第四章指数函数与对数函数培优点指对幂的大小比较课件高一上学期数学人教A版1

培优点指、对、幂的大小比较【考试提醒】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．【核心题型】题型一直接法比较大小利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．命题点1利用函数的性质【例题1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【详解】由在R上单调递增，可得，又，则．由在上单调递增，可得．由在上单调递增，可得．所以，故选：A【变式1】（2024·四川德阳·二模）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【详解】因为，观察的式子结构，构造函数，则，当时，单调递增，当时，单调递减，因为，所以，即，所以，即，即；又，所以，即；综上，.故选：B.【变式2】（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为

．【详解】幂函数的图象过点，则，所以幂函数的解析式为，且函数为单调递增函数，又，所以，即.故答案为：【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若，则实数由小到大排列为

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<

.【详解】依题意，，而，令函数，求导得，因此函数在上单调递增，而，于是，又，所以.故答案为：b；c；a命题点2找中间值【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．【详解】因为，，所以．故选：C【变式1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【详解】由题得，而，所以，所以.故选：A.【变式2】（2024·四川成都·三模）四个数中最大的数是（

）A． B． C． D．【详解】因为，，，

.所以最大.故选：B【变式3】（2024·北京石景山·一模）设，，，则（

）A． B． C． D．【详解】，，而，则，即，所以.故选：B命题点3特殊值法【例题3】（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【详解】因为，所以，当时，解得；当时，解得，所以，即，A，B错误.当时，，C错误.因为在上单调递减，在上单调递增，所以，即，D正确.故选：D【变式1】（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【详解】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得，则，故A正确；对B，当时，，故B错误；对C，因为，则，又因为，所以，故C正确；对D，举例，则，而，此时两者相等，故D错误.故选：AC.【变式2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【详解】选项A：当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确；选项B：由得，所以，故选项B正确；选项C：令，满足，但不成立，故选项C错误；选项D：由得，因为，所以，所以，故选项D正确．故选：ABD.【变式3】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是

．（请填入全部正确的序号）①；②；③；④．【详解】对于①，取，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，当，要证，即证，即，即证，而恒成立，当时，，所以，故③正确.对于④，，所以，故④正确.故答案为：②③④.题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．【例题4】（2024·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【详解】因为，，，因为在上单调递增，所以，所以.故选：B【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【详解】由题意得，且，又，故，故选：C【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【详解】幂函数在上单调递增，故，又，所以.故选：A.【变式3】（2024·四川攀枝花·二模）若，则（

）A． B． C． D．【详解】易知在上单调递增，则，即，而由单调递增，得，即，又单调递增，故则

，故选：A题型三构造函数比较大小某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．【例题5】（2024高三·全国·专题练习）若，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．

【详解】设，则当时,在单调递减，当时，在单调递增，故当，故当且仅当时取等号，当在单调递增，当在单调递减，所以，故，当且仅当时取等号，所以

，故．，故因此，故选：A【变式1】（2024·辽宁·二模）若，则（

）A． B．C． D．【详解】令，则，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，又，而，所以，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，令，则，当时，，即在区间上单调递增，所以，得到，，即，所以，综上所述，，故选：B.【变式2】（2023·辽宁·模拟预测）已知，试比较的大小关系（