《 备考指南 数学 》课件-第1章 第3讲

集合与常用逻辑用语第一章

第3讲全称量词与存在量词课标要求考情概览1．理解全称量词与存在量词的意义．2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定考向预测：全称量词、存在量词以及含有一个量词的命题的否定常常以选择或填空的形式出现，难度较低．学科素养：考查学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1量词名称常见量词符号表示全称量词所有的、一切、任意一个、每一个、任给等

存在量词存在一个、至少有一个、有些、对某些等

1.全称量词和存在量词∀

∃

命题名称语言表示符号表示命题的否定全称量词命题对M中任意一个x，p(x)成立∀x∈M，p(x)

存在量词命题存在M中的一个x，p(x)成立∃x∈M，p(x)

2.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定∃x∈M，綈p(x)

∀x∈M，綈p(x)

【常用结论】含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．1．(教材改编)下列命题中是假命题的是 (

)A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx＝2【答案】B2．(2021年广元模拟)已知集合A＝{x|x2－2x≤8}，B＝{－2,0}，下列命题为假命题的是 (

)A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∈AC．∀x∈A，x∈B D．∀x∈B，x∈A【答案】C3．(2021年遂宁一模)已知命题p：∀x∈R，x＞sinx，则 (

)A．綈p：∃x∈R，x＜sinx B．綈p：∀x∈R，x≤sinxC．綈p：∃x∈R，x≤sinx D．綈p：∀x∈R，x＜sinx【答案】C4．(多选)下列命题中的真命题是 (

)A．∃x∈R，lnx＝1 B．∃x∈R，sinx＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,5x＞0【答案】ABD5．设命题p：正方形都是平行四边形，则綈p为____________________．【答案】有的正方形不是平行四边形6．(2021年上饶六校联考)已知命题“存在x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．全称命题与特称命题的否定(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略． (

)(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题． (

)(3)“三角形内角和是180°”是全称命题． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√重难突破能力提升2示通法一般地，若一个全称命题是真命题，那么它的否定是一个存在性命题，并且是假命题；若一个存在性命题是真命题，那么它的否定是一个全称命题，并且是假命题．全称命题与存在性命题的否定，除了关键词要改变，结论也要否定，即变化的有两个方面，不能只改写一处．含有一个量词的命题答案】(1)A

(2)AC【解析】(1)由3－1＜1得A为假命题．故选A．考向2含一个量词的命题的否定 (1)(2021年德州模拟)命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 (

)A．∃x∈R，x3－x2＋1≥0B．∃x∈R，x3－x2＋1＞0C．∃x∈R，x3－x2＋1≤0D．∀x∈R，x3－x2＋1＞0(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 (

)A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】(1)B

(2)B【解析】(1)将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3－x2＋1＞0.故选B．(2)量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B．【解题技巧】

判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路(2)(2021年重庆月考)(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且P≠Q，则下列选项中错误的是 (

)A．∀x∈Q，有x∈P

B．∃x∈P，使得x∉QC．∃x∈Q，使得x∉P

D．∀x∉Q，有x∉P答案】(1)A

(2)CD (1)(2021年厦门月考)已知命题p：∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0，若命题p是假命题，则a的取值范围为 (

)A．[1,3] B．[－1,3]C．(1,3) D．[0,2](2)(2021年六安期末)若“∀x∈R，λx2－λx＋1＞0”是真命题，则实数λ的取值范围为 (

)A．(－∞，0]∪[4，＋∞) B．(0,4)C．[0,4) D．(0,4]【答案】(1)B

(2)C根据全(特)称命题的真假求参数【解题技巧】根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路：与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．【答案】(1)A

(2)1素养微专直击高考3逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．素养提升——逻辑推理：突破双变量“存在性或任意性”问题【解题技巧】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，利用等价转化构建关于a的不等式组，从而求得参数的取值范围．【解题技巧】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想．另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围．【解题技巧】理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)max≤g(x)max，利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式，进而可求得a的取值范围．迁移应用1．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【解析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2