《备考指南 理科数学》课件-第3章 第2讲

导数及其应用第三章第2讲导数在研究函数中的应用【考纲导学】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．函数的单调性与导数(1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上________；(2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上________；(3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立⇔函数f(x)在区间D上是________．递增递减常函数2．函数的极值与导数>

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大小大小3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，且最大(小)值必在区间端点或极值点处取得．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则______为函数的最大值，______为函数的最小值．f(a)

f(b)

f(a)

f(b)

1．(教材习题改编)如图所示是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】A2．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)【答案】D3．(2018年乌鲁木齐模拟)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值且为10，那么a＋b的值为(

)A．－7 B．0C．－7或0 D．以上都不对【答案】A4．(2018年荆州模拟)函数f(x)＝x3－x2＋2在(0，＋∞)上的最小值为________．【答案】31．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理地解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(

)(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性．(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(

)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(

)(5)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．(

)(6)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√课堂考点突破2利用导数研究函数的单调性

已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的递增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数？说明理由．【解析】(1)由f(x)＝ex－ax－1，得f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)＝ex－a≥0，f(x)在R上递增；当a>0时，由f′(x)＝ex－a≥0，解得x≥lna.所以当a≤0时，f(x)的递增区间为R；当a>0时，f(x)的递增区间是[lna，＋∞)．(2)要使f(x)在(－2,3)上为减函数，则f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立，即a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又因为－2<x<3，所以e－2<ex<e3，只需a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．【规律方法】(1)确定函数单调区间的步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．分类讨论时，要做到不重不漏．已知函数的单调性求参数【规律方法】(1)函数f(x)存在单调递减区间，即导函数在某区间上的值为负，即f′(x)<0有解．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.【跟踪训练】2．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的单调减区间为(－1,1)，求a的值．【解析】(1)因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)＝x3－1在R上是增函数．所以实数a的取值范围是(－∞，0]．利用导数研究函数的极值【考向分析】函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题．常见的考向：(1)由图象判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数．由图象判断函数极值

设函数f(x)在R内可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(

)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【答案】D

【解析】由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．已知函数求极值

已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．已知极值求参数【规律方法】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．利用导数求函数的最值

(2018年石嘴山模拟)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最小值；(2)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．【规律方法】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．课后感悟提升31个提醒——函数的定义域求函数的单调区间应遵循定义域优先的原则．2个条件——函数在区间(a，b)内单调的条件(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件为：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．4个步骤——求函数单调区间的步骤第一步：求函数f(x)的定义域；第二步：求导数f′(x)；第三步：在函数定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；第四步：确定f(x)的单调区间．1．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是_______．2．(2018年江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．【答案】－3

【解析】由f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)，得f′(x)＝2x(3x－a)．①当a≤0，x>0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1，f(x)在(0，＋∞)上没有零点，舍去．3．(2018年北京)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极