《备考指南 理科数学》课件-第6章 第1讲

第六章第1讲[A级基础达标]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an＝()A．eq\f(－1n＋1,2) B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)π D．coseq\f(n＋2,2)π【答案】D2．(2018年驻马店模拟)已知数列{an}的任意连续三项的和是18，并且a5＝5，a13＝9，那么a2019＝()A．10 B．9C．5 D．4【答案】D3．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于()A．2n－1 B．n2C．eq\f(n＋12,n2) D．eq\f(n2,n－12)【答案】D4．(2018年延安模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1(n∈N*)，则a2018的值为()A．2 B．3C．2018 D．4035【答案】A5．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A．7 B．6C．5 D．4【答案】D6．(2018年玉溪一模)若数列{an}为1,2,2,3,3,4,4，…，则该数列的一个通项公式为an＝________.【答案】an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)，n为奇数，,\f(n＋2,2)，n为偶数))【解析】数列{an}为1,2,2,3,3,4,4，…，可得奇数项分别为1,2,3,4，…，可得an＝eq\f(n＋1,2).偶数项分别为2,3,4，…，可得an＝eq\f(n＋2,2).故该数列通项公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)，n为奇数，,\f(n＋2,2)，n为偶数.))7．(2018年大连双基训练)已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)(n≥2)，则a2019＝________.【答案】2【解析】由题意知a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，所以此数列是以3为周期的周期数列，a2019＝a3×673＝a3＝2.8．已知数列{an}中，a10＝17，其前n项和Sn满足Sn＝n2＋cn＋2.(1)求实数c的值；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝(n2＋cn＋2)－[(n－1)2＋c(n－1)＋2]＝2n＋c－1，得a10＝20＋c－1＝17，所以c＝－2.(2)由(1)得Sn＝n2－2n＋2，所以a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝2n－3；当n＝1时，上式不成立．所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2.))9．设函数f(x)＝log2x－logx2(0＜x＜1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的单调性．【解析】(1)因为f(2an)＝2n(n∈N*)，所以log22an－eq\f(1,log22an)＝2n，所以an－eq\f(1,an)＝2n，化为aeq\o\al(2,n)－2nan－1＝0，解得an＝eq\f(2n±\r(4n2＋4),2)＝n±eq\r(n2＋1).因为0＜2an＜1，所以an＜0，所以an＝n－eq\r(n2＋1).(2)由(1)得an＝n－eq\r(n2＋1)＝－eq\f(1,n＋\r(n2＋1)).因为f(n)＝eq\f(1,n＋\r(n2＋1))关于n单调递减，所以g(n)＝－eq\f(1,n＋\r(n2＋1))关于n单调递增．所以数列{an}单调递增．[B级能力提升]10．数列{an}的通项an＝eq\f(n,n2＋90)，则数列{an}中的最大项是()A．3eq\r(10) B．19C．eq\f(1,19) D．eq\f(\r(10),60)【答案】C【解析】因为an＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，运用基本不等式得eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，所以当n＝9或10时，an取得最大值．又a9＝a10＝eq\f(1,19)，故最大值为eq\f(1,19).11．已知数列{an}满足：a1＝a2－2a＋2，an＋1＝an＋2(n－a)＋1，m∈N*，当且仅当n＝3时，an最小，则实数a的取值范围为()A．(－1,3) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(7,2))) D．(2,4)【答案】C【解析】由an＋1＝an＋2(n－a)＋1，得a2＝a1＋2(1－a)＋1；a3＝a2＋2(2－a)＋1；a4＝a3＋2(3－a)＋1；…；an＝an－1＋2(n－1－a)＋1.累加得an＝a1＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)－(n－1)×a]＋n－1＝a1＋2eq\f(n－1n,2)－2(n－1)a＋n－1.因为a1＝a2－2a＋2，所以an＝a2－2a＋2＋n2－n－2an＋2a＋n－1＝n2－2an＋a2＋1.设f(n)＝an＝n2－2an＋a2＋1，该函数开口向上，对称轴方程为n＝－eq\f(－2a,2)＝a，因为n∈N*，所以当eq\f(5,2)<a<eq\f(7,2)时，f(n)＝an最小．故选C．12．(2018年河南一模)已知数列：eq\f(1,1)，eq\f(2,1)，eq\f(1,2)，eq\f(3,1)，eq\f(2,2)，eq\f(1,3)，eq\f(4,1)，eq\f(3,2)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2018项a2018等于()A．eq\f(1,31) B．eq\f(1,63)C．64 D．eq\f(63,2)【答案】D【解析】观察数列可知该数列按以下规律分组：①eq\f(1,1)；②eq\f(2,1)，eq\f(1,2)；③eq\f(3,1)，eq\f(2,2)，eq\f(1,3)；④eq\f(4,1)，eq\f(3,2)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)；….知它的项数是1＋2＋3＋…＋k＝eq\f(kk＋1,2)(k∈N*)，且在每一个k段内，是k个分数(k∈N*，k≥3)，且它们的分子分母和为k＋1(k∈N*，k≥3)．由k＝63时，eq\f(kk＋1,2)＝2016＜2018(k∈N*)，故a2018在64段中，所以a2018为第64组的第2项，故a2018＝eq\f(63,2).故选D．13．某数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列第20项为()A．180 B．200C．128 D．162【答案】B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，可得偶数项的通项公式a2n＝2n2，则此数列第20项为2×102＝200.故选B．14．(2018年唐山模拟)在数列{an}中，对任意的正整数n，点(n，an)在直线y＝2x＋3上，则{an}的第10项为________．【答案】23【解析】根据题意，点(n，an)在直线y＝2x＋3上，即an＝2n＋3，则有a10＝2×10＋3＝23，即{an}的第10项为23.15．(2018年南充模拟)若an＝2n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．【答案】(－6，＋∞)【解析】若数列{an}为单调递增数列，则an＋1＞an，即2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞2n2＋λn＋3，整理得λ＞－(4n＋2)．因为n≥1，所以－(4n＋2)≤－6，即λ＞－6.16．数列{an}的通项an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n(n∈N*)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．【解析】设an是该数列的最大项，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n≥n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1，,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n≥n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n－1，))解得9≤n≤10，所以最大项为a9＝a10＝eq\f(1010,119).17．已知数列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．【解析】(1)因为an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R且a≠0)，又a＝－7，所以an＝1＋eq\f(1,2n－9)(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋eq\f(1,2x－9)的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a