随机变量及其概率分布

随机变量及其概率分布质量管理学2随机变量及其概率分布一、随机变量二、随机变量的概率分布3一、随机变量（一）随机变量的含义和表示

随机变量——就是用来表示随机现象结果的变量，所以其取值带有随机性，即具体取何值在事先无法确定。作为表征产品性能的指标，产品的质量特性数据普遍都具有随机性，所以每个质量特性本身也就是一个随机变量。随机变量通常用大写字母X、Y、Z等表示，而用相应的小写字母x、y、z等表示它们的取值。

4一、随机变量（二）随机变量的类型根据随机变量取值类型的不同，随机变量可以分为两种：离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量，是只能取有限个或可数个数值的随机变量。例如前面例子中的不合格品数X、铸件内的气孔数Y，就都是离散型随机变量。连续型随机变量，是指可以取一个或多个区间中任意实数值的随机变量。前面例子中电冰箱的使用寿命Z，便是连续型随机变量，再如上一节例6-2中的袋装食品质量，事实上也是属于连续型随机变量。5二、随机变量的概率分布（一）随机变量概率分布的含义

随机变量的取值具有统计规律性，也就是说对于一个随机变量，完全可以确定其取某个值或在某个区间内取值的概率。所以，既需要了解随机变量所有可能的取值，还需要知道它取这些值的可能性具体是多少。6二、随机变量的概率分布（二）离散型随机变量的概率分布

设一个离散型随机变量X的所有可能取值为xi(i=1,2,…,n)，并且与其相对应的概率P(X=xi)=pi都是已知的，那么也就确定了该随机变量的概率分布。也可以用表格的形式更直观地表示出来：XX1X2X3XNP7二、随机变量的概率分布【例6-4】某种机械产品的故障维修时间X（以整小时记数），是一个随机变量，且其概率分布为：表6-6维修时间的概率分布由此可知，当一台该种产品出现故障时，可以在n个小时内将其维修好的概率即为：X（小时）12…n…P……8二、随机变量的概率分布（三）连续型随机变量的概率分布1．概率密度函数

类似于离散型随机变量概率分布的两个性质，连续型随机变量X的概率密度函数也需要满足下面两个条件：9二、随机变量的概率分布2．概率分布函数通常，对于一个具体的取值a，概率分布函数F(a)表示的概率为：因此，可以用概率分布函数F(x)，来表示随机变量X在区间(a，b)或[a，b]上取值的概率：10二、随机变量的概率分布

由此显而易见，连续型随机变量在一个具体取值点上的概率为0，即它是一条面积等于0的线段。所以，对于连续型随机变量X而言，在区间(a，b)上或在区间[a，b]上取值的概率是相同的。

Oxab11二、随机变量的概率分布（四）随机变量的数学特征

随机变量有一些重要的数学特征，以表征其分布的集中位置、离散程度等具体信息，主要包括随机变量的数学期望、方差与标准差。1．随机变量的数学期望12二、随机变量的概率分布随机变量的数学期望，具有如下一些基本的运算性质：（1）常量c的数学期望，等于该常量本身：（2）随机变量与一个常量之和的数学期望，等于随机变量的数学期望与这个常量的和：13二、随机变量的概率分布（3）随机变量与一个常量乘积的数学期望，等于随机变量的数学期望与这个常量的积：（4）两个随机变量的和或者差的数学期望，等于它们各自数学期望的和或差：（5）两个独立随机变量乘积的数学期望，等于这两个随机变量数学期望的乘积：14二、随机变量的概率分布2．随机变量的方差与标准差在求得一个随机变量的数学期望后，可以进一步求得该随机变量的方差。其方差就是该随机变量与其数学期望离差平方的数学期望，记为D(X)或Var(X)：其平方根即为该随机变量的标准差。根据式6-23，可以得到离散型随机变量和连续型随机变量方差的具体计算公式，分别为：15二、随机变量的概率分布随机变量的方差，具有下列运算性质：（1）常量c的方差等于0：（2）随机变量与一个常量之和的方差，等于该随机变量的方差：（3）随机变量与一个常量乘积的方差，等于该随机变量的方差与这个常量的平方的乘积：（4）两个独立随机变量的和或者差的方差，等于它们各自方差的和：16二、随机变量的概率分布（五）常用的离散型概率分布1．两点分布两点分布，也称贝努利分布或0～1分布。如果一个随机变量X只能取0和1两个值，把其取1的概率记为p，取0的概率记为q，，则称X服从参数为p的两点分布。17二、随机变量的概率分布2．二项分布

在n次重复独立试验中，用随机变量X来表示事件A出现的次数，且P(A)=p，则：

称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。定义中表示的是，在n次试验中事件A出现k次的组合数，其具体的计算公式为：18二、随机变量的概率分布对于服从二项分布的随机变量X，可以求得其数学期望和方差分别为：19二、随机变量的概率分布3．超几何分布

对应于二项分布适用的抽样条件：有放回抽样或总体较大时的无放回抽样；而当对一个有限总体进行无放回抽样时，其样本中具有某种特征的个体数目，则不再适用二项分布，而是服从超几何分布。超几何分布的概率为：20二、随机变量的概率分布4．泊松分布

如果一个随机变量X的可能取值为0，1，2，…，k，…，且其概率为：其中，自然对数底e=2.71828…，k=0，1，2，…；则称服从参数为的泊松分布，记为X~。松分布的数学期望与方差为：21二、随机变量的概率分布（六）正态分布1．正态分布的定义正态分布的概率密度函数，有时也简称正态函数，或称为Gauss函数。其具体形式为：2．正态分布曲线

O

x22二、随机变量的概率分布图6-10的取值不同，则正态曲线的位置不同图6-11的取值不同，则正态曲线的形状不同

O

x

O

x23二、随机变量的概率分布3．标准正态分布特别地，当时，称服从标准正态分布或单位正态分布，即：Z～N(0,1)。并将其密度函数记为：120.40.2

O

z24二、随机变量的概率分布易见，标准正态曲线以纵轴为对称轴，即。其极大值在z=0时取得：对应于标准正态曲线的概率密度函数，其概率分布函数记为，具体公式为：25二、随机变量的概率分布在计算标准正态分布的相关概率时，结合其以纵轴为对称轴的性质，可以总结出如下一些关于其概率分布函数的计算公式：（2）（3）（4）（5）

（1）26二、随机变量的概率分布4．正态分布的标准化对于一个非标准的正态分布，可以将其标准化，变换为标准正态分布，进而通过查表进行计算。变换公式为：进而可得，对于一般正态分布的概率分布函数F(x)：27二、随机变量的概率分布对于普通的正态分布进行概率计算的一些基本公式：（1）（2）（3）（4）

28二、随机变量的概率分布（七）其他常见的连续型概率分布1．均匀分布如果连续型随机变量的概率密度函数为：那么就称服从区间（