2025届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）八年级地方晋级选拔赛模拟试题合集2套（AB卷）附答案

2025届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）八年级地方晋级选拔赛模拟试题（A卷）考生须知：每位考生将获得考卷一份。考试期间，不得使用计算工具或手机。2.本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。3.请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。4.若计算结果是分数，请化至最简。八年级地方晋级赛复赛A卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）选择题（每小题4分，共40分）1．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥0且x≠2且x≠1某车由甲地等速前往丁地，如图，过程是：自甲向东直行8分钟至乙后，朝东偏南直行8分钟至丙，左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地按原来的速度匀速向东直行可到达丁地，则此车程需要（）A．19.5分钟 B．24分钟 C．25分钟 D．28分钟3．如果等式（2x－3）x+3=1，则等式成立的x的值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如右图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B处径直走到点A处再远离A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．如图，△ABC内有一点P，点D、E、F分别是点P关于AB、BC、AC对称的点．若△ABC的内角∠BAC=70°，∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠ADB+∠BEC+∠CFA等于（）A．180° B．270° C．360° D．480°6．若实数x，y满足x－y+1=0且1＜y＜2，化简得（）A．7 B．2x+2y－7 C．11 D．9－4y如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1，一束光线从点P发射至BC上R点，且∠BPR=60°．光线依次经BC反射，AC反射，AB反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（）A．6 B．9 C． D．278．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B的度数为（）A．54° B．60° C．66° D．72°第5题图第7题图第8题图如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定第9题图第10题图如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为（）A．B．（3，3） C． D．填空题（每小题5分，共30分）11．已知a=，b=，则代数式(a+b)2－(a－b)2的值为____________．12．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长等于．13．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是_____________．14．如图，点A（1，1），B（2，－3），点P为x轴上一点，当|PA－PB|最大时，点P的坐标为_____________．第12题图第14题图第16题图15．若a＞0，b＞0，且a≠b，a、b满足，则=_______．16．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，BE∥AC，且DE⊥AD，若BD=2，CD=4，则BE的长为_______________．解答题（共5小题，共50分）先化简，再求值：，其中x=3，y=4．（8分）定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=－1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（5+i）×（3－4i）=19－17i．试一试：请利用学过的有关知识将化简成a+bi的形式．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1=∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．求证：EM=FG+MH．（10分）某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干，已知这两种粽子每个的进价相同，第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售，板栗馅粽子在进价的基础上提价50%销售，当天全部售完，发现咸肉馅粽子销售了1200个，共获利3200元．（1）设这两种粽子的进价为每个a元，求a的值；（5分）（2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%，且按第一天的销售价格销售，那么销售利润最多是多少元？（5分）在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图①，当CG=OD时，求直线DG的函数表达式；（3分）（2）如图②，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；（4分）②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由．（6分）

八年级A卷答案选择题（每小题4分，共40分）1.D2.C2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A10.D3.当x+3=0时，x=－3；当2x－3=1时，x=2；当x=1时，（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0，∴y=x+1，∵1＜y＜2，∴1＜x+1＜2，∴0＜x＜1，∴====|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．∵BP=AB=1，∠BPR=60°，∴PR=1，根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，光线经过的大致路线如图所示，∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9．8.过F作FG∥AB∥CD，交BC于G．则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．10.过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴设AD=a，BD=2a，∵P（1，1），∴BN=2a－1，则2a－1=1，a=1，即BD=2．∵直线y=x，∴AB=OB=3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=－，即直线CD的解析式是y=－x+3，即解得：，即Q的坐标是．填空题（每小题5分，共30分）11.112.13.a＜1且a≠－114.(,0)15.16.解方程得x=，∵原方程的解为正数，∴x＞0，即＞0，当x－1=0时，x=1，代入得a=－1．此为增根，∴a≠－1，解得a＜1且a≠－1．作A点关于x轴的对称点A'，连BA'，交x轴于点P，此时|PA-PB|最大．由A'（1，－1）、B（2，－3）可得直线BA'的解析式为y=－2x+1，令y=0，则x=，即点P的坐标为(,0)．15.∵，∴a－3=2－4b，∴a－5+4b=0，∴（）（）=0，而a≠b，故=0，a=16b，原式=．16.连AE，过A点作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥CB的延长线于点G，∵BD=2，CD=4，∴BC=6，由题意得BF=CF=AF=3，DF=1，AB=，∴在Rt△ADF中AD=．设GE=GB=x，则BE=，GD=x+2，ED2=x2+（x+2）2，AE2=ED2+AD2=x2+（x+2）2+10，又在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2=2x2+（）2=2x2+18，∴x2+（x+2）2+10=2x2+18，解得x=1，∴BE=．解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=+=+3++=2+4，当x=3，y=4时，原式=2+4=2+8．18.解：．19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ECF，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECF，∴∠BCE=∠1，∴BC=BE，∴四边形BCFE是菱形．∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，∴∠ECF=∠2，∴CM=FM，又∵MH⊥CD，连接BF交CE于点O，∵G是BC中点，∴CG=CB，∵CH=CF，∴CG=CH，在△CGM和△CHM中，∴△CGM≌△CHM（SAS），∴∠CGM=∠CHM=90°，即FG⊥BC，∴CF=BF，∵BC=CF，∴BC=CF=BF，∴△BCF是等边三角形，∴∠BFC=60°，∴∠2=∠BFG=30°，∵BF⊥CE，∴OM=MH，∵OE=OC=FG，∴EM=FG+MH．20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a元，则1.5a×+1200×2a－4000=3200，解得：a=2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元，则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000个，设利润为W元，销售板栗粽子x个，咸肉馅棕售价4元/个，板栗粽售价3元/个，根据题意得：W=4（2000－x）+3x－400=－x+4000，∵2000－x≤60%x，∴x≥1250，∵－1＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x=1250时，W最大，最大值为W=－1250+4000=2750．21.解：（1）∵将x=0代入y=mx+2得；y=2，∴点D的坐标为（0，2）．∵CG=OD=2，∴点G的坐标为（2，6），将点G（2，6）代入y=mx+2得：2m+2=6．解得：m=2．∴直线DG的函数表达式为y=2x+2．（2）①如图所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴于点N．∵四边形DEFG为菱形，∴GF=DE，GF∥DE．∴∠GNC=∠EDO．∴∠NGC=∠DEO．∴∠HGF=∠DEO．∴Rt△GHF≌Rt△EOD．∴FH=DO=2．∴S△GBF=GB·HF==×2×（6－a）=6－a，∴S与a之间的函数关系式为：S=6－a．②当s=1时，则6－a=1，解得：a=5．∴点G的坐标为（5，6）．在△DCG中，由勾股定理可知DG=．∵四边形GDEF是菱形，∴DE=DG=．在Rt△DOE中，由勾股定理可知OE==＞6．∴OE＞OA，∴点E不在OA上，∴S≠1．图①图②2025届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）八年级地方晋级选拔赛模拟试题（B卷）考生须知：每位考生将获得考卷一份。考试期间，不得使用计算工具或手机。2.本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。3.请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。4.若计算结果是分数，请化至最简。八年级地方晋级赛复赛B卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）选择题（每小题4分，共40分）1．函数的自变量的取值范围是（）A．x≥－2 B．x＞－1C．x≠－1D．x≥－2且x≠－12．如图，四边形ABCD、APQR是两个全等的正方形，CD与PQ相交于点E，若∠BAP=20°，则∠PEC等于（）A．60° B．65° C．70° D．75°第2题图第4题图3．已知，则x的值为（）A．±1 B．－1、2C．1、2D．0、－1大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼，图中线段OA、OB分别大致表示大明在运行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC能大致表示大明在停止运行（即静止）的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（）A．B．C．D．5．若关于x的分式方程有解，则必须满足条件（）A．m≠n B．m≠－n C．np≠－mq D．p≠－q，m≠n6．如图，在△ABC中，有一点P在AC边上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A．8 B．8.8 C．9.8 D．107．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）A．40 B．25 C．26 D．36第6题图第7题图第8题图第10题图如图，点P、Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，当△PBQ为直角三角形时，运动时间为（）A．秒B．秒或秒C．秒D．秒或秒有一种近似半圆球形状的隔热钢碗，每个钢碗的内部半径都是5厘米，厚度都是均匀的0.5厘米，如图①所示，常见钢碗叠放的方式如图②所示．某学校食堂现在要设计一批柜子存放这样的碗，如果要确保每个柜子的正面每竖条都放6个碗，如图③所示，那么柜子的内部高度至少是（）A．16厘米B．17厘米C．18厘米D．19厘米图①图②图③10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为（）A．B．（3，3） C．D．填空题（每小题5分，共30分）11．若整数m满足条件=m+1且m＜，则m的值是____________．12．若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则一次函数y=ax+c的图象不可能经过第_______象限．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位．那么i1=i，i2=－1，i3=－i，i4=1，i5=i，i6=－1…，那么i2015＝_____________．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C点作CF∥AB，连接AF与BC相交于点G，若GF=2AC，则∠BAG=_____________．15．已知ax+by=3，ay－bx=5，则（a2+b2）（x2+y2）的值为_____________．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，则PM的长为_____________．解答题（共5小题，共50分）17．已知a=+1，b=－1，求－（）的值．（8分）18．求证：817－279－913能被45整除．（9分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，点H在AB上，且∠EHF=90°，求证：CH⊥AB．（10分）受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/斤•千米）甲养殖场2000.012乙养殖场1400.015（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（5分）（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y=2x－折叠，使点B落在点C处．（1）点C的坐标为______________；（3分）（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（4分）（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（6分）

八年级B卷答案选择题（每小题4分，共40分）C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D9.B10.D5.由分式方程解得x=，由原分式方程有解，得n－2x=≠0．解得m≠n，p=－q．AP+BP+CP=BP+AC，当BP⊥AC时，AP+BP+CP的值最小，作AD⊥BC，AD=，S△ABC==，∴BP=4.8，即AP+BP+CP的最小值为5+4.8=9.8．设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab+a（b－a）=24①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b－a）2=a2－3②，将①②联立解方程组可得：a=4，b=5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25．设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4－t）cm，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4－t=2t，t=，当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4－t），t=，∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．9.如图，CO2=5，CO1=5.5，则O1O2=，六个碗叠放的总高度是5×+5.5=+5.5，∵112=121，11.52=132.25，则112＜131.25＜11.52，11＜＜11.5，∴16.5＜+5.5＜17，因此高度至少是17厘米．10.过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴设AD=a，BD=2a，∵P（1，1），∴BN=2a－1，则2a－1=1，a=1，即BD=2．∵直线y=x，∴AB=OB=3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=－，即直线CD的解析式是y=－x+3，即解得：，即Q的坐标是．填空题（每小题5分，共30分）11.0或－112.三13.－i14.26°15.3416.∵=m+1，∴m+1≥0，即m≥－1，又∵m＜＜1，∴－1≤m＜1且为整数，∴m=0或－1．∵实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴一次函数y=ax+c的图象经过第一、二、四象限，不可能经过第三象限．根据题意得：i2015=i2014•i＝（i2）1007•i＝－i．如图，取FG的中点E，连接EC．∵FC∥AB，∴∠GCF=90°，∴EC=FG=AC，∴∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，设∠BAG=x，则∠F=x，∵∠BAC=78°，∴x+2x=78°，∴x=26°，∴∠BAG=26°．由题意得，ax+by=3①，ay－bx=5②，①2得a2x2+b2y2+2abxy=9③，②2得a2y2+b2x2－2abxy=25④，③+④得a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=34，a2（x2+y2）+b2（x2+y2）=34，∴(a2+b2)(x2+y2)=34．16.作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连P1P2与OA交于点M、与OB交于点N，连PM、PN，则此时△PMN的周长可取最小值．∵∠AOB=30°，由对称性可知∠AOP1=∠AOP，∠BOP2=∠BOP，故∠P1OP2=2∠AOB=60°，又OP1=OP=OP2=6，∴△P1OP2为等边三角形．易证得△P1OM≌△POM则MP1=MP，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，则∠3=2x，又OP平分∠AOB，则在等边△P1OP2中OP也为角平分线，故OP⊥P1P2，∴∠MPO=90°－2x，∠OPP1=75°，∴90°－2x+x=75°，解得x=15°，∴∠3=30°，在Rt△PMG中，设PG=m，则PM=2m，MG=，∴P1P2=4MG=4，故4=6，m=，PM=．解答题（共5小题，共50分）17.解：∵a=+1，b=－1，∴ab=（+1）（－1）=1，a－b=+1－+1=2，∴－（）=1－（）=1－（）=1－（）=1－（a－b）=1－2=－1．18.证明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×