3.4 乘法公式第1课时【知识精研精讲】七年级数学下册高效课堂（浙教版2024）

教学目标01能理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-

b2，了解平方差公式的几何背景02能利用平方差公式进行简单的计算和推理平方差公式01课堂引入靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人喜欢自己动手制作靠垫。图中右下角的靠垫面子用5块布料拼合而成，应用了哪些数学知识？请计算：(a+b)(a-b)=________。比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？02知识精讲a2-b2解：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2。(a+b

)(a

-

b

)=a2

-b2相同数相反数平方相减结构特征：(1)左边是两个二项式相乘，

并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方-相反项的平方。02知识精讲平方差公式：一般地，我们有以下平方差公式：

(a+b)(a-b)=a2-b2。两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。

口诀：一同一反，平方相减。将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？02知识精讲做一做S=

(a+b)(a-b)S=

(a+b)(a-b)=a2-b2S=

a2-b202知识精讲平方差公式的几何背景：法一：S绿

=a2

-

b2aabbba-b法二：S绿

=(a+b)(a-b)S=(a+b)(a-b)=a2-b2计算：(1)(xy+4)(xy-4)；

(2)(-2a+7b)(-2a-7b)。02知识精讲将xy看作整体做一做【分析】(1)相同项：xy，相反项：4与-4，解：(1)(xy+4)(xy-4)=(xy)2

-

42=x2y2-16；将-2a、7b看作整体(2)相同项：-2a，相反项：7b与-7b，(2)(-2a+7b)(-2a-7b)=(-2a)2

-(7b)2=4a2

-49b2。02知识精讲平方差公式的注意点：(1)公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式；(2)对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。02知识精讲

解：(

1

)

(3x

+5y)(3x

-5y)=(3x)2-(5y)2

=9x2-25y2；

02知识精讲例2

用平方差公式计算：(1)103

×

97；(2)59.8

×

60.2。解：(1)103

×

97=(100+3)(100-3)=1002-32

=10000-9=9991；(2)59.8

×

60.2=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.22

=3600-0.04=3599.96。02知识精讲

解：(1)

(2+a

)(a-2)=

(a+2)(a-2)=

a2-22

=a2-4；

02知识精讲

(3)102×

98=(100+2)(100-2)=1002-22

=10000-4=9996；(4)50.5×49.5=(50+0.5)(50-0.5)=502-0.52

=2500-0.25=2499.75。计算：(1)(3a

-b

)(3a

+b

)(9a2+b2)；(2)997×1003。解：(3a

-b

)(3a

+b

)(9a2+b2)=[(3a

)2-b2](9a2+b2)=

(9a2-b2)(9a2+b2)=

(9a2)2-(b2)2=81a4-b4；例103典例精析二次使用平方差公式解：997×1003=(1000-3)(1000+3)=10002-32

=1000000-9=999991。03典例精析计算：(1)(3a

-b

)(3a

+b

)(9a2+b2)；(2)997×1003。例1先化简，再求值：(2x

-

y)(y

+

2x)-(2y

+

x)(2y

-

x)，其中x

=

1，y

=

2。解：(2x

-

y)(y

+

2x)-(2y

+

x)(2y

-

x)=

4x2

-

y2

-(4y2

-

x2)=

4x2

-

y2

-

4y2

+

x2，=

5x2

-

5y2

，当x

=

1，y

=

2时，原式

=

5

×

12

-

5

×

22

=

5

-

20

=

-15。例203典例精析已知a

-

b

=

2，则a2

-

b2

-

4b的值为（）A．5

B．4

C．2

D．1解：a2

-

b2

-

4b=

(a

+

b

)(a

-

b

)-

4b=

2(a

+

b

)-

4b=

2a

+

2b

-

4b=

2(a

-

b

)=

2

×

2

=

4。B例303典例精析古希腊一位庄园主把一边长为a米(a>4)的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了。聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了________平方米。解：∵a2-(a

+

4)(a

-

4)=

a2-(

a2

-

16

)=

16(平方米)，∴土地面积其实减少了16平方米。16例403典例精析从边长为a的大正方形内剪掉一个边长为b的小正方形(如图①)，然后沿虚线剪开拼成如图②所示的长方形。(1)根据图①和②的阴影部分的面积关系，可得等式：________________________(用字母a,b表示)；(2)若a-b=3，图②中总面积为21，求区域A的面积。

例503典例精析

a2-b2

=

(a+b)(a-b)课后总结平方差公式：一般地，我们有以下平方差公式：(