《备考指南 理科数学》课件-第8章 第8讲

第八章第8讲[A级基础达标]1．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0)．所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)．因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(B1D,\s\up6(→))＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(B1D,\s\up6(→))，所以AC与B1D所成的角为eq\f(π,2).2．(2017年郑州调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,5)【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)．令平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n·\o(AD1,\s\up6(→))＝－x＋z＝0.))令x＝1，可得n＝(1,1,1)，所以sinθ＝|cos〈n，eq\o(BB1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(1,\r(3)×1)＝eq\f(\r(3),3).3．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A．eq\f(1,10) B．eq\f(2,5)C．eq\f(\r(30),10) D．eq\f(\r(2),2)【答案】C【解析】以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C1－xyz.设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1，0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(1，－1，－2)，所以cos〈eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AN,\s\up6(→))·\o(BM,\s\up6(→)),|\o(AN,\s\up6(→))||\o(BM,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1＋4,\r(5)×\r(6))＝eq\f(3,\r(30))＝eq\f(\r(30),10).4．(2018年乐山高三模拟)已知直三棱柱BCD－B1C1D1中，BC＝CD，BC⊥CD，CC1＝2BC，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)【答案】A【解析】建立如图所示空间直角坐标系．设BC＝CD＝1，则CC1＝2，则D(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，所以eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(－1,0,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC1,\s\up6(→))＝－y＋2z＝0，,n·\o(DC1,\s\up6(→))＝－x＋2z＝0，))取z＝1，可得n＝(2,2,1)．又eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,0,0)，所以CD与平面BDC1所成角的正弦值为|cos〈n，eq\o(CD,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(CD,\s\up6(→)),|n|·|\o(CD,\s\up6(→))|)))＝eq\f(2,3×1)＝eq\f(2,3).故选A．5．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(2\r(3),3)【答案】D【解析】如图建立坐标系．则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)．设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))令z＝1，得n＝(－1,1,1)．所以D1到平面A1BD的距离d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(3),3).6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的度数为________________________________________________________________________．【答案】60°【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝2，所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，所以EF和BC1所成的角为60°.7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．【答案】eq\f(2,3)【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,2)．设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥eq\o(DB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(DC1,\s\up6(→))，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋2z＝0，))令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(DC,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(DC,\s\up6(→)),|n||\o(DC,\s\up6(→))|)))＝eq\f(2,3).8．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1，0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角的度数为________．【答案】30°【解析】由题意得eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－5，－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－2，－1)．设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝－5x－y＋z＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－4x－2y－z＝0，)))取x＝1，得n＝(1，－3,2)．设直线AD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·n|,|\o(AD,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(7,\r(14)·\r(14))＝eq\f(1,2).又0°≤θ≤90°，所以θ＝30°，即直线AD与平面ABC所成的角为30°.9．(2018年四平月考)已知多面体EF－ABCD中，AB∥CD∥EF，EF⊥平面ADE，BE⊥DE.(1)求证：AE⊥平面EFCD；(2)若AB＝2EF＝4CD＝4，AE＝DE＝1，求直线BD与平面BCF所成角的正弦值．【解析】(1)证明：因为EF⊥平面ADE，所以EF⊥DE.因为DE⊥BE，BE∩EF＝E，所以DE⊥平面ABFE.所以DE⊥AE.因为EF⊥平面ADE，所以EF⊥AE.又DE∩EF＝E，所以AE⊥平面EFCD．(2)由(1)知EA，EF，ED两两互相垂直．以E为坐标原点，建立空间直角坐标系E－xyz.因为AB＝2EF＝4CD＝4，AE＝DE＝1，所以A(1,0,0)，D(0，0,1)，F(0,2,0)，C(0,1,1)，B(1,4,0)，所以eq\o(FC,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1,2,0)．设平面BCF的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(FC,\s\up6(→))＝－y＋z＝0，,n·\o(FB,\s\up6(→))＝x＋2y＝0.))取y＝1，得n＝(－2,1,1)．又eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－4,1)，设直线BD与平面BCF所成角为θ，则sinθ＝|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BD,\s\up6(→))·n,|\o(BD,\s\up6(→))|·|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1,3\r(2)×\r(6))))＝eq\f(\r(3),18).所以直线BD与平面BCF所成角的正弦值为eq\f(\r(3),18).[B级能力提升]10．(2018年成都诊断性测试)如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED所成锐二面角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(6),6)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)【答案】B【解析】由已知可得AB⊥BC，AB⊥PB，BC⊥PB．以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0，0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(3,3,0)．设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BE,\s\up6(→))＝2y＋z＝0，,n·\o(BD,\s\up6(→))＝3x＋3y＝0.))取z＝1，得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，平面ABE的一个法向量为m＝(1,0,0)，所以cos〈n，m〉＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(6),2)×1)＝eq\f(\r(6),6).故选B．11．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】A【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，\f(a,2))).则eq\o(CA,\s\up6(→))＝(2a,0,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2))))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(a，a,0)．设平面PAC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AP,\s\up6(→))＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝z，))可取n＝(0,1,1)，则cos〈eq\o(CB,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(CB,\s\up6(→))·n,|\o(CB,\s\up6(→))|·|n|)＝eq\f(a,\r(2a2)·\r(2))＝eq\f(1,2).所以〈eq\o(CB,\s\up6(→))，n〉＝60°.所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.12．(2018年武汉调研)如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB＝2，AF＝2，CE＝3，O为BC的中点，AO∥平面EFD．(1)求BD的长；(2)求证：平面EFD⊥平面BCED；(3)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．【解析】(1)取ED的中点P，连接PO，PF，则PO为梯形BCED的中位线，PO＝eq\f(BD＋CE,2)＝eq\f(BD＋3,2).又PO∥BD，AF∥BD，所以PO∥AF，所以A，O，P，F四点共面．因为AO∥平面EFD，且平面AOPF∩平面EFD＝PF，所以AO∥PF.所以四边形AOPF为平行四边形，则PO＝AF＝2，所以BD＝1.(2)证明：由题意可知平面ABC⊥平面BCED．又AO⊥BC，且AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCED．因为AO∥PF，所以PF⊥平面BCED．又PF⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面BCED．(3)以O为原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，eq\r(3)，0)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,3)，F(0，eq\r(3)，2)．设Q为AC的中点，则Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0)).由题意得BQ⊥平面ACEF，平面ACEF的一个法向量为eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0)).设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PE,\s\up6(→))＝x＋z＝0，,n·\o(PF,\s\up6(→))＝\r(3)y＝0，))取x＝－1，得n＝(－1,0,1)．所以cos〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(BQ,\s\up6(→))·n,|\o(BQ,\s\up6(→))|·|n|)＝－eq\f(\r(6),4).所以平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值为eq\f(\r(6),4).13．(2018年临沂二模)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，如图②.(1)求证：平面ABC⊥平面ADC；(2)若AD＝1，二面角C－AB－D的平面角的正切值为eq\r(2)，求二面角B－AE－D的正弦值．【解析】(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥DC，DC⊂平面BCD，所以DC⊥平面ABD．因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB．又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC．因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．(2)由(1)知AB⊥平面ADC，所以二面角C－AB－D的平面角为∠CAD．又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD．依题意tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\r(2).因为AD＝1，所以CD＝eq\r(2).设AB＝x(x＞0)，则BD＝eq\r(x2＋1).依题意△ABD∽△DCB，所以eq\f(AB,AD)＝eq\f(DC,DB)，即eq\f(x,1)＝eq\f(\r(2),\r(x2＋1)).解得x＝1，故AB＝1.如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))，B(eq\r(2)，0,0)，C(