《数学结合思想的起源发展及其价值体现研究8100字（论文）》

数学结合思想的起源发展及其价值体现研究TOC\o"1-3"\h\u285611引言 1294931.1研究背景 1247231.2研究意义 157061.3研究价值 119512数学结合思想的起源与发展 262452.1数与形的产生 290152.2古希腊时期的数形结合思想 3186932.3中国古代数学中的数形结合 4193892.4解析几何的创立 5210892.5近现代数学中的数形结合 642223数形结合思想的价值体现 694033.1数形结合在概念定理中的优越性 7282153.2数形结合对微积分的重要作用 8269653.3数形结合为三大几何问题的解决提供了转机 9160043.4数形结合使圆锥曲线的研究有了新进展 107504总结 1123722参考文献 12摘要：数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容以及对数学的认识过程中所提炼的数学观点与方法，而数形结合思想是具有一般性的数学思想,也是数学中最常见和最基本的数学思想方法之一，在数学中具有重要的价值和意义.数形结合思想贯彻于整个数学知识体现中，通过“数”与“形”的紧密结合，将代数式的精确性与几何图形的直观性相结合，使代数问题和几何问题相互渗透、相互转化，为代数问题提供了几何直观，为几何问题提供了精确的证明，具有很高的研究价值.关键词：数学思想；数形结合；方法；价值1引言1.1研究背景社会的发展需要数学，生活中处处离不开数学，数与形无论是在实际生活中还是在数学的研究中，都随处可见.学习数学，除了掌握最基本的数学知识以外，更应该掌握数学知识背后的本质，即数学思想.数学思想在培养能力、提升数学核心素养反面都发挥着重要的作用.数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容以及对数学的认识过程中所提炼的数学观点与方法，而数形结合思想是具有一般性的数学思想,也是数学中最常见和最基本的数学思想方法之一，在数学中具有重要的价值和意义.更有说法是：“数缺形时少直觉，形少数时难入微.”这短短的两句话，从反面道出了数形结合在数学思想中的重要地位.1.2研究意义数形结合思想贯彻于整个数学知识体现中，直觉上，代数与几何似乎互不相干，数形结合却大胆地打破了二者之间的界限，为解决问题提供了极大的便利，具有很高的研究价值.数形结合通过形象来揭示事物的本质，与逻辑思维相辅相成，使数学研究有目的性和方向性，并通过严格的论证与辩证法的有机结合，促进了数学的进阶发展.不得不说，数学根本离不开数与形的结合，数和形两者相互渗透，不可分割.通过“数”与“形”的紧密结合，将代数式的精确性与几何图形的直观性相结合，使代数问题和几何问题相互渗透、互为呼应，从而，抽象和形象完美地融合在一起.1.3研究价值通过数形结合，首先，我们对几何图形的性质进行了更深刻、更广泛的研究，同时，研究对象也更加宽泛，方法也更加通用.其次，它为代数研究提供了几何直观.代数方法在计算方面面展现了其精确性，而几何图形则突显的是直观形象，两者的结合相互促进，从而深化了我们对数量关系与空间形式之间的理解.就好比拉格朗日说的那样，只有当数与形结合成伴侣时，它们才会互相吸取活力.数形结合思想的重要性显而易见，对于数形结合思想的研究自然也很多，但当下的相关研究主要是在中学生用其解决数学问题的情况及教学策略等方面，然而，数形结合思想的价值并不局限于此.本文简单的介绍了数形结合的起源与发展，主要从数形结合在概念定理中所具有的优越性、在微积分这个数学分支中的重要性、在三大几何问题以及圆锥曲线的研究中发挥的重要作用四个方面来论述数形结合思想的价值意义.希望由此能够引起大家对数形结合思想的重视.2数学结合思想的起源与发展2.1数与形的产生人类很早就已然具备了区分事物多与少的技能，原始的对数的知觉到真正“数”概念的形成，是极缓慢的过程[1].在后来，人类从对生活中事物的观察和思考发现了：一棵树，一条鱼，一个太阳等一系列物体间，似乎存在着某些共通点，这样一来，“数”产生了.这就是“数”与“形”相结合最早的无意识表征[2].远古人类对数的领会是不断进步的，他们为了更好的表达事物在“数”方面的数学，于是便产生了“记数”，如利用石子、绳结、刻痕等记数方法，都是人类早期时候的记数方式.数的概念产生之后，“形”是被用来呈现“数”的第一个工具.在古代的形形色色的记数方法中，抽象的数都是以具体的图形来展现的（如图1），而历史最长的一种记数工具当属中国的算盘.而几何知识最开始是根据人们对形的直觉萌生出来的，这与数的产生差不多.那时，人们最初是从自然环境中抽象出几何形式，比如圆月，并且通过器皿制作、建筑设计以及绘画装饰等加以再现.这一时期人类的认识能力有局限，数和形的最初结合是无意识的，其根本原因是人们尚且还无法区别二者[3].图1用图形表示数2.2古希腊时期的数形结合思想几何学发展的繁荣时期是在古希腊时期，在长期的生产生活实践中，古巴比伦人和古埃及人获得了大量且直观的几何知识，之后古希腊又将其引入，在这一时期，有两大著名的数学学派，他们是当时数学的代表，为几何学的进步与发展做出了巨大的贡献.其中之一就是信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯学派，他们以算术为基础，为几何学的发展确立了根基，使数与形的结合得以发展，促使古希腊数学向前进步.毕达哥拉斯学派强调了数学上数和图形并不同于实际事物与形象[4].他们还对数进行了广泛的研究，比如“完全数”、“亲和数”、“形数”等.例如，三角形数1,3,6,10图2三角形数正方形数1,4,9,16图3正方形数五边形数1,5,12,22图4五边形数用公式表示为：；；.更大胆的说法是“万物皆数”，毕达哥拉斯学派信奉“万事万物均可归结为整数或整数之比[5]”.他们之所以把一切事物的根本看作是数，原因是他们努力尝试将几何建立在算术的前提上.毕达哥拉斯相信，任何数量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量），这是他们对“数”狭隘的认识，当不可公度线段被发现时，一切的几何基础倒塌.欧几里得是希腊论证几何学的集大成者，他的《几何原本》为几何学的发展奠定了基础，他从几何的角度钻研代数问题，通常认为，一切代数问题均可从几何的角度进行思考，实际上，这也体现了毕达哥拉斯学派不认可无理数的存在.他们用线段描述数：线段的延伸是数的和，一线段割去另一线段的长度是两数之差，两数为边长的矩形面积表示数的乘积[2].在对“形”的研究中，数也得到了发展，其中，较为经典的例子就是无理数的发现.可惜的是，那时候的古希腊人根本接受不了无理数的概念，最后就导致了他们把代数与几何看成是两门完全不相干的学科.2.3中国古代数学中的数形结合在历史上，中国数学中数形结合的印迹随处可见.算筹和算盘是早期历史最长的计算工具，可以看成是“数形结合”最初的形式.《周髀算经》是我国最早的数学著作之一，其中记载了：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”另外，《九章算术》在“商功”这一章中叙述的关于体积的内容，实际上已经孕育着几何代数化方法.我国数学家刘徽也在他的《九章算术注》中主张“析理以辞，解体用图”.数形结合的有利之处就在中国古代数学的发展中充分显现了，它在推动中国古代数学发展的同时，也让现代数学的发展有了可借鉴之处，可见其在数学发展中的巨大贡献.而在古代的数学研究中，最能体现数形结合的例子之一就是刘徽和杨辉对“三角形面积公式”的推导.《九章算术》呈现了刘徽对三角形面积公式的推导方法，具体描述为：“半广以乘正从.半广知，以盈补虚为直田也.亦可半正从以乘广.”[2]实际上，我们如今运用的三角形面积公式与刘徽的推导方法得出的结论的说法是一样的，那个时期的中国古代数学家将数与形相结合用以解决数学问题，他们的思考促进了三角形面积公式结论的产生，这也直接体现出中国古代就已经在运用数形结合思想了.具体分析如下（如图5所示）.图5刘徽对三角形面积公式的推导之后，杨辉更深层次地研究了刘徽对三角面积公式的推导方法，其结论收录在《田亩比类乘除捷法》中.其中记载的：“广步可以折半者，用半广以乘正从，从补可以折半者，用半从步乘广.广从皆不可折半者，用步从相乘折半.”[2].这一结跟现今所用公式一模一样，他的结论可以用字母阐述如下：；；.刘徽和杨辉的方法是“以盈补虚”，进而得出三角面积公式，它的推导过程是我国古代数学中数与形完美结合的经典例子，毋庸置疑，这也渗透出了数形结合思想.2.4解析几何的创立17世纪以后，随着社会生产的进一步发展和需要，圆锥曲线的研究也应运而生，解析几何由此诞生.回看解析几何的发明就要归功于两位法国的笛卡尔与费马，他们对解析几何的创建作出了极大的贡献.笛卡尔和费马结束了古希腊人对代数与图形结合上狭隘认知，他们将数与形相结合统一了起来.依据笛卡尔的《几何》可以知道，他创立解析几何的核心就是为了转化几何学的问题为代数形式的问题，简单的说就是从运动轨迹（形）出发寻找它所满足的方程（数），而费马则相反，他是从方程（数）出发研究曲线（形），对比两人的思维路径，他们研究解析几何基本原理的方向几乎是东趋西步.“解析几何的创立使得代数与分析中的许多事实可用几何来表现，几何上的一些考虑又可帮助解决代数与分析的问题”[6].2.5近现代数学中的数形结合从解析几何创立以后，数与形之间就不再有那么明显的界限了.尤其是在18世纪之后，我们牵强地把“数”与“形”理解为单侧重于“数”与单侧重于“形”的研究学科[7].但解析几何从一开始就不仅限于对“形”的研究，故此它从诞生开始便不能说是完全意义上的几何学.此后，代数与几何几乎是相互渗透发展，难以分割，而数与形在局部相关领域联系也更加紧密，“数”可以作为研究的工具，并从新的角度看待问题，而“形”提供的是研究对象和思考工具，数形结合思想也充分融入到了数学的发展当中.就近现代来看，“数”使研究更加深入与抽象，但也有某些领域使研究的对象与“形”之间的联系渐行渐远.由于数学分支的不断壮大，整个数学领域中交叉的学科也愈来愈多，现在已经很难阐述“数”与“形”的具体含义，同时，备受数学家们“宠爱”的“结合”、“联系”不再局限于“数”与“形”，在他们看来，从不同角度出发的数学方法与数学思想之间的相互渗透反而更具有价值.现代数学工具大都兼备了“数”和“形”双重特征，“数形结合”已完全地、彻底地熔融到数学的发展中[8].3数形结合思想的价值体现数形结合思想是中学数学中常见的数学思想之一，它在数学学习中具有重要的价值.数学主要研究的两类对象就是数与形，数是数学知识的抽象性，形是数学知识的直观性.数形结合是联结数与形的桥梁，在解决问题时，需要逻辑时用“数”，需要直观时用“形”，二者互为支撑，可化抽象为直观，化形象为逻辑，达到解决问题的最终目的.因此，掌握数形结合思想是很有必要的.3.1数形结合在概念定理中的优越性数形结合思想的优越性就在于，几何对象、几何概念、几何目标、几何图象都可以直接或间接地以代数方法进行表达；反之，数形结合思想使代数语言得到了几何解释，这使得代数语言直观而生动.比如毕达哥拉斯学派对完全平方公式的证明，具体的证明过程如下（如图6所示）：图6完全平方公式的证明正方形的边为，割分为四个矩形，其中两个小正方形的边长各为，，以为边的大正方形的面积等于其余四个矩形面积的和，即，整理就得到完全平方式：.图6完全平方公式的证明又如我国古代科学家赵爽对勾股定理的证明：如图7，四个全等直角三角形拼成一个正方形，三角形的两直角边为、，斜边为，易知，大正方形与小正方形的边长分别为和.四个三角形的面积之和为，大正方形和小正方形的面积分别为和.显然，，所以，故，勾股定理成立.图7赵爽弦图图82002年世界数学家大会会徽赵爽根据他绘制的图形，运用数形结合证明了勾股定理，这使我国数学的发展又向前迈进了一步.2002年，世界数学家大会在我国北京举办，大会的会徽就是赵爽的“勾股弦图”（如图8所示），再一次把我们的民族骄傲展现在世界的面前.上述例子说明，从古至今，数形结合彼此间的联系紧密相关.代数与几何间的界限已然愈加模糊，在解决部分问题时，二者几乎合为一体，数形结合思想对于理解数学概念、证明数学定理的优越性不言而喻.3.2数形结合对微积分的重要作用由恩格斯编撰的《自然辩证法》中提到，17世纪人类理性精神的最高代表是微积分的创立，可以说它的产生同解析几何的贡献密不可分.在17世纪上半叶时期，数学家们已经积累了大量微积分的知识和方法，如开普勒对求旋转体体积方法的发现；卡瓦列里对不可分量原理的建立，这个原理后称“卡瓦列里原理”；笛卡尔对“圆法”的提出；费马对求极大值、极小值的代数方法的提出；巴罗对曲线切线进行“微分三角法”的求解，这个方法也叫“特征三角法”，以及沃利斯的“无穷算法”等，这些努力都对促进微积分的产生起到了积极作用，而解析几何的出现是微积分创立的稳固底座.解析几何在17世纪被笛卡尔所创立，坐标系中点与数的对应由此建立，为利用数形结合思想研究微积分打下了基础[9].实际上，微积分学中不少问题都是建立数与形的联系，将其合为一体，从而以达到解决问题的目的，其主要体现在两方面：一是形象化代数问题，即根据数量特征，构造出相应的几何图形；二是具体化几何问题，也就是将图像信息转化为数学符号的表达.更具体的说，大多数微积分的概念和定理中都深嵌了数形结合.如：函数在区间上连续表示它的图像在这个区间上是一个连贯的曲线；定积分表示曲边梯形的面积代数和.解析几何融合了几何与代数，在数学中引入了不定量，为微积分的创立提供了可能性[10].解析几何的出现，促使微积分向前进步.3.3数形结合为三大几何问题的解决提供了转机古希腊是几何学的故乡，而古希腊时期的三大几何难题困扰了数学研究者们两千多年，之后才逐步得以解决.古希腊三大著名几何问题是：（1）化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形；（2）倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；（3）三等分角，即分任意角为三等分[1].三大几何问题的起源涉及一些古老的传说，如由埃拉托塞尼记载的两个关于倍立方体问题的神话故事，一是神话中的米诺斯王命令将其坟墓扩大一倍；二是瘟疫袭击提洛岛，一个先知者说必须将立方体的祭坛的体积加倍，瘟疫方可停息[11].这类问题当时就引起了众多数学爱好者的关注，他们对这类问题的研究几乎风靡一时.解决三大几何问题的难点在于古希腊人限制了作图工具，而古希腊人要求几何作图只能使用没有刻度的直尺和圆规（称为尺规作图法），致使这三大几何问题看似简单，而实际操作起来却很难，令数学家们百思不得其解.这三个看起来不复杂的几何作图问题困扰了数学家们一千多年，而一代代数学家贡献力无限时间与精力，都没有找到正确的方法.许多古希腊学者都为解决这三个问题作了大量的工作，如今看来，尽管他们最终没能解决这三大几何问题，但他们在试图解决这三个问题的过程中的探究引出了许多重要的发现，这些发现对整个希腊数学的意义深远.有些人在解决问题的过程中善于变通，富有技巧的添加了一些条件，例如阿基米德在直尺上固定标出两个点，从而解决了三等分角的问题.此外，数学家们在这些基础上摸索并且由此发现了一些从未出现过的新问题，还得出了一些新的数学理论.例如，柏拉图的学生梅内劳斯为了解决倍立方体问题发现了圆锥曲线；在三等分任意角的求解过程中，对高等几何有了新发现，如尼科梅德斯的蚌线、阿基米德的螺线等.解析几何是一直到1637年才被法国数学家笛卡尔所创立的，其中，运用了代数方法来研究几何问题，这为解决这三大几何难题提供了新的转机.其中，笛卡尔在1637年首次提出尺规作图无法解决立方倍积问题.解析几何诞生后，代数方程与几何曲线的联系就更为紧密，这促使人们对尺规作图问题的可能性有了更加深入的认识，由此得出：一个几何量能否仅用直尺、圆规作出，等同于它是否可以通过已知量经过有限次基本的四则运算以及开方来获得.直到解析几何创立之后的19世纪，三大几何作图问题才得以真正解决.1837年，法国的旺泽尔经过努力，用方程的形式证明了倍立方体和三等分角问题只用尺规作图是无法实现的.1882年，德国数学家林德曼证明了的超越性，从而证实了利用尺规化圆为方同样不可实现.至此，古希腊三大几何问题才得以全部解决.事实上，三大几何问题的解决过程中存在着解析几何的影子，可见，解析几何在三大作图问题中的作用是不可替代的.3.4数形结合使圆锥曲线的研究有了新进展关于圆锥曲线的起源，古希腊几何学家梅内劳斯认为，提出圆锥曲线是为了解决三大几何问题中的“倍立方体”问题.圆锥曲线的出现掀起了一阵古希腊数学家们的研究热潮，而他们的研究为圆锥曲线的发展积累了大量的素材.其中，对圆锥曲线的研究作出最大贡献的则是阿波罗尼奥斯，一直到晚年时期，他才在自己研究成果的基础上，思考并总结了前人在圆锥曲线上的研究成果，撰成了《圆锥曲线论》.《圆锥曲线论》是学习或研究圆锥曲线的必读经典，它是古希腊几何的象征，但这本书晦涩难懂，阻碍了希腊数学的发展.自此以后很长时间，圆锥曲线的研究再也无法达到古希腊时期那样的盛况，希腊几何也再没有实质性的进步.17世纪初期，费马和笛卡尔创立了解析几何，圆锥曲线的研究从此进入新纪元[12].在这一时期，数学家们运用解析的方法从代数的层面，探讨圆锥曲线的各种性质，与此同时，大量有关圆锥曲线的著作纷纷涌现，其中一部分成为了当时奉为经典的教材，其中对椭圆定义的方式多种多样，对其方程的推导即便是对现在也有极大的影响.1655年，英国数学家、物理学家沃利斯为了解释阿波罗尼奥斯的结论，他在撰写的《论圆锥曲线》一书中将几何条件转化为代数条件，首次得到了圆锥曲线的解析方程.显然，解析几何的引入，巧妙的将晦涩难懂的圆锥曲线问题转化得易懂，同时，也促使圆锥曲线的研究有了新进展.19世纪以来，解析几何的内容发展得尤为丰富，就圆锥曲线来看，不仅理论发展上达到了极高点，在实际中也有其必不可少的妙用[12].4总结所谓数形结合，就是把问题中的“数”和能与之相联系的“形”相互结合，从而简化问题结果，达到解决问题的目的，或者说是把“数”或“形”转化为研究者或大众更能理解的形式，让复杂、抽象的内容转化成直观、形象的内容.作为中学数学中必不可少的简化思想，数形结合思想在数学教学中的地位显而易见.首先，在数学概念定理的教学中，数形结合有着优越性，学生要实实在在地弄懂数学必须从了解数学的概念定理开始，而数形结合正好可以作为梳理概念定理的工具，简化抽象难懂的文字描述.有时候在数学概念的教学中，如果有概论定理的几何意义作为辅助，那么学生就更能抓住概念定理的本质.因此，教师在教学中用好数形结合思想对学生数学思维的培养有着不可小觑的巨大力量.其次，数形结合对微积分有着重要作用.解析几何的创立为利用数形结合思想研究微积分打下了基础