《备考指南 理科数学》课件-第9章 第7讲

平面解析几何第九章第7讲抛物线【考纲导学】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率、焦点、准线方程、开口方向等)．2．了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的__________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．2．抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为____________；(2)顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为____________；(3)顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为____________；(4)顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为____________．距离相等焦点准线y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)3．抛物线的几何性质(0,0)x轴y轴1【答案】D【答案】D3．(2018年南通模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点P(4，y0)到抛物线焦点的距离为5，则p＝______.【答案】2

4．(教材习题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为__________．【答案】y2＝－8x

或x2＝－y1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．3．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√课堂考点突破2抛物线的定义及应用

(1)(2016年浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________．【答案】(1)9

(2)(2,2)【规律方法】与抛物线有关的最值问题的解题策略：该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．抛物线的标准方程及几何性质【考向分析】抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现．常见的考向：(1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性．【答案】D【解析】(待定系数法)若设抛物线方程为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；若设抛物线方程为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.【规律方法】(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件即可确定p值．(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．直线与抛物线的位置关系

(2018年泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，O

为坐标原点，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．【解析】

(1)易知直线与抛物线的一个交点坐标为(8，－8)，代入抛物线方程，得(－8)2＝2p×8，所以2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x.【规律方法】(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．【跟踪训练】2．如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．【解析】(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在．课后感悟提升33个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点．2．(2018年北京)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．【答案】(1,0)

3．(2018年新课标Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相