高中数学专题16函数的奇偶性

函数奇偶性1/10(1)奇函数：普通地，图像关于

对称函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号

，即

；反之，满足

函数y＝f(x)一定是奇函数．原点

f(－x)＝－f(x)

f(－x)＝－f(x)相反(2)偶函数：普通地，图像关于

对称函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)值

，即

；反之，满足

函数y＝f(x)一定是偶函数．

y轴

相等

f(－x)＝f(x)

f(－x)＝f(x)

2/10判断函数奇偶性两个方法

(1)定义法：(2)图像法：3/10例1.判断以下函数奇偶性．

(1)(2)(3)(4)（1）既是奇函数又是偶函数

（2）既不是奇函数，也不是偶函数

（3）奇函数（4）偶函数4/10例2.定义域为R四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数个数是(

)C解：由奇函数概念可知，y＝x3，y＝2sinx是奇函数．故选C.A．4

B．3C．2 D．15/10例3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上偶函数，那么a＋b

值是(

)A．B.C. D．解：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.B6/10例4.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝______.

解：∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.－17/10例5.已知奇函数f(x)定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0实数m取值范围．

又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f(x)在[－2,2]上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，即－2<m<1.②综合①②可知，－1≤m<1.解:∵f(x)定义域为[－2,2]，∴,解得－1≤m≤.①8/10例6．(1)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a值为_______．(2)已知函数y＝f(x)是R上偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a取值范围是

．解析：(1)∵函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，∴设g(x)＝ex＋ae－x，x∈R，由题意知，g(x)为奇函数，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，即a＝－1.(2)∵y＝f(x)是R上偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数．∴当a>0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以实数a取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

－1(－∞，－2]∪[2，＋∞)9/101．判断函数奇偶性，易忽略判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数含有奇偶性一个必要条件．3．分段函数奇偶性判定时，f(－x)＝f(x)，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上奇偶性是错误．2．判断函数f(x)奇偶性时，必须对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x使f(－x)＝－f(x)、f(－x)＝f(x)．4．判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学