《备考指南 理科数学》课件-第11章 第9讲

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第9讲离散型随机变量的均值与方差【考纲导学】1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平平均偏离程度标准差2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝__________.(2)D(aX＋b)＝___________.(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则EX＝_______，DX＝________.(2)若X～B(n，p)，则EX＝_______，DX＝______________.aEX＋b

a2DX

pp(1－p)npnp(1－p)1．(2018年孝感模拟)设随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝3.2，Dξ＝1.92，则(

)A．n＝8，p＝0.4

B．n＝4，p＝0.4C．n＝8，p＝0.6

D．n＝4，p＝0.6【答案】A2．(2018年哈尔滨模拟)篮球运动员在比赛中每次罚球，命中得1分，不中得0分，若运动员甲罚球命中的概率为0.8，X表示他罚球一次的得分，则X的数学期望EX

为(

)A．0.3

B．0.8

C．0.2

D．1【答案】B1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(

)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(

)(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(

)(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×课堂考点突破2离散型随机变量的均值与方差【考向分析】离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是近几年高考中主要的概率题型，常与排列组合、概率等知识综合考查．常见的考向有：(1)求离散型随机变量的均值、方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值．【答案】D【解析】因为η～B(n，p)，且E(2η)＝8，D(4η)＝32，所以E(2η)＝2Eη＝2np＝8，D(4η)＝16Dη＝16np(1－p)＝32，解得n＝8，p＝0.5.【规律方法】离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略：(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值．【跟踪训练】1．(1)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为(

)A．0.9

B．0.8

C．1.2

D．1.1均值与方差在决策中的应用

(2018年怀化模拟)近年来，共享汽车给市民们提供了一种新型的出行方式．某共享汽车用户每次租车时按行驶里程(1元/千米)加用车时间(0.1元/分钟)收费．李先生家离上班地点10千米，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间(分钟)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[15,65]分钟．(1)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设ξ是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求ξ的分布列和期望；(2)若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少？(同一时段，用该区间的中点值作代表)课后感悟提升33条性质——期望与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)．(2)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2.(3)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数)．3种方法——求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．1．(2018年新课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(

)A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3【答案】B3．(2018年北京)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)，写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．4．(2018年新课标Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？(2)(ⅰ)由(1)知p＝0.1.令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180