河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（六）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（六）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=3a−1+a−2ia∈R，若z为实数，则|z|=A.2 B.5 C.3 D.12.设集合A={x|x2≥9}，B={x|2x<a}，若B⊆A，则a的取值范围是A.(−∞,−6] B.(−∞,−2] C.[3,+∞) D.[6,+∞)3.函数f(x)=cosπ4+xA.π4 B.π2 C.π 4.过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条5.已知函数fx=lgx2+9A.[−4,+∞) B.[2,+∞) C.−54,26.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，FA⊥FB，|FA|=2|FB|，则l的斜率是(

)A.±1 B.±2 C.±7.已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，则当β−α的值最大时，β=(

)A.1 B.2 C.π2−18.已知α，β∈π3,π，则(−2+2cosA.1 B.2 C.22 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知椭圆C:x214+a+A.a的取值范围为(−14,8) B.若C的焦点在x轴上，则a>−2

C.若a=32，则C的焦距为6 D.若a=2，则C10.已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如24=3×23，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为(1+1)×(3+1)=8.完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身，例如6=2×3=1×6，可知6的所有真因子为1，2，3，且1+2+3=6，则6为完全数，则(

)A.97200的素因数为2，3，5

B.97200不同的正因数有96个

C.在小于30的非负偶数中有3个完全数

D.在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为911.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(0,a)，a>0，且AB=a，OC=e−2a，OM=CB.记M,B的轨迹分别为Ω1，Ω2，且A.Ω2为圆 B.AM最大值的最小值为1+ln22

C.S1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=m,−3，b=2m,m+5，且a⊥a+13.记Sn为正项数列an的前n项和，a3=2S2，Sn14.已知事件A，B满足0<PA<1，0<PB<1，PAB−P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2(1)求A；(2)若a=2，求▵ABC面积的最大值．16.(本小题15分)氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量(单位：万吨)的折线图，其中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022．计算得i=19yi=12200，(1)是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请用折线图和相关系数加以说明；(2)是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由．附：相关系数r=ni=117.(本小题15分)如图，四棱锥S−ABCD中，▵SAD是正三角形，底面ABCD是矩形，平面SAD⊥底面ABCD，M，N分别为棱SC，AB的中点．

(1)证明：MN//平面SAD；(2)若二面角C−MN−D为120∘，求直线SC与底面ABCD18.(本小题17分)(1)证明：双曲线x2a2−y(2)已知直线l1:y=x，l2:y=−x，直线l3分别交l1和l2于点A和B，点A和B在y轴同侧，且S▵OAB的面积为(3)在(2)的条件下，记(2)中的等轴双曲线为C，AB与C相切于点P且P不在坐标轴上，过点P作直线AB的垂线分别交x轴和y轴于点M和N，证明：A，B，M，N四点共圆，且该圆过定点．19.(本小题17分)对于各项均为正整数的数列an，如果a1，a2给定，且对于任意n≥3都有an=(1)若数列xn是F−数列，且x1=1，x2=3，直接写出x(2)若数列bn为F−数列，且b1=1，b2=2，则∀n∈N∗，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数i1，i2(3)能否将正整数集N∗拆成若干个集合A1，A2，⋅⋅⋅，An(可以是无穷个集合)，使得∀1≤i<j，都有A参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.D

6.D

7.D

8.A

9.CD

10.AD

11.ABD

12.2

13.20

14.0,315.(1)解：因为b2由余弦定理可得cosA=由正弦定理可得asinA=又因为A∈0,π，所以A=(2)解：因为a=2且A=π4，由余弦定理得b又因为b2+c即2bc−4≤2bc所以▵ABC的面积S=1即▵ABC面积的最大值为1+

16.(1)从折线图看，各点近似落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．因为i=19r=r>0.95，因而可以用线性回归模型拟合y与t(2)可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下：①2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续(1)中的线性趋势，故可以用(1)中的回归模型进行预测；②2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持，但从长期角度看很有可能会变化，因而用(1)中的回归模型预测是不准确的．

17.(1)取SD的中点E，连接ME,AE，又M，N分别为棱SC，AB的中点，所以ME//CD且ME=1又底面ABCD是矩形，即AN=12AB=所以AN//ME且AN=ME，即ANME为平行四边形，故AE//MN，由MN⊄平面SAD，AE⊂平面SAD，故MN//平面SAD；

(2)记O为AD的中点，作Oy//AB，因为▵SAD是正三角形，所以OS⊥AD，面SAD⊥面ABCD，面SAD∩面ABCD=AD，OS⊂面SAD，所以OS⊥面ABCD，则∠SCO为直线SC与底面ABCD所成角，易知CD⊥面SAD，SD⊂面SAD，则CD⊥SD，所以可构建如图示的空间直角坐标系O−xyz，设AD=2，CD=k>0，则S(0,0,3)，D(−1,0,0)，N(1,k2所以DN=(2,k2,0)，若m=(x,y,z),n=(a,b,c)分别为面MNDm⋅DN=2x+k2n⋅CN=2a−k2由二面角C−MN−D为120∘，则cosm,n当k=23所以▵CDM为等边三角形，且DN=CN=133所以DM2+MN2所以二面角C−MN−D为60∘，故k=23故sin∠SCO=

18.(1)若切线的斜率存在，即切点不为双曲线的顶点，令方程为y−y0=k(x−所以b2x2所以Δ=4a整理得b2因为点Px0,所以Δ1=4b所以y−y0=由x02−a2所以x0(2)由题意，设x2−y设AB与双曲线的切点为Px0,联立x0x−y0y=my=x，可得所以|OA|=2⋅|mx而x02−y0(3)由(2)双曲线为x2−y2=1所以过点P作直线AB的垂线为y−y0=−令y=0，则x=2x0，即M(2x0,0)，令x=0联立x0x−y0y=1综上，MN、AB的中点坐标均为x0,y0，即是易知圆的方程为(x−x0)

19.(1)x3=(2)采用数学归纳法证明，当n=1时，n=b假设当n≤kk∈N∗时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数i当n=k+1时，设m是满足bm≤k+1的最大正整数，则因为k+1−bm<bn(若k+1−b且由归纳假设k+1−bm可以表示成的其中j1,j2,⋯,jk所以k+1也可以表示成若干个互不相邻互不相同的bi再证明唯一性：假设n=b不妨设bi设a=max根据F−数列的增长性质，得bn从最大项开始分析，若bis≠bj因为bn的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以b去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得s=t且i1(3)首先构造集合A1，设A1是以1，2为首项的根据F−数列的递推公式an则a1=1,a2=2a5=a以此类推可得A1然后构造集合A2，为了保证A1∩A2=⌀，从正整数集中去掉A1的元素后，取最小的正整数4作为A2的首项，再取一个不同于A1中元素的数作为第二项，不妨取6则A2是以4为首项的F−数列构成的集合，即A再构造集合A3，在正整数集中去掉A1∪A2的元素，此时最小的正整数为7，取7作为A3的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则c1=7,c那么A3是以7为首项的F−数列构成的集合，即A按