2025北京顺义一中高一3月月考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京顺义一中高一3月月考数学2025.03（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设，，则（）A. B. C. D.2.已知，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.3.若为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A． B．C． D．5.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数A． B． C． D．6.已知函数（）的部分图像如图所示，则（）A. B.C. D.7.在矩形中，，，为上的动点，则（）A.0 B.1 C.2 D.48.设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.为奇函数 B.的最小正周期为C.在区间上单调递增 D.有最大值，没有最小值10.半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（）A.s B.s C.s D.10s第II卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11．的值是___________12.已知向量，，且与的夹角为45°，则=________.已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则..14．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为___________________(写出一个满足条件的的值即可）15.已知函数，给出下列结论：①为的一个零点；②为周期函数；③在区间上单调递增；④的最大值为．其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知向量，.（1）求的坐标；（2）设的夹角为，求的值；（3）若，求的值.17．（9分）已知，，，，．（1）求及的值；（2）求的值．18．已知向量a,b满足(1)求向量a与b的夹角；(2)若向量a在b方向上的投影向量为c，求c⋅19.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）求在区间上的值域．20．已知函数.(1)求函数的对称轴方程；(2)若函数在区间上恰有个零点，（i）求实数的取值范围；（ii）求的值.21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.(1)已知，求；(2)若向量，求证：；(3)记，且满足，求的最大值.

参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】由向量的加减法求解.【详解】向量，则则故选：C.2.【答案】A【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可.【详解】因为，所以是线段的中点，所以点的坐标为，即，故点的坐标为.故选:A.3.【答案】D【分析】先根据求出，再利用倍角公式可得答案.【详解】因为为第二象限角，且，所以；所以.故选：D.4．【答案】A∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.5.【答案】D由图中可知，若向量与共线,则.答案为D.6.【答案】A【分析】由函数的图象求得，得到，结合，求得的值.【详解】由函数的图象，可得，所以，则，所以，又由，可得，所以，又因为，所以.故选：A.7.【答案】D【分析】把拆解，利用平面向量数量积运算进行求解.【详解】因为是矩形，为上的动点，所以；因为,所以.故选：D.8.【答案】B存在实数，使得，说明向量共线，当同向时，成立，当反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选B.9.【答案】C【分析】根据余弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由，所以函数为偶函数，所以A不正确；由函数，可得函数的最小正周期为，所以B不正确；又令，解得，所以函数单调递增区间为，，令，的其中一个单调递增区间为，所以C正确.因为，所以当时，，故D不正确.故选：C10.【答案】B【分析】由题意求得周期，进而得到，由水轮的圆心距离水面m，可求出，，即可知，令，解得即可得出答案.【详解】水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数的最小正周期为15s，则，由水轮的半径为2m，水轮圆心O距离水面m，因为，可得，，所以，当水轮上点P从水中浮出时x=0s开始计时，令，解得，点P第一次到达最高点需要.故选：B.第II卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11．【答案】 12.【答案】1【分析】利用向量数量积计算即可.【详解】因为，所以，且，与的夹角为45°，所以，故答案为：1.13．【答案】.【分析】由条件结合投影向量公式可求，根据向量模的性质及数量积运算律求.【详解】因为在上的投影向量为，所以，又，所以，又，所以.14．【分析】直接利用三角函数图象的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用图象的对称轴即可求解．【解答】解：的图象向右平移个单位长度，得到，得到的函数图象关于轴对称，则：，，解得：，当时，．15.【答案】①②④.【详解】对于①，，故①正确；对于②，，所以为周期函数，故②正确；对于③，，，故③不正确；对于④，，令，，当，，故④正确.故选：①②④.三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据向量的减法的坐标运算，即可求得答案；（2）求出向量的数量积和模，根据向量的夹角公式即可求得答案;（3）根据向量垂直时数量积为0，列方程即可求得答案.【小问1详解】因为，，所以【小问2详解】【小问3详解】因为，所以，所以，解得：.17．【分析】（1）根据已知条件，结合正切函数的两角和公式，以及二倍角公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．【解答】解：（1），，，，，．（2），，又，，，，，，，，．【点评】本题考查了三角函数的两角和与差公式，以及二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．18．【解题思路】（1）由题意得到a⋅（2）利用投影向量和数量积的运算即可求解．【解答过程】（1）∵(5a∴10|a|2∴a⋅b=9又<a,b>∈[0,π]，∴（2）∵c=|∴c⋅(19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式化简即可得出，再由周期公式求解即可；（2）解不等式即可得出答案；（3）由，可得，结合正弦函数的性质即可得出答案.【小问1详解】因为所以的最小正周期为.【小问2详解】因为，，所以，.所以的单调递增区间为.【小问3详解】因为，所以.当，即时，取得最大值3;当，即时，取得最小值0-所以在区间上值域为20．【答案】(1)(2)（i）；（ii）.（1）；令，解得：，的对称轴方程为（2）（i）由（1）得：，当时，，设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点；作出在上的图像如下图所示，由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，实数的取值范围为；（ii）设与的个不同的交点分别为，则，，，即，整理可得：，21.【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用新定义计算即得.（2）由新定义证得，，即可证明.（3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由，得.（2）由向量，向量，得，因此，同理，所以.（3）依题意，，，则