《备考指南 理科数学》课件-第7章 第6讲

不等式、推理与证明第七章第6讲数学归纳法【考纲导学】1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0(n0∈N*)

n＝k＋12．(2018年岳阳模拟)用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(

)A．2

B．3

C．5

D．6【答案】C4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．3．解“归纳—猜想—证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(

)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(

)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(

)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(

)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(

)××××√√课堂考点突破2用数学归纳法证明等式【规律方法】(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【跟踪训练】1．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．【证明】(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．用数学归纳法证明不等式【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题：(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法．整除问题【规律方法】在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设．【跟踪训练】3．用数学归纳法证明：1－(3＋x)n(n∈N*，x∈Z)能被x＋2整除．归纳—猜想—证明【考向分析】数学归纳法是证明数学命题的一种重要方法，此类问题经常是利用归纳—猜想—证明的思路进行解决，考查学生的归纳猜想及论证能力．常见的考向：(1)与函数关系式有关的证明；(2)与数列通项公式、前n项和公式有关的证明；(3)存在性问题的证明．【规律方法】(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．课后感悟提升31种方法——寻找递推关系的方法(1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．(2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置．(3)在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．3个注意点——运用数学归纳法应注意的三个问题(1)第一步验证n＝n0