《备考指南 理科数学》课件-第8章 第5讲

立体几何第八章第5讲直线、平面垂直的判定与性质【考纲导学】1．以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．2．能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的______直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理：任意平行两条相交直线a，b⊂α

a∩b＝O

l⊥a

l⊥b

a⊥α

b⊥α

2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理和性质定理：直二面角垂线l⊂β

l⊥α

交线α⊥β

l⊂β

α∩β＝a

l⊥a

1．下列命题中错误的是(

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D2．如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(

)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【答案】C3．(2018年昆明模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是(

)A．AD1⊥DP B．AP⊥B1CC．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C【答案】B4．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的______心．【答案】(1)外(2)垂在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意．口诀：线不在多，重在相交．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(

)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(

)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(

)××××课堂考点突破2直线与平面垂直的判定与性质【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．平面与平面垂直的判定与性质【规律方法】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【跟踪训练】平行垂直中探索性问题

如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)求证：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF，如图1所示．因为四边形ABCD是矩形，所以O为AC的中点．又F为EC的中点，所以OF为△ACE的中位线，所以OF∥AE.又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，所以AE∥平面BDF.

(2)当P为AE中点时，有PM⊥BE.证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，如图2所示．因为P为AE的中点，H为BE的中点，所以PH∥AB．又AB∥CD，所以PH∥CD，所以P，H，C，D四点共面．因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以CD⊥BE.因为BC＝CE，H为BE的中点，所以CH⊥BE.又CD∩CH＝C，所以BE⊥平面DPHC．又PM⊂平面DPHC，所以BE⊥PM，即PM⊥BE.【规律方法】(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察并尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题时，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．【跟踪训练】3．(2018年北京通州区一模)如图所示的几何体中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是直角三角形，∠APD＝90°，四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，PQ∥DC，PQ＝PD＝DC＝1，PA＝AB＝2.(1)求证：PD∥平面QBC；(2)求证：QC⊥平面PABQ；课后感悟提升33种方法——三种垂直关系的证明(1)判定线线垂直的方法：①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)判定线面垂直的常用方法：①利用线面垂直的判定定理；②利用“两平行线中的一