中考数学一轮复习备考知识清单12 二次函数(含答案)

知识梳理一、二次函数的图象与性质二次函数的概念和图象的画法一般式一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数【提示】函数未必是二次函数，当时，是二次函数顶点式，函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为图象的画法第1步：用配方法化成的形式；第2步：确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；第3步：在对称轴两侧利用对称性描点画图二次函数的性质二次函数（是常数，）对称轴或（其中，为二次函数图象）与轴两个交点的横坐标顶点坐标（1）利用顶点坐标公式求解；（2）用配方法把一般式转化为顶点式求解；（3）将对称轴代入函数解析式求解增减性时，当时，随的增大而减小；当时，取最小值；当时，随的增大而增大时，当时，随的增大而增大；当时，取最大值；当时，随的增大而减小二、二次函数的图象与之间的关系决定抛物线开口方向抛物线开口向上抛物线开口向下决定抛物线对称轴的位置对称轴为轴；（同号）对称轴在轴左侧；（异号）对称轴在轴右侧决定抛物线与轴交点的位置抛物线过；抛物线与轴交于正半轴；抛物线与轴交于负半轴三、二次函数解析式的求解用待定系数法求二次函数的解析式时，注意解析式的设法，常见情况如下：已知所设表达式顶点+其他顶点在原点处：顶点在轴上：顶点在轴上：与轴的两个交点+其他（注：与轴的两个交点为）对称轴+与轴一交点+其他（1），当对称轴为轴时，（2）由对称轴与求出抛物线与轴的另一个交点，设解析式（注：对称轴为直线，与轴的一个交点为）任意三个点过原点：四、抛物线的平移图形表示【提示】（1）平移前，先将解析式用配方法化成的形式.（2）二次函数图象平移时，二次项系数不变示例二次函数，将该函数化为顶点式为（1）向左平移2个单位后的解析式为（2）向右平移2个单位后的解析式为（3）向上平移2个单位后的解析式为（4）向下平移2个单位后的解析式为五、二次函数与一元二次方程与不等式二次函数与一元二次方程（1）一元二次方程的解是二次函数的图象与轴的交点的横坐标；（2）判别式决定抛物线与轴的交点个数：①方程有两个不相等的实数根抛物线与轴有两个交点；②方程有两个相等的实数根抛物线与轴有一个交点；③方程没有实数根抛物线与轴没有交点二次函数与不等式不等式的图象观察方法函数的图象位于轴上方对应的点的横坐标的取值范围函数的图象位于轴下方对应的点的横坐标的取值范围解集或0六、二次函数的实际应用建立二次函数模型解决问题常见类型关键步骤【提示】（1）求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值在自变量取值的端点处取得；（2）建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系，找到图象上三点的坐标，用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系，找出灯亮关系求得解析式，根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量表示出图形的面积，根据要求确定函数的最值或建立方程求解图象信息类问题类型解题策略表格类观察点的特征，验证满足条件的二次函数的解析式及其图象，利用二次函数的性质求解图文类根据图文，借助图形上的关键点，提取信息，建立二次函数模型解题方法点拨1.解二次函数的解析式求图象对称轴与顶点坐标的问题求二次函数图象的对称轴与顶点坐标，通常分为两种情况：（1）若二次函数的解析式为的形式，则二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；（2）若二次函数的解析式为的形式，则二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是.求抛物线的顶点坐标时，若抛物线的解析式为一般式，则通常运用配方法化成顶点式进行求解，或直接把代入顶点坐标式求得.2.解二次函数的字母系数的问题抛物线的开口方向决定了的符号：若开口向上，则；若开口向下，则.抛物线对称轴的位置决定了的符号：若对称轴在轴左侧，则同号；若对称轴在轴上，则；若对称轴在轴右侧，则异号.抛物线与轴的交点位置决定了的符号：若交点在轴正半轴上，则；若交点在原点上，则；若交点在轴负半轴上，则.3.解抛物线的平移问题抛物线的平移，应关注的是顶点位置的改变，也就是说，抛物线的平移，实际上是抛物线顶点的平移.通常把抛物线的解析式化成顶点式后，再求其平移后的解析式，此时平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”.由于抛物线平移后的形状不变，故不变.4.比较二次函数值大小的方法（1）代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小；（2）增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；（3）根据点到对称轴距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小.5.求二次函数最值的策略求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大（小）值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值.6.解二次函数解析式的确定问题用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法.（1）设一般式：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于的三元一次方程组求解.（2）设交点式：若已知二次函数图象与轴的两个交点的坐标为，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般式.（3）设顶点式：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般式.【方法总结】确定二次函数的解析式，关键是根据已知条件选择恰当的解析式形式，主要的方法是待定系数法.在考虑把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的已知条件灵活选择，以简单为原则，尽量减少计算量，以提高准确率.7.解抛物线的对称性问题抛物线的对称性的应用，主要体现在求一个点关于对称轴对称的点的坐标，或者是已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要依据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为，则抛物线的对称轴可表示为直线.【方法总结】已知点在抛物线上，则把该点坐标代入其解析式一定能使解析式成立.根据一个点及对称轴（直线），求点关于对称轴对称的点的坐标可利用公式，即.8.解二次函数与一元二次方程之间的关系问题一元二次方程可以看作是二次函数当时的一种特殊情况，所以二次函数的图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根.【方法总结】二次函数的图象和轴的交点与一元二次方程的根之间的关系：决定抛物线与轴的交点个数，当时，抛物线与轴有两个交点；当时，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点.9.根据图象确定不等式解集的方法先画出函数的图象，并确定（计算）两个图象交点的横坐标，再根据图象的上下关系（图象在上方即函数值较大），得出不等式的解集.【技巧点拨】①求大于时的取值范围，即求抛物线在直线下方时所对应的的取值范围.②求与的乘积小于0时的取值范围，即求抛物线与直线在轴异侧时对应的的取值范围.【技巧点拨】求解直线与抛物线的公共点个数问题，即求直线与抛物线的解析式联立组成的方程组，消去函数值后得到的一元二次方程的解的个数问题.抛物线与直线恒有两个公共点，即对应的一元二次方程的根的判别式大于0.10.利用二次函数的性质求实际问题中最值的方法在实际问题中，求最值的一般步骤：（1）列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值.需要注意的是：当二次函数的图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时，需结合二次函数的图象，根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最值.11.利用二次函数解决抛物线形的实际问题的方法利用二次函数解决抛物线形建筑问题时，需要先建立合适的坐标系，一般选择顶点作为原点或选择对称轴作为轴，然后确定某些点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式，最后利用二次函数的图象和性质解题；利用二次函数解决抛物线形运动路程问题时，一定要分析清楚抛物线的横、纵坐