重庆市彭水县思源教研共同体五校联考2025届九年级上学期12月模拟考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年重庆市彭水县思教研共同体五校联考九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。1．（4分）在，0，，﹣1这四个数中，最小的数是（）A． B．0 C． D．﹣1解：在，0，，﹣1这四个数中，最小的数是﹣1．故选：D．2．（4分）下列四个图案分别是我国传统文化中的“福”“禄”“寿”“喜”图．这四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误，不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误，不符合题意．故选：B．3．（4分）二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3，∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）．故选：A．4．（4分）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，所以方程没有实数根．故选：C．5．（4分）已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝﹣1，解得t＝﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选：A．6．（4分）估计的值应在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间解：原式＝3，∵9＜15＜16．∴34，∴6＜37．故选：C．7．（4分）将一些完全相同的正三角形按如图所示规律摆放，第一个图形有1个正三角形，第二个图形有5个正三角形，第三个图形有12个正三角形，…，按此规律排列下去，第六个图形中正三角形的个数是（）A．35 B．41 C．45 D．51解：观察图形发现：第一个图形有1＝1个正三角形，第二个图形有1+2+2＝5个正三角形，第三个图有1+2+2+3+4＝12个正三角形，第四个图有1+2+2+3+4+4+6＝22个正三角形，第五个图有1+2+2+3+4+4+6+5+8＝35个正三角形，第六个图有1+2+2+3+4+4+6+5+8+6+10＝51个正三角形，故选：D．8．（4分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°解：连接AO，如图：由OC⊥AB，得，∠OEB＝90°．∴∠2＝∠3．∵∠2＝2∠1＝2×32°＝64°．∴∠3＝64°，在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣64°＝26°，故选：D．9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A． B． C． D．解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC＝90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵，∴△DAE≌△HAE（AAS），∴AD＝AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG＝CH，设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，∵AC10，∴6﹣x+8﹣x＝10，解得：x＝2，∴BD＝DE＝2，AD＝4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得：DF，则EF＝DF﹣DE2，故选：C．10．（4分）对于从左到右依次排列的三个实数x、y、z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号“+”、“﹣”、“×”、“÷”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数x、y、z进行“四则操作”，例如：对实数1、2、3的“四则操作”可以是：，也可以是1﹣2﹣3＝﹣4；对实数2，﹣1，﹣2的一种“四则操作”可以是2﹣（﹣1）+（﹣2）＝1．给出下列说法：①对实数1、2、3进行“四则操作”后的结果可能是2；②对于实数2、﹣3、4进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是14；③对实数m、2、m进行“四则操作”后的结果为8，则m的值共有15个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：对于实数1、2、3进行“四则操作”可以是：1+3﹣2＝2，∴结果可能为2，故①正确，符合题意；对于实数2、﹣3、4进行“四则操作”，可以是2+（﹣3）+4＝3或2+（﹣3）﹣4＝﹣5或2+（﹣3）×4＝﹣10或2+（﹣3）÷4或2﹣（﹣3）+4＝9或2﹣（﹣3）﹣4＝1或2﹣（﹣3）×4＝14或2﹣（﹣3）÷4或2×（﹣3）+4＝﹣2或2×（﹣3）﹣4＝﹣10或2×（﹣3）×4＝﹣24或2×（﹣3）÷4或2÷（﹣3）+4或2÷（﹣3）﹣4或2÷（﹣3）×4或2÷（﹣3）÷4，∴最大结果是14，故②正确，符合题意；③对实数m、2、m进行．“四则操作”后的结果为8，可以是m+2+m＝8或m+2﹣m＝8或m+2×m＝8或m+2÷m＝8或m﹣2+m＝8或m﹣2﹣m＝8或m﹣2×m＝8或m﹣2÷m＝8或m×2+m＝8或m×2﹣m＝8或m×2×m＝8或m×2÷m＝8或m÷2+m＝8或m÷2﹣m＝8或m÷2×m＝8或m÷2÷m＝8，得m＝3或无解或m或m＝4±或m＝5或无解或m＝﹣8或m＝4±或m或m＝8或m＝±2或无解或m或m＝﹣16或m＝±4或无解，∴m的值共15个，故③正确，符合题意；∴正确的只有①，②，③，共3个，故选：D．二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11．（4分）计算：|﹣3|﹣（﹣2021）0＝2．解：原式＝3﹣1＝2．故答案为：2．12．（4分）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．故答案为：．13．（4分）平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称，则m+n＝2．解：∵点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称，∴，解得，∴m+n＝2．故答案为：2．14．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得168（1﹣x）2＝128．解：根据题意得：168（1﹣x）2＝128．故答案为：168（1﹣x）2＝128．15．（4分）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．解：∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，∴y1＝16﹣16﹣5＝﹣5，即y1＝﹣5，y2＝1﹣4﹣5＝﹣8，即y2＝﹣8，y3＝1+4﹣5＝0，即y3＝0，∵﹣8＜﹣5＜0，∴y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．16．（4分）如图，以A为圆心AB为半径作扇形ABC，线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，若AB＝4，则阴影部分图形的面积是2π﹣4（结果保留π）．解：连接DO，∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝4，∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝2，∴阴影部分的面积是：（）+（）＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x≤﹣8，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是24．解：解不等式，得x≤﹣8，解不等式a﹣x＞1，得x＜a﹣1，由于不等式组的解集为x≤﹣8，∴a﹣1＞﹣8，解得a＞﹣7，关于y的分式方程的解为，且，由于分式方程的解是非负整数，∴整数a可能的值为3或8或13，∴符合条件所有的整数a的和为：3+8+13＝24．故答案为：24．18．（4分）对于一个四位数m，如果具各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字之和等于十位与百位上的数字之和，那么称这个数为“和等数”，将一个“和等数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记F（m）．则F（7542）＝9．若s，t都是“和等数”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是整数，规定：k．当F（s）+F（t）能被17整除时，k的所有取值之积为．解：∵m＝7542，∴m1＝2547，m2＝7452．∴F（7542）9；∵s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76，∴s＝5×1000+4×100+10y+x，t＝1000f+100e+7×10+6．∴s的千位上的数字为5，百位上的数字为4，十位上的数字为y，个位上的数字为x，t的千位上的数字为f，百位上的数字为e，十位上的数字为7，个位上的数字为6．∴s1＝1000x+4×100+10y+5＝1000x+405+10y，s2＝5×1000+100y+4×10+x＝100y+x+5040；t1＝1000×6+100e+7×10+f＝100e+f+6070，t2＝1000f+100×7+10e+6＝1000f+10e+706．∵s，t都是“和等数”，∴5+x＝4+y，f+6＝e+7．∴y＝x+1，f＝e+1．∴s1＝1000x+405+10y＝1000x+405+10（x+1）＝1010x+415，s2＝100y+x+5040＝100（x+1）+x+5040＝101x+5140；t1＝100e+f+6070＝100e+（e+1）+6070＝101e+6071，t2＝1000f+10e+706＝1000（e+1）+10e+706＝1010e+1706．∴F（s）x+5；F（t）e+7．∴F（s）+F（t）＝x+5+e+7＝x+e+12．∵F（s）+F（t）能被17整除，∴x+e+12是17的倍数．∴x+e＝5．∵各个数位上的数字都不为零，x，y，e，f都是整数，x≥1，∴x＝1，e＝4或x＝2，e＝3或x＝3，e＝2或x＝4，e＝1．①x＝1，e＝4．∴F（s）＝x+5＝6，F（t）＝e+7＝11．∴k；②x＝2，e＝3．∴F（s）＝x+5＝7，F（t）＝e+7＝10．∴k；③x＝3，e＝2．∴F（s）＝x+5＝8，F（t）＝e+7＝9．∴k；④x＝4，e＝1．∴F（s）＝x+5＝9，F（t）＝e+7＝8．∴k．∴．故答案为：9，．三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19．（8分）计算：（1）a（1﹣a）+（a+2）（a﹣2）；（2）．解：（1）a（1﹣a）+（a+2）（a﹣2）＝a﹣a2+a2﹣4＝a﹣4；（2）••．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣4．解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴Δ＝4﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴x1±；∴x1＝1，x2＝1．（2）整理得：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，则x﹣1＝0或x﹣1＝0，∴x1＝x2＝1．21．（10分）如图，已知AB，C是弦AB上一点．（1）用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线PD，分别交AB于点D，交AB于点P，连接PA，PC；②以点P为圆心，PA长为半径作弧，交AB于点Q（Q，A两点不重合），连接PQ，PB，BQ．（2）求证：BC＝BQ．证明：∵PD是AC的垂直平分线，∴①PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．∵PA＝PQ，∴PA＝PQ．∴∠PBC＝∠PBQ．（其依据是②同弧或等弧所对的圆周角相等）∵四边形APQB是圆的内接四边形，∴∠PAC+∠PQB＝180°．（其依据是③圆内接四边形的对角互补）∵∠PCA+∠PCB＝180°，∴∠PQB＝④∠PCB．∵PB＝PB，∴△BPC≌△BPQ．∴BC＝BQ．解：（1）如图所示：（2）证明：∵PD是AC的垂直平分线，∴PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．∵PA＝PQ，∴．∴∠PBC＝∠PBQ，（同弧或等弧所对的圆周角相等），∵四边形APQB是圆的内接四边形，∴∠PAC+∠PQB＝180°．（圆内接四边形的对角互补），∵∠PCA+∠PCB＝180°，∴∠PQB＝∠PCB．∵PB＝PB，∴△BPC≌△BPQ．∴BC＝BQ．故答案为：①PA＝PC，②同弧或等弧所对的圆周角相等，③圆内接四边形的对角互补，④∠PCB．22．（10分）描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：A.0≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级20名学生的成绩是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100．八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89．七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表班级平均数中位数众数满分率七年级8786a10%八年级87b8915%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值：a＝86，b＝89；（2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？解：（1）由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86，∴a＝86．八年级20名学生的成绩在B组中的人数为20×20%＝4（人），将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为89，89，∴b＝（89+89）÷2＝89．故答案为：86；89．（2）八年级的学生掌握科普知识较好．理由：七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大，所以八年级的学生掌握科普知识较好．（3）400500140+175＝315（人）．∴两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4．点D是AB中点，动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点P从点A出发，沿直线A→B运动，到达点B时停止运动，点Q从点B出发，沿折线B→D→C运动，到达点C时停止运动．设点P，点Q的运动时间为x秒，点P，Q之间的距离为y．（1）请直接写出y与x之间的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出P，Q两点相距2个单位长度时x的值．解：（1）当0≤x＜4时，如题干图，∵∠A＝30°，BC＝4，则AB＝8，由题意得，CD＝BD＝AD＝4，则PD＝4﹣x，DQ＝4﹣x，则PQ＝PD+DQ＝8﹣2x，当4＜x≤8时，此时，DQ＝PD＝x﹣4，则PQ∥BC，则∠DQP＝∠B＝60°，则△PDQ为等边三角形，则PQ＝DQ＝x﹣4，则y；（2）由函数表达式画出函数图象如下：从图象看，当0≤x＜4时，y随x的增大而减小，当4≤x≤8时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）在图中画出直线l：y＝2，则直线l的函数的交点的横坐标为：x＝3或6，即P，Q两点相距2个单位长度时x的值为3或6．24．（10分）树人文具店准备购进甲、乙种软面抄笔记本，计划用2400元购买甲种笔记本，900元购买乙种笔记本，一个甲种笔记本和一个乙种笔记本的进价之和为15元，且购进甲种笔记本的数量是乙种笔记本数量的4倍．（1）求计划分别购买多少个甲种笔记本和乙种笔记本．（2）为回馈客户，生产厂家推出了一系列活动，每个甲种笔记本的售价降低了，每个乙种笔记本的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种笔记本的数量增加了5m个，但甲种笔记本和乙种笔记本的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了（300+5m）元，求m的值．解：（1）设计划购买x个乙种笔记本，则购买4x个甲种笔记本，由题意得：15，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴4x＝4×100＝400，答：计划购买400个甲种笔记本，购买100个乙种笔记本；（2）由（1）可知，甲种笔记本的价格为2400÷4x＝2400÷400＝6（元），乙种笔记本的价格为900÷100＝9（元），由题意得：6×（1）（400﹣5m）+（9）（100+5m）＝2400+900﹣（300+5m），整理得：m2﹣30m+200＝0，解得：m1＝10，m2＝20，答：m的值为10或20．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴分别交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线AC上方抛物线上任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，求PD+DH的最大值及此时点P的坐标；（3）将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的求解过程写出来．解：（1）由题意得：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8），则﹣8a＝4，解得：a，则抛物线的表达式为：yx2﹣x+4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x+4，设点P（x，x2﹣x+4），则点D（x，x+4），则DH＝﹣x，则PD+DHx2﹣x+4﹣（x+4）﹣xx2﹣3x，∵，故PD+DH有最大值，此时x＝﹣3，则PD+DH的最大值为：4.5，点P（﹣3，2.5）；（3）平移后的抛物线表达式为：y（x﹣2）2﹣（x﹣2）+4x2﹣x+4，联立两条抛物线的表达式为：x2﹣x+4x2﹣x+4，解得：x＝0，则点E（0，4），由抛物线的表达式知，新抛物线的对称轴为直线x＝1，故设点M（1，m），设点N（s，t），当BE为对角线时，由中点坐标公式和BM＝BN得：，解得：，则点N的坐标为：（1，3）；当BM或BN为对角线时，由中点坐标公式和BE＝BM或BM＝BE得：或，解得：或，则点N（3，2）或（﹣1，）；综上，点N的坐标为：（1，3）或（3，2）或（﹣1，）．26．（10分）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM．【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时