2025北京牛一实验学校九年级（下）开学考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京牛一实验学校初三（下）开学考数学一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.如意纹 B.冰裂纹C.盘长纹 D.风车纹2.年月日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．长征二号（代号：，简称：长二，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是千克．将用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.3.如图，点在直线上，．若，则的大小为（）A. B. C. D.4.如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（）A.点A B.点B C.点C D.点D5.已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.6.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B.且C. D.且7.某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（）A. B.C. D.8.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．10.方程组的解为________．11.正八边形每个外角的度数为_____．12.如图，平分，点B在射线上，若使，则还需添加的一个条件是_______（只填一个即可）．13.写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式_______．14.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______．15.如图所示的网格是正方形网格，则_______（点A，B，C，D，E是网格线交点）．16.京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列四个结论，其中正确的是________（填序号）．①图形G关于直线对称；②线段的长为；③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④当时，直线与图形G有两个公共点．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17.计算：．18.解不等式组：19.如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．20.已知，求代数式的值．21.如图，四边形是矩形，点E是边上一点，．（1）求证：；（2）F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，求的长．22.我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．（1）判断：这个模型中与是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；你的理由是：________________________________________________．（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：节气夏至秋分冬至太阳光线与地面夹角①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；②记秋分时的表影为，推测点P位于（）A．线段中点左侧B．线段中点处C．线段中点右侧23.已知直线过点．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q．（1）求k的值；（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；②若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．24.牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a．两部影片上映第一周单日票房统计图．b．两部影片分时段累计票房如下上映影片2月12日-18日累计票房（亿元）2月19-21日累计票房（亿元）甲

乙（以上数据来源于中国电影数据信息网）.根据以上信息，回答下列问题：（1）2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为__________；（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是__________；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过_________亿元．25.如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D．（1）求证：；（2）延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长．26.在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两个点．（1）当时，求的值；（2）若对于，都有，求的取值范围．27.已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上．（1）①依题意补全图1；②若垂直，直接写出的值；（2）如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，设的半径为2．对于线段和点、点，给出如下定义：记的长度为，若线段为线段关于直线的对称线段，且沿着直线方向平移个单位长度后成为的一条弦，则称点为点关于线段的关联点．（1）已知，在、、、中，点关于线段的关联点为________；（2）已知，动点、满足，．若点是点关于线段的关联点，直接写出线段的长度的取值范围________；（3）已知点，、为两个不同的动点，点是点关于线段的关联点．若且，直接写出线段中点的横坐标的取值范围__________．

参考答案一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】D【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；D、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意．故选：D．2.【答案】C【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【详解】解：．故选C．3.【答案】A【分析】由题意易得，，进而问题可求解．【详解】解：∵点在直线上，，∴，，∵，∴，∴；故选A．【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．4.【答案】C【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可．【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接，设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，由勾股定理得，，和的每一组对应顶点到点C的距离都相等，两个格点和的旋转中心是点C，故选：C.5.【答案】D【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴A，B，C不符合题意；D符合题意；故选：D6.【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．根据方程有两个不相等的实数根得到且，代入计算解答即可．【详解】解：由条件可知：Δ=∴且，故选：B7.【答案】C【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程．【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，依题意得，，故选：C．8.【答案】B【详解】分析：根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.详解：设对称轴为，由（，）和（，）可知，，由（，）和（，）可知，，∴，故选B．点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】根据分式的分母不能为0，可知，由此可解．【详解】解：代数式有意义，，，故答案为：．【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟记分式的分母不能为0．10.【答案】【分析】根据加减消元可直接进行求解．【详解】解：，①+②得：，解得：，把代入①得：，∴原方程组的解为；故答案为．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．11.【答案】【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据任何一个多边形的外角和都是求解即可．【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是，所以正八边形的每个外角的度数是：．故答案为：．12.【答案】AC=AD或或．【分析】由AE平分∠CAD，可得∠CAB=∠DAB，由AB共用从边上考虑，只能添加AC=AD，可证，从角上考虑，可添加或，即可．【详解】解：因为AE平分∠CAD，所以∠CAB=∠DAB，又∵AB=AB，已具备一边一角，从边上考虑，只能添加AC=AD，在△ABC和△ABD中，，，从角上考虑，可添加或，添加在△ABC和△ABD中，，，添加，在△ABC和△ABD中，，，故答案为：AC=AD或或．【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等判定定理是解题关键．13.【答案】【分析】开口向上，顶点在x轴上的函数是（a>0）的形式，举一例即可．【详解】解：开口向上，即，顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，例如．（答案不唯一）故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式，顶点坐标是(，)，此题考查了其中一种函数，要充分理解各函数的关系．14.【答案】【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出、两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．【详解】图像关于中心对称，，图像经过一、三象限，图像也关于中心对称，，图像经过一、三象限，又、为与交点，、也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，，，，故答案为．【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键．15.【答案】【分析】连接AD，计算证明△ADC是等腰直角三角形，证明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解．【详解】连接AD，如图：∵，，，即，∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC，∴∠ACD，∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，∴∠BAC+∠CDE=∠ACF+∠DCF=∠ACD，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．16.【答案】①②【分析】由题意很明显可以得到图形的对称轴为，故①正确；构造直角三角形，利用勾股定理求得的长，进而求得的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；最后将，，代入图中，不能得出结论④，故④错误．【详解】由圆可知，，，且点，在抛物线上，图形关于对称，故①正确；连接，在中，，，，又，，，故②正确；根据题意得，由图形围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误；由题意得，，当时，与图形有一个公共点，当时，与图形由两个公共点，故④错误；故答案为①②．【点睛】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17.【答案】【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．18.【答案】【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，据此求解即可．【详解】解：原不等式组为解不等式①，得．解不等式②，得．原不等式组的解集为．19.【答案】证明见解析【分析】根据平行得出，然后用“边角边”证明即可．【详解】证明：∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∴．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．20.【答案】【分析】先根据整式的运算法则把化简，再把代入计算即可．【详解】解：，∵，∴，∴原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出一个或几个式子的值，这时可以把这一个或几个式子看作一个整体，将待求式化为含有这一个或几个式子的形式，再代入求值．运用整体代换，往往能使问题得到简化．21.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由矩形的性质和垂直的定义，得到，，即可得到结论成立；（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出，，再证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．（2）解：∵由（1），∴．∵矩形中，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，即．∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题．22.【答案】（1）是，答案见解析；（2）①作图见解析；②A．【分析】（1）活用勾股定理的逆定理判断即可；（2）①根据它们距离表的远近和角度的大小来确定；②根据夹角的大小计算判断【详解】（1）是，理由：由测量结果可知，由勾股定理的逆定理可知．故答案是：是；，由勾股定理的逆定理可知．（2）①如图，∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，∵∠AMB＞∠ADB，∴点M在点D的左边；∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，∵∠ANB＜∠ADB，∴点N在点D的右边；如图，点M,点N即为所求．②∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，∵∠APB＜∠ADB，∴点P在点D的左边；故选A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两个锐角互余的性质，特殊角的三角函数值，熟练将生活问题转化数学模型求解是解题的关键．23.【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式可得，即；（2）①由P在直线上且横坐标为m，可求点P的纵坐标为，由轴，可得点Q的纵坐标为．由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标为即可；②由P（m,）,Q，可求PQ=利用三角形面积公式S△POQ=，由的面积大于3，列不等式，解得：或（舍去）即可．【详解】解：（1）∵直线过点，∴，即．（2）①∵P在直线上且横坐标为m，∴点P的纵坐标为，∵轴，∴点Q的纵坐标为．∵点Q在函数的图象上，∴点Q的横坐标为．∴点Q的坐标为．②∵P（m,）,Q，PQ=，S△POQ=，的面积大于3，∴，解得：或（舍去），∴．【点睛】本题考查一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式是解题关键．24.【答案】（1）（2）②③（3）【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义可得影片乙单日票房的中位数为：；（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①不正确；②先求出平均数,,在求出方差，，可判②正确；③求出甲超过乙的差值15日，16日，17日，18日，可判断③正确；（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．【小问1详解】解：影片乙单日票房从小到大排序为，，，，，，一共7个数据，所以影片乙单日票房的中位数为：，故答案为：；【小问2详解】解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，所以甲的单日票房逐日增加说法不正确②，,，，所以甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；③甲超过乙的差值从15日开始分别为,15日，16日，17日，18日，所以在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．说法中所有正确结论的序号是②③，故答案为：②③；【小问3详解】解：乙票房截止到21日收入为：亿，甲票房前7天达到亿，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房至少为：亿．故答案为：．【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．25.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）连接，利用切线的性质和切线长定理得到，，利用等腰三角形性质和等量代换得到，利用等量代换即可证明；（2）连接，，在中，利用，得到设，．则，．在中，利用建立等式算出的值，进而得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似三角形的性质即可求出．【小问1详解】证明：连接，如图1．，是的切线，，是的半径，，，，．，，，．又，．【小问2详解】解：连接，，如图2．在中，，设，．则，．在中，，即．解得．，．是的直径，．，，．，．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键．26.【答案】（1）（2）或【分析】本题考查二次函数的性质；（1）由抛物线的对称轴为直线，再根据得到点，关于对称轴对称得，计算即可；（2）分两种情况：当点在对称轴左侧时或当点在对称轴右侧时，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据分类讨论．【小问1详解】解：抛物线的对称轴为直线，当时，点，关于对称轴对称，∴，∴；【小问2详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，（1）当时，抛物线开口向上，①当点在对称轴左侧时，∴，解得，，∴点在对称轴右侧，作点关于对称轴的对称点，，∴点B在点左侧，且在点A在右侧，∴，，∴，解得：此不等式组无解；②当点在对称轴右侧时，∴，解得，，∴点B在点右侧，且在点A在左侧，∴，∴，解得：；当时，抛物线开口向下，，∴点在对称轴右侧，，∴点A在点对称轴左侧，作点关于对称轴的对称点，，∴点B在点右侧，，，综上所述，的取值范围为或．27.【答案】（1）（1）①作图见解答；②（2），理由见解析【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）①根据题意补全图形即可；②由旋转得，，旋转角度为，得出，则，结合垂直，求得，即可解答；（2）连接并延长，交延长线于点，连接，先证明，再证明，得，，利用平行得，则可得，则，再证明是的中位线，即可得．【小问1详解】解：①补全图形如图，②由旋转得，，旋转角度为，∴，∴，∵垂直，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：，理由如下：如图，连接并延长，交延长线于点，连接，∵，∴，∵，，，∴，∴，，由旋转得，，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴是的中位线，∴，即：．28.【答案】（1）、（2）（3）【分析】（1）根据题意可得，经过轴对称与平移后可以成为的一条弦，根据新定义可得所在直线为轴，进而可得，即，结合点的坐标，即可求解；（2）根据已知可得、在以为圆心，半径为的圆上，且为一条弦，取，以为半径作圆，由（1）可得在半径为的上，则，关于直线对称后得到的线段仍在半径为的圆上，设直线与分别交于点，得出四边形是矩形，进而勾股定理求得的长，从而求得平移距离为，即，进而求得的长