青海省海南州2024-2025学年高三下学期3月联考数学试卷（原卷版+解析版）

海南州25届高三联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则（）A. B. C.0 D.3.数列的前100项和（）A B. C. D.4已知复数满足，则（）A. B. C. D.5.已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（）A. B. C. D.6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（）A. B.6 C.3 D.7.已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（）A. B. C. D.8.给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（）A.216种 B.180种 C.192种 D.168种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，，则的图象可能是（）A. B. C. D.10.将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A.为奇函数 B.的图象关于点对称C.在上单调递减 D.在上恰有50个零点11.定义：曲线的方程为（是常数）．若点在曲线上，是坐标原点，，则（）A.当时，的最小值为 B.当时，的最小值为C.当时，最大值为 D.当时，的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为______．13已知，则______.14.已知定义在上的偶函数满足，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为.（1）求；（2）若，求的面积.16.已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4.（1）求的方程；（2）过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积.17.如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角正弦值.18.亚冬会于年月日至月日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为分、分、分.已知分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内.（1）已知甲回答分、分、分题目正确的概率分别为、、，求甲抽取次，抽到种不同分值的题目，且累积得分不低于分的概率；（2）若甲抽取次，记表示甲次抽取的题目分值之和，求的分布列和数学期望.19.若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数.（1）试问是否为函数？说明你的理由.（2）若为函数，求的取值范围.（3）若为函数，证明：.

海南州25届高三联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合交集、补集的运算直接求解即可.【详解】由题知，，又，所以.故选：A2.已知向量，，若，则（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】由向量数量积及模长的坐标表示即可求解.【详解】由条件可得，两边平方得，解得，故选：A3.数列的前100项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分组求和法，结合等比、等差数列的求和公式计算即得.【详解】的前100项和为：.故选：B4.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的乘方运算及除法运算即可求解；【详解】由，可得：，故选：B5.已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合正四棱台性质求出第一个正四棱台的高，进而得到第二个正四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算求解即可.【详解】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接，结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形，且，故，即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为，故第二个正四棱台的体积为.故选：C.6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（）A. B.6 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积.【详解】点P在双曲线右支上，由双曲线的定义可得，又，两式联立得.又，所以，即为直角三角形，所以.故选：C7.已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由的最小值为6，可求得，进而求得展开利用基本不等式可求最大值.【详解】因为为常数，，则，当且仅当，即时，等号成立，且的最小值为6，所以，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．故选：D.8.给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（）A.216种 B.180种 C.192种 D.168种【答案】D【解析】【分析】分别讨论区域3，4，5和2，3区域的染色，由分步计数原理计算可得答案.【详解】先对3，4，5染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有种，若2和3不同色，则不同的染色方法有种，综上，不同的染色方法有种．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，，则的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】求导，令，可得，可得有两个变号零点，可得有两个极值点，可得结论.【详解】，则，所以有两个极值点，，且．故选：BD.10.将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A.为奇函数 B.的图象关于点对称C.在上单调递减 D.在上恰有50个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据图象变换求得的解析式，再根据三角函数奇偶性、对称性、单调性以及零点个数的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，得到函数的图象.对A：，函数定义域为，又，故为奇函数，A正确；对B：，故关于对称，B正确；对C：当时，，则在单调递增，C错误；对D：，当时，则，故只需考虑，在上的零点个数，又，结合正弦函数的图象，可知在上共有个零点，D正确.故选：ABD.11.定义：曲线的方程为（是常数）．若点在曲线上，是坐标原点，，则（）A.当时，的最小值为 B.当时，的最小值为C.当时，的最大值为 D.当时，的最大值为【答案】BD【解析】【分析】选项BD.由时，方程化简得到或，再利用点与圆上的点的距离判断；选项AC.由时，方程转化为即和得到判断.【详解】当时，，即，即或，所以0曲线表示两个圆，圆心为和，半径都为1，，且，则的最大值为，最小值为，B，D均正确．当时，，即，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值是1，A错误．，则，解得，所以，则，，C错误．故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为______．【答案】21.55%【解析】【分析】将给定的数据按从小到大顺序排列，利用百分位数的定义求解即可．【详解】将这组数据从小到大排列为：10.3%，12.6%，12.7%，16.4%，18.1%，21.4%，21.7%，29.1%，因为，所以这组数据的75%分位数为．故答案为：21.55%13.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得结果.【详解】由题意得，.故答案为：.14.已知定义在上的偶函数满足，则______.【答案】【解析】【分析】根据函数为偶函数可得，利用函数解析式可得当时，，代入计算可得结果.【详解】∵函数为偶函数，∴.∵时，，∴当时，，，∴当时，，，∵对数函数在上为增函数，∴，即，∴.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理和三角形面积公式可求；（2）由正弦定理求出角，再由两角和正弦公式求出，从而根据三角形面积公式求解.【小问1详解】因，，所以，所以，所以，所以，因为是锐角三角形，所以；【小问2详解】由正弦定理，已知，则，因为是锐角三角形，所以，所以，所以.16.已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4.（1）求的方程；（2）过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线写出焦点坐标，再由椭圆参数关系求得、，即可得方程；（2）联立与椭圆，应用韦达定理及弦长公式可得，进而求线段的中垂线方程得到坐标，求出到直线的距离，最后求面积即可.【小问1详解】由抛物线：的焦点，所以，即，又的短轴长为，所以，则，故；【小问2详解】依题意有，联立，整理得，设，，显然，则，，所以，设线段的中点为，则，，故线段的中垂线为，令有，故，所以到直线的距离为，所以的面积.17.如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】由平面，平面，则，又，，易得四边形是矩形.连接，则为的中点，为的中点，所以为的中位线，即.因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】连接，因为为的中点，，所以.因为，，所以四边形为矩形，则，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.设，由题意得，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，取.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角正弦值为.18.亚冬会于年月日至月日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为分、分、分.已知分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内.（1）已知甲回答分、分、分题目正确的概率分别为、、，求甲抽取次，抽到种不同分值的题目，且累积得分不低于分的概率；（2）若甲抽取次，记表示甲次抽取的题目分值之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，【解析】【分析】（1）对甲抽取个题目的分值进行分类讨论，确定每种情况下答题累积得分不低于分，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率；（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为：、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.小问1详解】若甲次答题累积得分不低于分，则甲抽取的个题目的分值可以是