2025年上海市虹口区中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么∠B的正切值为（）A．35 B．34 C．453．（4分）已知非零向量a→、b→和A．a→=2b→ B．a→=2c→，24．（4分）已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y25．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论中，正确的是（）A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞06．（4分）如图，已知AB∥CD，联结AD、BC交于点O，联结AC，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，CD＝6，那么CO长为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a是线段b、c的比例中项，b＝2cm，c＝8cm，那么a＝cm．8．（4分）计算：2a→+3（b→9．（4分）已知y=2xm2+2是二次函数，那么10．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+3与y轴的交点坐标是．11．（4分）如果抛物线y＝（m﹣2）x2﹣2有最高点，那么m的取值范围是．12．（4分）已知抛物线在y轴右侧的部分是下降的，且经过（0，1），请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是．13．（4分）如图，直线AD∥EB∥FC，如果DE＝2EF，AC＝9，那么AB长是．14．（4分）已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC和△A′B′C′的最长边分别是5和10，如果△ABC的面积是6，那么△A′B′C′的面积是．15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结BE、DE，如果BD＝2AD，DE∥BC，AB→=a→，AC→=b16．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面积是．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，tanC＝2，D是AC上的动点，将△BCD沿BD翻折，如果点C落到△ABD内（不包括边），那么CD的取值范围是．18．（4分）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在△ABC中，AB＝10，tanB=43，tanC＝2，点D、E分别在边AB、AC上，如果线段DE是△ABC的“重似线段”，那么DE＝三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan45°tan60°−2sin30°20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2mx+m+1经过点B（﹣1，0）．（1）求m的值以及抛物线的对称轴；（2）将该抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求n的值．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝5，sinB=35，点D、E在BC的延长线上，联结AD、AE，且AD＝（1）求tan∠ADC的值；（2）如果∠E＝∠BAC，求DE的长．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AC上，过点D作DE垂直AC交AB于点E，联结EC、BD交于点F．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）如果BC＝BE，求证：1223．（12分）根据以下素材，完成任务．探究淋浴喷头的位置素材1图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段AB为手柄，射线BC为水流，BC与AB的夹角∠ABC为90°，手柄AB与墙EH的夹角∠HAB为淋浴喷头的“调整角”，记为α．已知AB长为20cm．素材2图3中的矩形EFGH是淋浴房的截面图，EF＝90cm，EH＝195cm．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在D处，DE＝52cm．素材3我们把人竖直站立时，头顶以下30cm处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减30cm．已知小明的身高是130cm，他爸爸和妈妈的身高分别是176cm和160cm．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图3的点A处，“调整角”α为37°，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处（即CD＝爸爸身高﹣30）．素材4参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈问题解决任务一求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点A到地面的距离AE．任务二爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即AE不变），把淋浴喷头的“调整角”α调整至60°，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点A′）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离AA′（精确到1cm）．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，联结AC，tan∠CAO＝3，抛物线的顶点为点D．（1）求b的值和点D的坐标；（2）点P是抛物线上一点（不与点B重合），点P关于x轴的对称点恰好在直线BC上．①求点P的坐标；②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结BM，如果∠MBP＝∠ABD，求点M的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，CD＝2，E是CD的中点，AC、BE交于点F，且∠ACD＝2∠EBC．（1）求证：CE＝CF；（2）如果BC＝2AD，求tan∠ABC的值；（3）如果∠ABE＝∠ACB，求ADBC

一．选择题（共6小题）题号123456答案BDCABC一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．【答案】B【解答】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；B、两个正方形一定相似，符合题意；C、两个三角形不一定相似，不符合题意；D、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意，故选：B．2．【答案】D【解答】解：∵在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC=5则∠B的正切值为ACBC故选：D．3．【答案】C【解答】解：不能判定a→∥b→的是选项故选：C．4．【答案】A【解答】解：抛物线y＝（x+2）2图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，（﹣3，y1）距离对称轴1个单位长度，（0，y2）距离对称轴2个单位长度；（1，y3）距离对称轴3个单位长度，根据开口向上，距离对称轴越远，函数值越大可得：y1＜y2＜y3．故选：A．5．【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0，故A选项错误，不符合题意；∵−b∴b2a∴b＜0，故B选项正确，符合题意；∵抛物线的图象与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故C选项错误，不符合题意；根据函数图象，当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故D选项错误，不符合题意，故选：B．6．【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2，CD＝6，∴△AOB∽△DOC，∴BOCO∴CO＝3BO，∴CB＝BO+3BO＝4BO，∵∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠B，∴△ACB∽△OAB，∴CBAB∴CB•BO＝AB2＝22＝4，∴4BO2＝4，解得BO＝1或BO＝﹣1（不符合题意，舍去），∴CO＝3，故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【答案】4．【解答】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，b＝2cm，c＝8cm，∴a2＝bc＝2×8＝16，∴a＝4（负值舍去），∴a＝4cm．故答案为：4．8．【答案】3b→【解答】解：2a→+3（＝2a→+3b＝3b→故答案为：3b→9．【答案】0．【解答】解：根据已知，得m2+2＝2，解得：m＝0．故答案为：0．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：令x＝0，得y＝4，故与y轴的交点坐标是：（0，4）．故答案为：（0，4）．11．【答案】m＜2．【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣2）x2﹣2有最高点，∴抛物线图象的开口向下，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故答案为：m＜2．12．【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：由抛物线在y轴右侧的部分是下降的可知对称轴可确定为y轴，即b＝0，∴图象开口向下，取a＝﹣1，抛物线解析式为y＝﹣x2+c，把（0，1）代入，得c＝1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+1．本题答案不唯一．故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD∥EB∥FC，∴DEDF∵DE＝2EF，AC＝9，∴ABAC∴AB＝6，故答案为：6．14．【答案】24．【解答】解：由题意得：S△ABCS△A′B′C′=（510）2=所以△A′B′C′的面积是＝24，故答案为：24．15．【答案】−a【解答】解：∵BD＝2AD，AB→∴BD→∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC又∵BC→∴DE→∴BE→故答案为：−a16．【答案】36．【解答】解：由题意设D（m，2m），∵点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣3上，∴2m＝m2﹣3，解得m＝3，m＝﹣19（舍去），∴D（3，6），∴正方形ABCD的边长为6，∴正方形ABCD的面积为36．故答案为：36．17．【答案】1＜CD＜5【解答】解：∵∠ABC＝90°，tanC＝2，∴AB＝2BC，∵AC＝5，∴AB2+BC2＝5，∴AB＝25，BC=5设C的对应点为C'，当C'在AC上时，如图：∵将△BCD沿BD翻折，∴∠BDC＝∠BDC'＝90°，∴tanC=BDCD=2，即BD∵BD2+CD2＝BC2，∴（2CD）2+CD2＝5，∴CD＝1；当C'在AB上时，过D作DH⊥AB于H，如图：∵将△BCD沿BD翻折，∴BC＝BC'=5，∠CBD＝∠C'BD=12∠ABC＝45°，CD＝C'D，∠C＝∠BC∴△BDH是等腰直角三角形，tan∠BC'D＝2，∴BH＝DH，DH＝2C'H，设C'H＝x，则DH＝BH＝2x，∵C'H+BH＝BC'=5∴x+2x=5解得x=5∴C'H=53，DH∴C'D=C′∴CD=5∵C'落到△ABD内（不包括边），∴1＜CD＜5故答案为：1＜CD＜518．【答案】203或5【解答】解：如图，作AG⊥BC于G，AB＝10，tanB=43，tan∴AGBG=4∴AG＝8，BG＝6，CG＝4，∴BG＝6+4＝10，AC=8作△ABC的中线AF，Q为△ABC的重心，∴AQAF∵线段DE是△ABC的“重似线段”，∴当△ADE∽△ABC时，∴∠ADE＝∠B，ADAB∴DE∥BC，∴ADAB∴AD10∴DE=203，当△AD'E'∽△ACB时，过B作BH⊥AC交AC于H，∴∠AE'D'＝∠ABC，∠AD'E'＝∠C，AE′AB∵BA＝BC＝10，∴∠C＝∠BAC，AH=CH=25∴∠BAC＝∠AD'E'，BH=102−(25∴AE'＝D'E'，∵BQBH∴QH=4∵tan∠AE′D′=tan∠ABC=4∴453E′H∴D′E′=AE′=AH+HE′=25综上：DE=203或故答案为：203或5三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【答案】32【解答】解：原式==3=320．【答案】（1）m＝2，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；（2）n＝3或1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2mx+m+1经过点B（﹣1，0），∴1﹣2m+m+1＝0，解得m＝2，∴抛物线解析式为：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；（2）将抛物线y＝（x+2）2﹣1向右平移n个单位后得到新抛物线为y＝（x+2﹣n）2﹣1，∵新抛物线经过原点，∴（2﹣n）2﹣1＝0，解得n＝3或1．21．【答案】（1）2；（2）9．【解答】解：（1）如图，过点A作AM⊥CD于点M，在Rt△ABM中，AB＝10，sinB=AM∴AM＝6，∴BM=A∵BC＝5，∴CM＝BM﹣BC＝3，∵AD＝AC，AM⊥CD，∴CM＝DM＝3，∴tan∠ADC=AM（2）∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴ABBC∴105∴BE＝20，∴DE＝BE﹣BC﹣CM﹣DM＝20﹣5﹣3﹣3＝9．22．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∴ADAE∴△ADB∽△AEC．（2）∵△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC﹣∠ACE＝∠BFC﹣∠ABD，∴∠BDC＝∠BFC﹣∠ACE，∠BEC＝∠BFC﹣∠ABD，∴∠BDC＝∠BEC，∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCF＝∠BEC，CE2＝BC2+BE2＝2BC2，∴∠BCF＝∠BDC，BC2=12CE∵∠FBC＝∠CBD，∴△FBC∽△CBD，∴BCBD∴BC2＝BF•BD，∴12CE2＝BF•BD23．【答案】（1）点A到地面的距离AE约为160cm；（2）①理由见解答部分；②固定器下降的距离AA′约为10cm．【解答】解：作BN⊥AH于点N，延长DC交BN于点M，则∠ANB＝∠M＝90°，∵爸爸身高是176cm，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处，∴CD＝176﹣30＝146（cm），∵AB＝20cm，α＝37°，∴BN＝20×sin37°≈20×0.60＝12（cm），AN＝AB×cos37°≈20×0.80＝16（cm），∠ABN＝53°，∵DE＝52cm，∠ABC＝90°，∴BM＝40（cm），∠CBM＝37°，∴CM＝40×tan37°≈40×0.75＝30（cm），∴DM＝146+30＝176（cm），∴EN＝176（cm），∴AE＝176﹣16＝160（cm）．答：点A到地面的距离AE约为160cm；（2）①当α＝60°时，∠ABN＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBM＝60°，∵AB＝20cm，∴AN＝10（cm），BN＝103（cm），∴BM＝（52﹣103）（cm），∴CM＝（52﹣103）×3=523−∴CD＝AE+AN﹣CM＝160+10﹣59.96≈110.04（cm），∵小明的身高是130cm，∴小明的舒适距离CD＝130﹣30＝100（cm），∵110.04＞100，∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处；②设点A移动到了点A′，此时在小明的“舒适喷淋点”，∴C′D＝100cm，由题意得：C′M′＝CM≈59.96cm，A′N′＝AN＝10cm，∴A′E＝C′D+C′M′﹣A′N′＝100+59.96﹣10≈150（cm），∴AA′＝AE﹣A′E≈10（cm）．答：固定器下降的距离AA′约为10cm．24．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，点D（1，4）；（2）①点P（﹣2，﹣5）；②点M（−23，【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，3），则OC＝3，∵tan∠CAO＝3，则OA＝1，即点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，则点D（1，4）；（2）①由抛物线的表达式知，点B（3，0），由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点P关于x轴的对称点（m，m2﹣2m﹣3），将点（m，m2﹣2m﹣3）的坐标代入y＝﹣x+3得：m2﹣