山东省济宁十三中教育集团2024-2025学年下学期3月学情调研九年级数学试卷（原卷版+解析版）

济宁十三中初四数学“双减背景下”3月份学情调研一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．1.的相反数是（）A. B. C.2025 D.2.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.下列计算正确是（）A. B.C. D.4.如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则计算正确的是（）A. B. C. D.5.对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程根的情况为（）A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根6.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A.（20﹣x）2＝20x B.x2＝20（20﹣x）C.x（20﹣x）＝202 D.以上都不对7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（）A.1米 B.米 C.2米 D.米8下列四个命题：①将二次函数向右平移一个单位长度后所得的二次函数表达式为；②如果一个几何体在一个投影面上的正投影是矩形，那么这个几何体是长方体；③一组数据的中位数是；④对角线相等的四边形是矩形．其中是假命题的有（）A.1 B.2 C.3 D.49.如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（）

A. B. C. D.10.对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（）①；②若，则；③若无论k取何值时，的值均不变，则；④若对任意有理数x、y都成立，则．A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二．填空题（共5小题）11.随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为________________．12.如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．13.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．14.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则________．15.如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为α，tanα=，且r1=1时，r2022的值是______．三．解答题（共8小题）16.（1）计算：；（2）先化简：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值．17.为落实中小学生五项管理中的手机管理，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为______人，______；（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．18.如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，求的长．19.综合与实践【实践背景】目前我国已是隧道数量最多、建设规模最大、发展速度最快的隧道大国，我国西部因山地众多，交通不便，因此修建隧道既可缩减通行距离，也可增强两地经济联系．【问题情境】A县与B县隔山相望，A县要先绕行C地才可到达B县．为缩减路程，A县政府计划修建隧道连通A，B两县．【数据收集】某实践小组利用课余时间到该隧道实地进行数据测量、收集，并绘制如图所示的示意图．经过测量得到，，．【问题解决】（1）尺规作图：作边上的高；（保留作图痕迹，不写作法）（2）修建隧道后的路程比原来缩短了多少千米？（参考数据：，，，，结果精确到0.01）20.网络教师小李及团队制作两类微课视频．已知制作个类视频和个类视频需要元成本，制作个类视频和个类视频需要元成本．后期，小李又把做好的微课出售给学习网站，每个类视频售价元，每个类视频售价元．该团队每天可以制作个类视频或者个类视频，且团队每月制作的类视频数不少于类视频数的倍（注：每月制作的两类视频的个数均为整数）．假设团队每月有天制作微课，其中制作类微课天，制作两类微课的月利润为元．（1）求团队制作一个类视频和一个类视频的成本分别是多少元？（2）求与之间的函数关系式；（3）每月制作类视频多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？21.如图，是的直径，C、D是上两点，且，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连结交于点G．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．22.【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，求的值．（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】（2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值．23.在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）；（2）若，当时，求的取值范围；（3）已知，，为该抛物线上点，若，求的取值范围．

济宁十三中初四数学“双减背景下”3月份学情调研一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．1.的相反数是（）A. B. C.2025 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解．【详解】解：的相反数是，故选：C

．2.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；故选：D．3.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．【详解】解：、与不是同类项，故不符合题意．、原式，故符合题意．、原式，故不符合题意．、原式，故不符合题意．故选：．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．4.如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数轴上两点的位置，判断的正负性，进而即可求解．【详解】解：∵数轴上两点表示的数分别是，∴a＜0，b＞0，∴，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，绝对值，掌握求绝对值的法则是解题的关键．5.对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（）A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意由方程得：整理得：根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根．故选D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．6.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A.（20﹣x）2＝20x B.x2＝20（20﹣x）C.x（20﹣x）＝202 D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，

∴，

∴（20−x）2＝20x，

故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（）A.1米 B.米 C.2米 D.米【答案】B【解析】【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，故选：B．【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．8.下列四个命题：①将二次函数向右平移一个单位长度后所得的二次函数表达式为；②如果一个几何体在一个投影面上的正投影是矩形，那么这个几何体是长方体；③一组数据的中位数是；④对角线相等的四边形是矩形．其中是假命题的有（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查了真假命题的判定，掌握二次函数图象的平移，正投影的定义，中位数的计算，矩形的判定方法是关键．根据二次函数图象的平移，正投影的定义，中位数的计算，矩形的判定方法进行判定，确定真假命题即可．【详解】解：将二次函数向右平移一个单位长度后所得的二次函数表达式为，故①是真命题，不符合题意；圆柱的正投影是矩形，当圆柱不是长方体，故②是假命题，符合题意；一组数据，从小到大排序为，则中位数是，故③是真命题，不符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形，故④是假命题，符合题意；综上所述，假命题的有②④，共2个，故选：B

．9.如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得结果．【详解】解：连接、，四边形是菱形，，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，与、与关于原点对称，、经过点，，，，作轴于，轴于，，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．10.对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（）①；②若，则；③若无论k取何值时，的值均不变，则；④若对任意有理数x、y都成立，则．A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】本题考查了实数的新定义运算，由，得，解方程组可判断；由，得，可判断；由，取何值时，的值均不变，得或，可判断是③；由得，根据对任意有理数都成立，得，即可判断④；理解新定义运算是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，解得，故正确；∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故正确；，∵无论取何值时，的值均不变，∴或，即或，故③错误；当时，则，∴，∴，即，∵对任意有理数都成立，∴，故④正确；∴结论的正确为①②④，共3个，故选：B．二．填空题（共5小题）11.随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为________________．【答案】6.5×10-7【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000065=6.5×10-7．故答案为：6.5×10-7.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12.如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．【答案】76°【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．【详解】解：∵DC∥OB，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB=38°+38°=76°，故答案为：76°．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．13.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．【答案】【解析】【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．【详解】解：如图，连接EG，根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，∴∠EBG＝∠CBG，在△EBG和△CBG中，，∴△EBG≌△CBG（SAS），∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，∴AE＝＝8，∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，∴EG2﹣DE2＝DG2∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，解得CG＝．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．14.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则________．【答案】【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．15.如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为α，tanα=，且r1=1时，r2022的值是______．【答案】32021【解析】【分析】根据题意作出垂线段，表示出原点O与圆心之间的线段关系，然后寻找规律得出答案．【详解】解：分别过半圆O1，半圆O2，…，半圆On的圆心作O1A⊥l于点A，O2B⊥l于点B，O3C⊥l于点C，如图，∵半圆O1，O2，O3，…，On与直线l相切，∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，∵tanα=，∴α=30°，∴当直线l与x轴所成锐角为30°时，OO1=2O1A=2，在Rt△OBO2中，OO2=2BO2，即2+1+r2=2r2，∴r2=3，在Rt△OCO3中，OO3=2CO3，即2+1+2×3+r3=2r3，∴r3=9=32，同理可得，r4=27=33，∴r2022=32021，故答案为：32021．【点睛】本题考查了切线的性质，规律型-图形的变化类，解直角三角形，找出规律是解题的关键．三．解答题（共8小题）16.（1）计算：；（2）先化简：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值．【答案】（1）1（2），（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，正切函数，绝对值的化简计算即可；（2）先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，结合分式有意义，确定取值，舍值，后代入求值．【详解】（1）解：．（2）解：；由，且，当时，原式．【点睛】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，正切函数，绝对值的化简，分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．17.为落实中小学生五项管理中的手机管理，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为______人，______；（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）40；30；（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到m的值；（2）求出获“三等奖”人数为12人，补全条形统计图即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果为6种，然后根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：）获奖总人数为（人）．，即；故答案为40；30；【小问2详解】解：“三等奖”人数为（人），条形统计图补充为：【小问3详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、及用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率一所求情况数与总情况数之比．牢固掌握画树状图列出所以可能结果是解题的关键．18.如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，求的长．【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析（2）的长为【解析】【分析】本题考查了菱形证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键．（1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证；（2）由题意得是等边三角形，根据即可求解.【小问1详解】解：四边形是菱形，理由：∵，平分，∴，∵∴∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵平分，∴，∵四边形是菱形，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴4，19.综合与实践【实践背景】目前我国已是隧道数量最多、建设规模最大、发展速度最快的隧道大国，我国西部因山地众多，交通不便，因此修建隧道既可缩减通行距离，也可增强两地经济联系．【问题情境】A县与B县隔山相望，A县要先绕行C地才可到达B县．为缩减路程，A县政府计划修建隧道连通A，B两县．【数据收集】某实践小组利用课余时间到该隧道实地进行数据测量、收集，并绘制如图所示的示意图．经过测量得到，，．【问题解决】（1）尺规作图：作边上的高；（保留作图痕迹，不写作法）（2）修建隧道后的路程比原来缩短了多少千米？（参考数据：，，，，结果精确到0.01）【答案】（1）见解析（2）千米【解析】【分析】此题主要考查了复杂作图以及锐角三角函数关系，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．（1）直接利用过直线外一点作直线的垂线作法得出答案；（2）直接利用锐角三角函数关系分别得出，，的长进而得出答案．【小问1详解】如图所示：D点即所求；【小问2详解】在中，，，在中，，，∴，答：修建隧道后的路程比原来缩短了千米．20.网络教师小李及团队制作两类微课视频．已知制作个类视频和个类视频需要元成本，制作个类视频和个类视频需要元成本．后期，小李又把做好的微课出售给学习网站，每个类视频售价元，每个类视频售价元．该团队每天可以制作个类视频或者个类视频，且团队每月制作的类视频数不少于类视频数的倍（注：每月制作的两类视频的个数均为整数）．假设团队每月有天制作微课，其中制作类微课天，制作两类微课的月利润为元．（1）求团队制作一个类视频和一个类视频的成本分别是多少元？（2）求与之间的函数关系式；（3）每月制作类视频多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元；（2）（的值为，，，，）；（3）每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的运用，掌握知识点的应用是解题关键．（）设团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元，根据题意得，然后解方程即可；（）根据题意列出关系式即可；（）根据（）的结论，结合一次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元，根据题意得：，解得，答：团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元；小问2详解】解：由题意，得，∵，∴，又∵每月制作的两类做课的个数均为整数，∴的值为，，，，；【小问3详解】解：由（）得，∵，∴随的增大而增大，∴当时，有最大值，（元）．答：每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．21.如图，是的直径，C、D是上两点，且，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连结交于点G．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）阴影部分的面积为【解析】【分析】（1）连接，证明，推出，即可证明是的切线；（2）连接