2024-2025学年江苏省连云港市高一上册开学摸底考数学检测试题合集2套（含解析）

2024-2025学年江苏省连云港市高一上学期开学摸底考数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．已知或，，则＝（

）A． B． C． D．2．设集合，，则（

）．A． B．C． D．x−1≤x≤33．若集合，，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（

）A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．至少有一个实数，使5．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，6．已知，，且恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．牛顿冷却定律（Newton'slawofcooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（

）A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟8．已知为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（）A． B．C． D．10．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（

）A．若且，则A=∅B．若且，则C．若且，则D．存在，使得11．下列说法不正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．若，则的最大值为2C．若不等式的解集为，则必有D．命题“，使得．”的否定为“，使得．”12．已知，且，则（

）A．的最小值是 B．最小值为C．的最大值是 D．的最小值是三、填空题（本大题共4小题）13．设A,是非空集合，定义且.已知，，则.14．已知集合，，若，则实数的取值范围是．15．已知，则．16．设，则的最大值为.四、解答题（本大题共6小题）17．设集合，；(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．18．已知集合，，全集.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.19．（1）已知，计算和的值；（2）已知，，求的值．20．（1）设，求的值；（2）已知，且，求的值．21．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.22．设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．(1)当时，若，，求和的值；(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；(3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得．

答案1．【正确答案】D【详解】因为或，，所以，故选D.2．【正确答案】D【详解】集合，，则，故选D.3．【正确答案】D【详解】因为集合，，且，当时，则，解得；当时，则，解得.综上所述，的取值范围是.故选D.4．【正确答案】A【详解】对于A，A是特称命题，其否定为，，即为真命题，A正确；对于B，B是全称命题，其否定为特称命题，故B排除；对于C，C是特称命题，其否定为，，即为假命题，C错误；对于D，D是特称命题，其否定为任意实数x，都有，代入不成立，为假命题，D错误.故选A．5．【正确答案】D【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选D.6．【正确答案】B【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解.【详解】设，则，解得，则，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2，又因为对，，且恒成立，所以，故选B.7．【正确答案】C【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可．【详解】依题意，得，化简得，解得.设这块面包总共经过分钟，温度降为30°，则，化简得，解得，故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°，故选C.8．【正确答案】C【详解】因为，则，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选C.9．【正确答案】ABC【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.【详解】当，，，时，满足，此时，不是的子集，所以A、B不一定成立；，，所以C不一定成立；对于D，若，则，但，因为，所以，于是，所以，同理若，则，，因此，成立，所以D成立.故选ABC.10．【正确答案】AB【分析】根据集合的新定义，结合选项以及集合交并补的性质逐一判断即可．【详解】对于，因为，所以，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即正确；对于，因为，所以，即与是相同的，所以，B正确；对于，因为，所以，所以，即错误；对于，由于,而，故，即错误．故选AB．11．【正确答案】ABD【分析】对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：根据不等式运算求解；对于C：根据分类讨论a的符号，结合一元二次不等式分析判断；对于D：根据特称命题的否定是全称命题分析判断.【详解】对于选项A：例如，则，即，满足题意，但，即充分性不成立；例如，则，即，满足题意，但，即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B：若，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故B错误；对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确；对于选项D：命题“，使得．”的否定为“，使得”，故D错误.故选ABD.12．【正确答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到A选项；二元换一元，代入，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D选项.【详解】对于A项，因为，且，所以，即时，等号成立，即的最大值是，故A错误；对于B项，因为，所以，，所以，故B正确；对于C项，因为，且，所以，即当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D项，因为，即时，等号成立，所以的最小值是，故D错误．故选BC．13．【正确答案】或【详解】∵A,是非空集合，且，而，，∴，，故或.14．【正确答案】【详解】由，可得，由于，且，则，所以，则实数的取值范围是，故15．【正确答案】5【分析】设，再用表达求解即可.【详解】设，则，，，故.故516．【正确答案】2【详解】设，则，，当且仅当，时，等号成立，故.令，解得，，所以，当，时，等号成立.故2.17．【正确答案】(1);(2)【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论：当时，，解得，满足题意；当时，因为，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：当时，，解得，满足题意；当时，因为，所以，解得，或无解,综上所述，实数的取值范围为．【方法总结】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系,若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合与不等式有关,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.18．【正确答案】(1);(2)【详解】（1）当时，集合，则或，所以.（2）若“”是“”的必要条件，则，因为，则，可知，可得，解得，所以实数的取值范围为.【方法总结】充分必要条件和对应集合的关系可根据如下规则转化:(1)若p是q的必要不充分条件,则q对应集合是p对应集合的真子集;(2)若p是q的充分不必要条件,则p对应集合是q对应集合的真子集;(3)若p是q的充要条件,则p对应集合与q对应集合相等;(4)若p是q的既不充分也不必要条件,则q对应集合与p对应集合互不包含.19．【正确答案】（1），；（2）.【详解】解：（1）∵，∴；．（2）（方法一）．（方法二）.20．【正确答案】（1）1；（2）【详解】（1）因为，则，则,所以；（2）因为，则，，可得，，则．由题意可得，则，且，所以．21．【正确答案】(1)；(2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式；（2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可.【详解】（1）（1）由题意可得，，所以，即.（2）当时，；当时，，对称轴，；当时，由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立，故，综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．22．【正确答案】(1)2，1；(2)最大值为4个；(3)证明见解析．【分析】（1）直接根据定义计算；（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明；（3）设，，，，则且，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可．【详解】（1）因为，所以，．（2）设，令其中()则，，，则，当，且()时，由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数．若是奇数时，则中等于1的个数为1或3，所以，且．将上述集合中的元素分成如下四组：经检验，每组中两个元素，均有，所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素．所以集合中元素的个数不超过4个．当且时，或，所以又集合满足条件．所以集合中元素个数最大值为4个．（3）设，，，则且，从集合中任取个两两互不相同的元素，若存在两个不同元素同时属于一个，则，记，所以，存在，使得；若任意两个不同元素都不同时属于一个，则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾．综上，存在，使得．2024-2025学年江苏省连云港市高一上学期开学摸底考数学检测试题（二）一、填空题（本大题满分54分，其中第1-6题每题满分4分，第7-12题每题满分5分）1．用符号“”或“”填空：.2．不列各对象的全体不能构成集合的有.（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点.3．已知全集，集合，则.4．已知集合，若，则实数．5．已知方程有两个实数根和，则.6．集合，则.（用“”或“”连接）7．已知集合，，则.8．计算.9．用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合.10．已知集合满足，则满足条件的集合的个数为.11．已知集合有且仅有两个子集，则实数.12．设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．二、选择题（本大题满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）13．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形14．设集合，，则（

）A． B．C． D．15．下列结论正确的是（）A．任何一个集合至少有两个子集B．空集是任何集合的真子集C．若且，则D．若且，则16．设集合，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．已知，.(1)求实数的取值范围；(2)当时，求实数的值.18．已知，.(1)若，求；(2)若且，求的值.19．已知方程，当取何值时；(1)方程有两个不相等的实数根？(2)方程有一个实数根？20．已知集合，，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.21．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.(1)判断是否正确，并说明理由；(2)证明：若，，则；(3)证明：若，则.1．【分析】根据元素与集合的关系求解．【详解】不是自然数，因此应填，故．2．②【分析】根据集合的概念判断即可.【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念.故②3．【分析】利用全集和补集的运算即可得出结果.【详解】由全集，集合可得，.故4．【分析】利用元素与集合的关系可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为集合，若，则，解得.故答案为.5．8【分析】利用根与系数的关系求解.【详解】方程有两个实数根和，则有，，所以.故86．【分析】根据元素与集合的关系，若，求出m、n的值，验证是否符合条件即可.【详解】当时，有，满足.所以.故7．【分析】解集合A中函数的定义域和集合B中函数的值域，得到这两个集合，再求交集.【详解】函数有意义，则有，，所以，由，得，所以，则.故8．【分析】把和式中的每个分数裂成两个分数的差，再求和即得.【详解】.9．【分析】根据被7除余3的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解.【详解】由题意，设被除7的商为，余数为3，这个数可表示为，所以设被7除余3的自然数组成的集合为.故10．16【分析】根据已知，只需考虑元素的情况即可．【详解】由已知可得，一定是集合的元素，所以只需要考虑剩余元素出现在集合中的情况即可．又集合的子集个数为，所以所有满足条件的集合的个数是16．故16．11．1或【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，①当时，，满足题意；②当时，，所以，综上所述，或.故1或.12．7根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解.【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，，，，共7个．故7.本题主要考查集合的新定义的应用，其中解答中正确理解新定义，合理转化求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.13．D【分析】由集合元素的互异性可得解.【详解】根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.故选：D.14．B【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，，解得或，所以.故选：B15．C【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解．【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意；B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意；C．若且，则，正确，符合题意；D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意；故选：C．16．B【分析】将两集合结构化为一致即可判断.【详解】，代表所有奇数，代表所有整数所以故选:B17．(1)且(2)【分析】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果；（2）由集合相等构造方程组即可求得.【详解】（1）由并根据集合中元素的互异性可知，即，解得且；所以实数的取值范围为且；（2）当时可得或；当时，解得，当时，无解；所以.18．(1)；(2)1或2.【分析】（1）根据给定条件，结合