=0

或/+J一1=。或12+>2+35+31丁-32=0

【分析】设圆的一般方程为/+丫2+以+切+/=0,将3个点的坐标代入方程，利用待定系数法即可求出结

果.

【详解】设圆的一般方程为炉+八6+4+尸=0,

若圆过(TO)，(T,4),(0,1)三点,

1一。+尸=0

则《32—4O+4E+尸=0,解得。=乙31，E=-3—1,F=2—4,

777

l+£+F=O

此时圆的一般方程为f+y2+》Q1］_Q,1y+］74=0；

若圆过(T0)，(-4,4),(l,0)三点，

1-D+F=O

31

则《32—4O+4E+尸=0,解得。=0,E=--fF=-\.

4

1+。+尸=0

此时圆的一般方程为f+y2—y_l=O；

4

若圆过(-LO)，(0,1)，(1,0)三点,

1-D+F=O

则T+E+尸=0,解得+=0,E=0,F=—1,

1+D+F=O

此时圆的•般方程为/+丁-1=0；

若圆过(-4,4),(0,1),(1,0)三点,

’32—4。+4七+尸=0

则,1+七+/=0,解得。=31,石=31,/=—32,

1+D+F=O

此时圆的一般方程为Y+y2+31x+31y-32=0；

京依汨口22313124231

故答案为：r+y+-x-—y+—=O^x-+y--y-\=0

nJcx2+y-l=0s£x24-y2+31x4-31y-32=0

5.(青铜峡市高级中学)经过圆/一2%+丁=0的圆心且与直线%+2y=0平行的直线方程

是-

【答案】x+2y-l=0

【解析】圆的方程化简为(x—iy+y2=i,圆心(1,0),半径r=1，

由条件可知设直线方程：x+2y+c=0,直线过点(1,0),

代入直线方程l+c=O=c=—1，所以直线方程是x+2y-1=0.故选：B

题型三：由圆的定义及方程求参数

【例1】(2022・全国•高三专题练习)设甲：实数a<3：乙：方程f+V-x+3y+〃=0是圆，则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由方程表示圆可构造不等式求得。的范围，根据推出关系可得结论.

【详解】若方程J+y2-x+3y+o=0表示圆，贝ij(一1)?+32—44=10—4。>0,解得：a<-|；

Va<3ia<|,a<|na<3,,•••甲是乙的必要不充分条件.

故选：B.

【例2】（全国高二单元测试）当方程/+y2+依+2^+〃=0所表示的圆的面积最大时;直线

y=（a—l）x+2的倾斜角为（）.

71-3兀八3九〜5TI

A.-B.—C.—D.—

4424

【答案】B

/\2

【解析】方程无2+丁+办+2丁+/=0可化为x+0+（丁+1）2=_±。2+],

\2y4

2

设圆的半径为r（r>0）,则/=1一一a9

4

・•・当。=0时，产取得最大值，从而圆的面积最大.

3兀

此时，直线方程为y=-x+2,斜率左=一1,倾斜角为一，故选：B

4

【例3】（全国高二课时练习）当。取不同的实数时，由方程f+y2+2ax+2ay—1=0可以得到不同的圆,

则（）

A.这些圆的圆心都在直线丁=%上

B.这些圆的圆心都在直线）'=一％上

C.这些圆的圆心都在直线y=*或丁=一》上

D.这些圆的圆心不在同一条直线上

【答案】A

【解析】由题意知,圆的标准方程：（x+a）2+（y+a『=2a2+i,圆心（—a,-a）,圆心都在直线y=x上.

故选:A

【例4】（2022•全国•高二课时练习）已知方程x?+丁+2"?x+4y+2/?^-3"?=0表示一个圆.

（1）求实数，"的取值范围；

（2）求圆的周长的最大值.

【答案】⑴（T,4）,（2）5兀

【分析】（1）根据圆的一般式与标准式的转化，根据标准式即可求解.

（2）根据二次函数的性质可求解半径的最大值，进而可求圆周长的最大值.

（1）原方程可化为（*+/+（>+2）2=-nr+3瓶+4,

若方程表示一个圆，则一根2+3加+4>0,解得T<mv4,

即实数，〃的取值范围是（-1,4）.

（2）圆的半径"=,一加2+3〃?+4=一（=一3丫+竺4』,当且仅当m=?时，半径r取得最大值:，所以阅

VI2）4222

的周长的最大值为57r.

【题型专练】

1.（2022・全国•高二）已知'是"x?+y?+Gx-诟y+,"=0”表示圆的必要不充分条件，则实数，的取值

范围是（）

A.（-1,4-00）B.[l,+oo）C.（-00,1）D.

【答案】B

【分析】求出Y+y2+6x-J/y+m=0表示圆的充要条件，然后可判断出答案.

【详解】若表示圆，则（若>+（-诟）2-4m>0,

解得小<1.

Wf"是"x?+y2++机=0”表示圆的必要不充分条件，

所以实数r的取值范围是.

故选：B

2.（2022•吉林•吉化第一高级中学校高二期末）若曲线f+y2+2x+,町，+2=0表示圆，则机的取值范围是（）

A.（2,+00）B.[2,+oo）

C.（-oo,-2）u（2,+oo）D.（Y,-2]U[2,+OO）

【答案】C

（分析】按照圆的一般方程满足的条件犷+E2-4F>0求解即可.

【详解】22+--8>0,机<-2或帆>2.

故选：C.

3.（2021•江苏•高二专题练习）已知方程Y+y2-2（r+3）x+2（l-4/）y+16尸+9=0表示一个圆.求：

（1）圆半径最大时/的值；

（2）圆心的轨迹方程.

【答案】(呜3；(2)y=4(x-3)2-l,(20y<x<4).

【分析】(1)利用方程表示圆的条件。2+£-4尸>0,建立不等式，求出实数，的取值范围，利用圆的半径

r=gj4(_7/+6f+l),结合二次函数的性质，即可求出该圆半径/"的取值范围；

(2)根据V+y2—2(f+3)x+2(l-4产)y+16/+9=0,确定圆的圆心坐标，再消去参数，根据(1)中实数

f的取值范围，可求得圆心的轨迹方程.

⑴在圆的方程/+产+m+份+尸=0中，有£>2+后2_4/>0，

所以4(/+3)2+4(1—4产)2—4(16/+9)=4(-7/+6/+1)>0,

所以一7r+6r+l>0,即一:<t<L

而r=以4(_7/+6/+1)=^-7(f-1)2+y,

二当f==时，/•取得最大值勺豆.

77

(2)设圆心坐标为(x,y),则｛工:

由①得：f=X-3,代入②消去f得：y=4(x-3>-l.

由1-则m20<x<4，即轨迹为抛物线的一段，

・••圆心的轨迹方程为y=4(x-3)2-l,(宁<x<4).

4.(全国高二专题练习)已知圆C:(x—2)2+(y+m—4)2=1,当m变化时，圆C上的点与原点的最短距

离是.

【答案】1

【解析】圆C：(%-2)2+(y+〃?-4)2=1表示圆心为C(-2,-〃?+4),半径R=1的圆，

求得IOC]=^4+(-m+4)2-

，加=4时,QC1的最小值为2

故当冽变化时，圆C上的点与原点的最短距离是(|OC|的最小值)-R=2-1=1,

故答案为1.

题型四：阿波罗尼斯圆(阿氏圆)

【例1】(2022.四川成都.高二开学考试(理))若两定点A(l,0),3(4,0),动点M满足21M4|=|朋8|,则动

点”的轨迹围成区域的面积为（）.

A.2乃B.5万C.3万D.4兀

【答案】D

【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.

【详解】设M（x,y）,依题意，2j（x-l），+y2=J（x-4）2+y2,化筒整理得：x2+/=4,

因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，

所以动点M的轨迹围成区域的面积为4万.

故选：D

【例2】（2022•陕西•模拟预测）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定

点距离之比为常数底&>0Mxl）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距

离为2,动点P满足需=应，则△PA8面积的最大值是（）

A.72B.2C.2夜D.4

【答案】C

【解析】设经过点A,3的直线为x轴，48的方向为x轴正方向，线段48的垂直平分线为），轴，线段

的中点。为原点，建立平面直角坐标系厕A（-1,0）,3（1,0）.

两边平方并整理得x2+y2-6x+l=0,BP（x-3）2+y2=8.

要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时,

此时面积为葭2x20=2上.

2

故选：C.

【例3】(2022•全国•高二单元测试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点4,8的距离之比

为定值/的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B

\PA\i

(4,0),点P满足谒=3•设点尸的轨迹为C,则下列结论正确的是()

A.轨迹C的方程为(x+4)2+/=9

B.在x轴上存在异于A,8的两点。，E使得言=：

C.当A,B,P三点不共线时，射线PO是24P8的平分线

D.在C上存在点M,使得21MAi

【答案】BC

【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.

【详解】在平面直角坐标系地丫中，4(-2,0),8(4,0),点尸满足£=3，设尸(羽丫)，则^^^^=；,

化简得(x+4)2+y2=]6,所以A错误；

假设在x轴上存在异于4B的两点使得前=],设ZXm,0),E5,0),则而不式=2口二^

化简得3/+3y一(8〃?一2〃)/+4,%2一/=0,由轨迹C的方程为12+尸+81=0,可得86—2〃=—24,4〃於

―/=0,

\PD1

解得加=—6,〃=—12或团=—2,〃=4(舍去)，即在x轴上存在异于A,8的两点£),后使匕三=7，所

\PE2

以B正确；

OA\1PA

当4,B,P三点不共线时，焉=;二;3，

可得射线P。是NAP8的平分线，所以C正确；

若在C上存在点M,使得|MO|=2|M4|,可设M(x,y),

则有7^7=2J(x+2)2+)，2,化简得*2+/+争+与=0,与/+y+8x=0联立，方程组无解，故不

存在点M,所以D错误.

故选：BC

【点睛】关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键.

【题型专练】

1.（2022.河北保定.高二期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,8的距离之比为

定值2（2>0,且几#1）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯

3（2,0）,点P满足局=2,

圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,则点P的轨迹的

圆心坐标为（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（T,0）D.（2,0）

【答案】A

【解析】令P（x,y）,则J（x+4『+y2=2而-2）2+），,两边平方并整理得：（X-4）2+V=16,

二圆心为（4,0）.故选:A.

2.（2022.河南.新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））若两定点A（l,0）,8（4,0）,动点时满足|加4|=2附用，

则动点M的轨迹围成区域的面积为（）.

A.冗B.5万C.34D.4万

【答案】D

【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.

【详解】设M（x，y）,依题意，y/（x-l）2+y2=2y/（x-4）2+y2,化简整理得：（x-5）?+丁=4,

因此，动点M的轨迹是以（5,0）为圆心，2为半径的圆，

所以动点M的轨迹围成区域的面枳为4万.

故选：D

3.（2022.宁夏.银川二中高一期中）已知动点M与两个定点。（0,0）,3（3,0）的距离满足|八例=4"。|,

则在O,A,M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】设M（x,y）,求出航点轨迹方程得其轨迹，由面积公式转化为£MOA=35,“。"，由三角形面积公式易

得最大值.

【详解】设M(x,y),则|M4|=2|MO|得。-3)2+>2=4(/+>2),

化简整理得(x+l>+y2=4,所以M点轨迹是以3(-1,0)为圆心，2为半径的圆，如图,

\OB\=l,|O^=3|OB|

S,MOA=3S,MOH=3xgx忸M|x|B(?|sinZ.MBO=3sinZMBO,

易知AMBO=90°时，取得最大值3.

故选：C.

4.(2022・四川南充•三模(理))正方形ABC。边长为3,尸为正方形ABC。边界及内部的动点，且|咫=2|尸4|,

则动点P的轨迹长度为.

【答案】y

[分析诜求出尸点的轨迹，又因为P为正方形A8CD边界及内部的动点，所以动点P的轨迹长度为圆弧MN,

求出圆弧MN对应的圆心角，由弧长公式即可求出答案.

【详解】建立如图所示的直角坐标系，则4(0,0)建(3,0),设尸(x,y),又因为|「网=2|啊,所以

7(X-3)2+J2=2y]x2+y2,化简为：x2+r+2x-3=0BP(x+l)2+y2=4,所以P点的轨迹是以。(-1,0)为

圆心，半径为2的圆.

又因为P为正方形ABCO边界及内部的动点，所以动点P与>轴正半轴的交点为加(0,石)，动点PHx轴

正半轴的交点为N(l,0),则动点P的轨迹长度为圆弧MN,

在二角形QMA中，AM=6,QA=2,所以sinNMQ4=3=^,ZMQA=^,所以圆弧脑7=[*2==.

MQ2333

故答案为：y.

y

5.(2022.全国•高三专题练习(文))阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将

圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为

常数左(&>0且&R1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有aABC,3C=6,sin8=JsinC,

当一A3C的面积最大时，则AC的长为.

【答案】2^5

【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点A的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点A的坐标，

最后求解AC的长度即可.

【详解】解：因为sinB=[sinC,由正弦定理可得b=[c,即c=»,因为BC=6,不妨令B(-3,0),C(3,0),

22

设点A的坐标为A(x,y)(yxO),点A的轨迹方程满足：J(x+3)2+f=2j(x—3产+/,

整理可得：(X-5)2+/=16,(>/0),

即点A的轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆(除与x轴两交点外)，

当点A的坐标45,4)或4(5,T)时三角形的面积最大，其最大值为5=1x6x4=12,

ill勾股定理可得AC=722+42=2亚.

故答案为：2亚.

6.(2022•全国•高三专题练习(文))古希腊数学家阿波罗尼斯(.ApolloniusofPerga,约公元前262〜190年)

发现：平面上两定点A,B,则满足丝=〃兀=1)的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯

MB

圆，简称阿氏圆.在直角坐标系X。)，中，已知A(4,0),8(1,0),C(l,-4),动点例满足丝=2,则4c面积的

MB

最大值为.

【答案】13

【分析】根据题意求点M的方程与边AC,利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，

即可求出边AC的高，进而求出AVtAC面积的最大值.

【详解】设点M(x,y),MA=7(X-4)2+/,MB=^(x-\)2+y2

MA〜

-----=2

MB

:.MA=2MB

J(x-4)2+y2=2j(x-l)2+y2

x2+y2=4,故点A7的方程为V+y2=4.

直线4c的方程为4x-3y-16=0

1616

圆心(0,0)到直线AC的距离d=l-l

#+(-3)2T'

设点M到边AC的高为力，hnm=—+2=—

\AC\="(4-1)2+(0+4)2=5

SMAC的最大值为:X5X1=13.

故答案为：13.

题型五：二次函数与圆的交汇问题

【例1】（2021•江苏•苏州中学高二）己知二次函数y=Y-交X轴于A,8两点（4,8不重合）,

交）'轴于点C.圆M过A,8,C三点.下列说法正确的是（）

A.圆心M在直线x=l上B.加的取值范围是（0,1）

C.圆M半径的最小值为1D.存在定点N,使得圆/恒过点N

【答案】AD

【分析】由圆心在48中垂线上可知A正确；根据A>0可求得，〃范围，知B错误；

求得AC坐标后，代入圆的方程可表示出产，结合m范围可求得厂>1,知C错误；

将圆的方程整理为（1-丫）加+任-2》+9一耳=0,由此可求得定点，知D正确.

【详解】对于A,7=工2-2%+加（加片0）对称轴为x=l,.•.过AB两点的圆的圆心必在A8中垂线，即x=l

上，A正确；

对于B,丁二%2-21+〃2（加工0）与不轴交于43两点，/.△=4一4帆>0,解得：