中考数学一轮复习备考专题12：二次函数 讲义(含答案)

专题十二二次函数（讲义）——中考数学一轮复习备考合集考情分析命题点命题形式命题热度命题特点二次函数的图象与性质1.二次函数的增减性与图象的对称性☆☆本专题选择题和填空题多考查二次函数的图象和性质，解答题难度较大，除考查其图象、性质及求解析式等常规题外，二次函数与其他函数、方程、不等式及几何的综合题也是常考题型，近些年来利用二次函数模型解决实际问题成为中考的考查热点之一，体现了函数思想和数形结合的思想2.与二次函数有关的图象判断☆☆3.二次函数的图象变换☆☆4.二次函数的图象与系数的关系☆☆☆5.二次函数解析式的确定☆☆☆二次函数与方程、不等式的结合6.二次函数与方程结合☆7.二次函数与不等式结合☆二次函数的实际应用8.抛物线型问题☆☆9.图形面积问题☆10.利润最值问题☆☆☆讲解一：二次函数的图象与性质一、二次函数的概念一般式一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数【提示】函数未必是二次函数，当时，是二次函数顶点式，函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为二、二次函数的性质二次函数（是常数，）对称轴或（其中，为二次函数图象）与轴两个交点的横坐标顶点坐标（1）利用顶点坐标公式求解；（2）用配方法把一般式转化为顶点式求解；（3）将对称轴代入函数解析式求解增减性时，当时，随的增大而减小；当时，取最小值；当时，随的增大而增大时，当时，随的增大而增大；当时，取最大值；当时，随的增大而减小三、二次函数的图象与a，b，c之间的关系决定抛物线开口方向抛物线开口向上抛物线开口向下决定抛物线对称轴的位置对称轴为轴；（同号）对称轴在轴左侧；（异号）对称轴在轴右侧决定抛物线与轴交点的位置抛物线过；抛物线与轴交于正半轴；抛物线与轴交于负半轴四、二次函数解析式的求解用待定系数法求二次函数的解析式时，注意解析式的设法，常见情况如下：已知所设表达式顶点+其他顶点在原点处：顶点在轴上：顶点在轴上：与轴的两个交点+其他（注：与轴的两个交点为）对称轴+与轴一交点+其他（1），当对称轴为轴时，（2）由对称轴与求出抛物线与轴的另一个交点，设解析式（注：对称轴为直线，与轴的一个交点为）任意三个点过原点：五、二次函数的平移图形表示【提示】（1）平移前，先将解析式用配方法化成的形式；（2）二次函数图象平移时，二次项系数不变；（3）平移变换的口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.命题精练命题形式1二次函数的增减性与图象的对称性1．（2023·湖南·中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【思路点拨】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．解析：∵抛物线（a是常数，，∴，故①正确；当时，，∴点在抛物线上，故②正确；当时，，当时，，故③错误；根据对称点的坐标得到，，故④错误．故选B．2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】D解析：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，而，，，∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．3.（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，．

【答案】4【思路点拨】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案．解析：∵抛物线与x轴相交于点、点，∴抛物线的对称轴为直线，∵当时，，即，∵轴，∴，关于直线对称，∴，∴；故答案为：44.（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则（填“”或“”）.【答案】解析：，∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，∴抛物线的解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故答案为：．命题形式2与二次函数有关的图象判断1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【思路点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得．解析：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴，即，∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，即，∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线，故选：D．2．（2022·山东菏泽·中考真题）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A解析：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，由对称轴x0，可知b＜0，所以反比例函数y的图象在一、三象限，一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．故选：A．3.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【思路点拨】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．解析：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．命题形式3二次函数的图象变换1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（）A． B． C． D．【答案】D解析：抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为，∴新抛物线的顶点坐标为，故选∶D．2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A． B． C． D．【答案】A解析：抛物线向下平移2个单位后，则抛物线变为，∴化成顶点式则为，故选：A．3.（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】D解析：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．故选：D．【题型解读】该题型考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．命题形式4二次函数的图象与系数的关系1．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（）①②③对任意实数m，均成立④若点，在抛物线上，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B解析：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，∴，，，∴，∴，故①正确；∵二次函数的图象与x轴相交于点，，∴二次函数的对称轴为直线，，，由得：，∵，∴，∴，即，故②错误；当时，二次函数有最小值，由图象可得，对任意实数m，，∴对任意实数m，均成立，故③正确；∵点，在抛物线上，且，∴，故④错误；综上所述，正确的有①③，共个，故选：B．2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．(为任意实数)【答案】D【思路点拨】由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D．解析：A、抛物线开口往下，，抛物线与y轴交于正半轴，抛物线的与x轴的交点是：和1,0∴对称轴为，，，，故选项A错误．∵，∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）．，，∴，故选项C错误．抛物线的对称轴为直线，且开口向下，当时，函数值最大为，当时，，，，故选项D正确．故选：D．3.（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】C解析：解：根据题意画出函数的图像，如图所示：∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，∴，，∵抛物线与轴有两个交点，∴，∵抛物线的顶点为，∴，观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．命题形式5二次函数解析式的确定1.（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线【答案】D解析：由题意得，解得，∴二次函数的解析式为，∵，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．2.（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为．

【答案】【思路点拨】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解．解析：把点，点代入抛物线得，，解得，∴抛物线，令，得，解得或，∴，∴；故答案为：．3.（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．(1)求二次函数的表达式；(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．【答案】(1)(2)解析：（1）将代入，得，解得，所以，二次函数的表达式为．（2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以点坐标为．4.（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标为；(2)【思路点拨】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．解析：（1）∵二次函数图象经过点和．∴，解得：，∴抛物线为，∴顶点坐标为：；（2）当时，，∴解得：，，

如图，当时，∴．讲解二：二次函数与方程、不等式的结合一、二次函数与一元二次方程（1）一元二次方程的解是二次函数的图象与轴的交点的横坐标；（2）判别式决定抛物线与轴的交点个数：①方程有两个不相等的实数根抛物线与轴有两个交点；②方程有两个相等的实数根抛物线与轴有一个交点；③方程没有实数根抛物线与轴没有交点二、二次函数与不等式不等式的图象观察方法函数的图象位于轴上方对应的点的横坐标的取值范围函数的图象位于轴下方对应的点的横坐标的取值范围解集或命题精练命题形式6二次函数与方程结合1.（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C解析：由题图可知，，，故①正确；当时，，即，故②正确；二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5，多项式，故③错误；当时，有最大值，即，当时，抛物线与直线的图象无交点，即关于x的方程无实数根，故④正确．综上，①②④正确．故选：C．2.（2023·青海西宁·中考真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：①抛物线的对称轴是直线②抛物线与x轴一定有两个交点③关于x的方程有两个根，④若，当或时，其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④【答案】B解析：①直线经过点，，，抛物线的对称轴为直线，故①正确；②，由①得，，，，抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；③当时，，抛物线也过，由得方程，方程的一个根为，抛物线，，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，，解得：，抛物线与轴的另一个交点为，关于x的方程有两个根，，故③正确；④当，当时，，故④错误；故选：B．3.（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是．【答案】【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可.解析：二次函数的图象与轴有交点，，解得，的取值范围为，故答案为：.4.（2023·湖南郴州·中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则．【答案】解析：令，则依题意，解得：．故答案为：．命题形式7二次函数与不等式结合1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C解析：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴，∴，故①正确．∵当时，，∴，故②错误．∵抛物线与x轴交于两点，其中，∴，∴，当时，，当时，，，，∴，∴，故③正确；设，，如图：

由图得，时，，故④正确．综上，正确的有①③④，共3个，故选：C．讲解三：二次函数的实际应用建立二次函数模型解决问题常见类型关键步骤【提示】（1）求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值在自变量取值的端点处取得；（2）建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系，找到图象上三点的坐标，用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题整理各个量之间的关系，找出等量关系求得解析式，根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量表示出图形的面积，根据要求确定函数的最值或建立方程求解命题精练命题形式8抛物线形问题1.（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则．【答案】【思路点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．解析：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．设抛物线解析式为：，把点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：；当时，，解得，（舍去），，即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为：2.（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：水平距离0341015202227竖直高度03.244.168987.043.24(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．【答案】(1)抛物线的表达式(2)水火箭距离地面的竖直高度米解析：（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，则抛物线的表达式，（2）解：由题意知，则，那么，水火箭距离地面的竖直高度米．命题形式9图形面积问题1.（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是平方米．【答案】450【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答．解析：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，∴．∴．菜园的面积，∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．故答案为：450．2.（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．(1)求与与的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．【答案】(1)；(2)能，(3)的最大值为800，此时解析：（1）∵篱笆长，∴，∵∴∴∵墙长42m，∴，解得，，∴；又矩形面积；（2）令，则，整理得：，此时，，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为；∴∴∵，∴；（3）∵∴有最大值，又，∴当时，取得最大值，此时，即当时，的最大值为800命题形式10利润最值问题1.（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，