平行线的性质课件北师大版八年级数学上册

7.4

平行线的性质第七章平行线的证明两直线平行

1.同位角相等2.内错角相等3.同旁内角互补问题

平行线的判定方法是什么？思考反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?两条直线被第三条直线所截，合作探究问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？ABCDEFMN12平行线的性质问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知：如图，直线

AB∥CD，∠1和∠2是直线

AB、CD被直线

EF所截得的同位角.求证：∠1=∠2.文字语言符号语言ABCDEFMN12问题3：你能说说证明的思路吗？GH证明：假设∠1≠∠2，过点

M作直线

GH，使∠EMH=∠2，如图.根据“同位角相等，两直线平行”，可知

GH∥CD.又因为

AB∥CD，这样经过点

M

存在两条直线

AB和

GH

都与直线

CD

平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.如果∠1≠∠2，AB与

CD的位置关系会怎样呢？ABCDEFMN12假设-反证法一般地，平行线具有如下性质：性质1（定理）

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

b12ac∴∠1

=∠2（两直线平行，同位角相等）.∵a∥b（已知），应用格式：总结归纳议一议利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.尝试来证明一下！证明：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.（1）你能作出相关的图形吗？（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？（3）你能说说证明的思路吗？性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.已知：直线

a∥b，∠1

和∠2

是直线

a，b

被直线

c

截得的内错角.求证：∠1

=∠2.证明：∵

a∥b

(已知)，∴∠2＝∠3

(两条直线平行，同位角相等).∵∠1＝∠3

(对顶角相等)，∴∠1＝∠2

(等量代换).

12bc3a性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.已知：直线

a∥b，∠1

和∠2

是直线

a，b

被直线

c

截得的同旁内角.求证：∠1

+∠2

=

180°.证明：∵

a∥b(已知)，∴∠2=∠3(两条直线平行，同位角相等).∵∠1

+∠3=

180°(平角的定义)，∴∠1

+∠2

=

180°(等量代换).12bc3a例已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，

∠3是直线a，b，c被直线d

截出的同位角.求证：b∥c.证明：∵b∥a（已知），∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.∵c∥a（已知），∴∠2=∠3（等量代换）.∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.简述为：平行于同一条直线的两条直线平行.平行线的性质性质定理1：两直线平行，同位角相等.∵a∥b，∴∠1=∠2.性质定理2：两直线平行，内错角相等.∵a∥b，∴∠1=∠2.性质定理3：两直线平行，同旁内角互补.∵a∥b，∴∠1+∠2=180°.abc21abc12abc12这些结论，以后可以直接运用.总结归纳归纳总结证明一个命题的一般步骤：(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知，求证；(4)分析证明思路，写出证明过程.解：∠A=∠C，∠B=∠D.理由：∵

AB∥CD，AD∥BC(已知)，∴∠A+∠D=180°，

∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补).∴∠A

=∠C(同角的补角相等).同理，∠B=∠D.典例精析ADCB例1如图，已知四边形

ABCD

中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？证法一：∵AB∥DC（已知），∴∠B

+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠B=∠D（已知），∴∠D+∠C=180°（等量代换）.∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.ADCB例2已知：如图，AB∥CD，∠B=∠D.

求证：AD∥BC.

证法二：如图，延长

BA（构造一组同位角）

∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵∠B=∠D（已知）

∴∠1=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）1例2已知：如图，AB∥CD，∠B=∠D.

求证：AD∥BC.ADCB证法三：如图，连接

BD(构造两组内错角).∵AB∥CD(已知)，∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等).∵∠ABC=∠ADC(已知)，∴∠ABC－∠1=∠ADC－∠4(等式的性质).∴∠2=∠3.

∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).1234ADCB例2已知：如图，AB∥CD，∠B=∠D.

求证：AD∥BC.平行线的判定与性质两直线平行

同位角相等内错角相等同旁内角互补线的关系角的关系性质角的关系线的关系判定讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）1.下列图形中，由

AB∥CD，能得到∠1=∠2的是()B解：∵AB∥DE

()，∴∠A=_______

(

).∵AC∥DF

()，∴∠D=______().∴∠A=∠D().2.(1)有这样一题：如图

1，若

AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A=∠D.请补全下面的解答过程，括号内填写依据.PFCEBAD图1已知∠CPE两直线平行，同位角相等已知∠CPE

两直线平行，同位角相等等量代换解：∵AB∥DE()，∴∠A=______().∵AC∥DF()，∴∠D+_______=180°

().∴∠A+∠D=180°(

).2.(2)有这样一题：如图2，若

AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A+∠D=180°.请补全下面的解答过程，括号内填写依据.图2FCEBADP已知∠CPD两直线平行,同位角相等已知∠CPD两直线平行,同旁内角互补等量代换（3）∠4=70°，

两直线平行，同旁内角互补.3.如图，已知平行线

AB、CD被直线

AE所截.(1)

从∠1=110°

可以知道∠2是多少度？为什么？(2)从∠1=110°

可以知道∠3

是多少度？为什么？(3)从∠1=110°

可以知道∠4是多少度？为什么？23E14ABDC解：(1)∠2=110°，

两直线平行，内错角相等.（2）∠3=110°，

两直线平行，同位角相等.4、一自行车运动员在一条公路上骑车，两次拐弯后，和原来的方向相同（即拐弯前后的两条路互相平行），若测得第一次拐弯的∠B是142°，则第二次拐弯的∠C应是多少度才合理？为什么？解：∵AB//CD

∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等）

∵∠B=142°

∴

∠C=142°ABCD解：因为梯形上、下底互相平行，所以

∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.所以梯形的另外两个角的度数分别是

80°、65°.于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.5.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？3、如图，由AB//CD，可以得到（）易错（A）∠1=∠2 （B）∠2=∠3（C）∠1=∠4 （D）∠3=∠4C4、如图，已知A、B、C同在一条直线上，D、E、F同在一条直线上，且∠A=∠F，∠C=∠D，判断AE与BF的位置关系，并说明理由.解：

∵∠C=∠D

∴DF//AC

∴∠DEA=∠A∠F=∠FBC

∴∠A=∠FBC

∴AE//BF6.如图，在△ABC

中，CE⊥AB

于点

E，DF⊥AB

于点

F，AC∥ED