德强高中2024-2025学年度下学期开学验收考试答案和解析

第24页，共25页德强高中2024-2025学年度下学期开学验收考试答案一、单选题1．已知集合或，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为集合或，，所以，故选：D2．若复数，则（

）A．10 B．9 C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘法运算律即得.【详解】，所以，故选：A3．若在等差数列中，．则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案【详解】因为，所以,解得,所以等差数列为正数等差数列，所以故选：B4．设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义即可判断.【详解】充分性：若对β内的任意直线l，都有，利用线面垂直的定义可知；又，根据面面垂直的判定定理可知，因此可知充分性成立；必要性：由，，如下图所示：无法确定β内的任意直线l与的关系，因此必要性不成立.即“对β内的任意直线l，都有”是“”的充分不必要条件.故选：A5．设点，分别是双曲线（）的左、右焦点，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用抛物线的方程求得，再利用三角形面积公式求出，即可求渐近线方程.【详解】点,将代入，可得，解得，所以,所以，所以，又因为，所以，则，又因为，所以，所以该双曲线的渐近线方程为，故选:D.6．已知三棱锥的外接球半径为，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别确定三棱锥底面积和高的最大值，根据三棱锥的最大体积列式可求出该三棱锥外接球的半径，再利用球的体积公式求球的体积.【详解】如图：设的外接圆半径为，由.下面简单说明圆内接三角形为等边三角形时，面积最大.当边确定时，要使三角形面积最大，需要点到边距离最大，此时；同理，当确定时，要使三角形面积最大，须有.所以当为等边三角形时，的面积最大，此时.所以的最大面积为：.当三棱锥的高时，三棱锥的体积最大，此时.由.所以三棱锥外接球的体积为：.故选：D【点睛】.7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（

）

A．的图象关于直线对称B．的图象向左平移个单位后得到的图象C．在区间上单调递增D．为偶函数【答案】B【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用余弦型函数的奇偶性可判断D选项.【详解】因为且，则，所以，，因为点为函数的图象在轴右侧的第一个最低点，则，解得，所以，.对于A选项，因为，故函数的图象关于直线对称，A对；对于B选项，的图象向左平移个单位后，可得到函数的图象，且，B错；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，C对；对于D选项，为偶函数，D对.故选：B.8．定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（

）A．B．在取得极小值，极小值为C．只有一个零点D．若在上恒成立，则【答案】B【分析】首先构造函数的导数，并求函数的解析式，得，再利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；由函数的性质，确定函数的图象，即可判断C；利用参变分离，将不等式恒成立，转化为，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最大值.【详解】∵且，可得，则有，故（c为常数），又，则，得，故，，，当，即，解得：，，此时单调递增，当，即，解得，，当，即解得：，，此时单调递减，对于A，由于，单调递增，，单调递减，∵，可得，∵，，∵.故，故A正确：∴，取得极大值，，故B错误；对于C，当，，，，，，画出草图，如图：根据图象可知：只有一个零点，故C正确；对D，要在上恒成立即：在上恒成立，∵，可在上恒成立，只需，令，，当，；单调递增，当时，；单调递减，，；则，即，故D正确；故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数的导数，即可求解函数的解析式.二、多选题9．对于，直线恒过定点P，则（

）A．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是B．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是C．点P的坐标为D．点P的坐标为【答案】BC【分析】直线方程可化为，令可得点，按照圆的标准方程的定义可得以P为圆心，半径为的圆的标准方程，展开即得一般方程【详解】直线可化为：，令，解得，所以直线过定点，即点，所以以P为圆心，半径为的圆的一般方程是，即，故选：BC10．已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（

）A．若，则B．若，，则C．数列可以是等差数列D．数列可以是等比数列【答案】BC【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.【详解】若，当时，，解得，故A错；若，，当时，，解得，当时，，解得，，根据递推关系可知，当为奇数，即时，，故B正确；若，则成立，故数列可以是等差数列，即C正确；若数列是等比数列，假设公比为，则由，得，两式相除得，，即，解得，不符合题意，则假设不成立，故D错.故选：BC11．平面直角坐标系中，抛物线，过的焦点作直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（

）A．以线段为直径的圆与轴相切B．则，则直线的倾斜角为60°C．过线段的中点作轴的垂线，交于点，交的准线于点，则点为线段的中点D．过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则的最小值为2【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义和几何性质及直线与抛物线的位置关系结合韦达定理求解即可.【详解】设，由抛物线的性质，，，所以为直径的圆与轴相切，故A正确；对于B，设直线的倾斜角为，过点作准线于点，过点作准线于点,则，则，同理可得，所以，解得，所以或，故B错误；对于C，设线段的中点，设直线，联立，消去，得，则，，所以，，所以，，，，故C正确；对于D，①当直线的斜率不存在时易得，，所以；②当直线的斜率存在时，设直线，由，得，，，所以，易知直线的方程为，令，得，所以，所以．综上所得，的最小值为2，故D正确.故选：ACD.12．如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则（

）A．当时，存在唯一的点满足B．当时，存在点满足C．当时，满足的点的轨迹长度为D．当时，满足的点轨迹长度为【答案】AC【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A，利用垂直求出可以判断B，求出点P轨迹长度可判定C,D.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建系如图，则，，，设对于选项A，当时，，由得，即，解得，所以存在唯一的点P满足，故A正确；对于选项B，当时，，，设点关于平面的对称点为，则，.所以.故B不正确.对于选项C，当时，，，则，由得.在平面中，建立平面直角坐标系，如图，则的轨迹方程表示的轨迹就是线段，而，故C正确.对于选项D，当时，，，则，由得，即，在平面中，建立平面直角坐标系，如图，记的圆心为，与交于；令，可得，而，所以，其对应的圆弧长度为；根据对称性可知点P轨迹长度为；故D错误.故选：AC.三、填空题13．的内角的对边分别为，若，，的面积为，则.【答案】【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】由，解得，又，所以故答案为：14．等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则．【答案】2【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值．【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，则由题意可得，且．，．又由等比数列的性质可得，．故答案为：2．15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为.【答案】【解析】取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可.【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，所以，又，解得所以截口所在椭圆的离心率为故答案为：【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求的值，由直接求；（2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．16．已知函数，其中存在三个零点，且，给出下列4个结论：①；②；③的取值范围为；④若成等差数列，则；则所有正确的结论的序号为.【答案】①②④【分析】将转化为，再根据的图象，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.【详解】由得，即，即，令，则为直线a和函数图象的交点的横坐标；的定义域为，且，故为奇函数；又当时，，，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；故在时取得极大值，且，，作的图象如下所示：对①②：数形结合可知，，故，故①正确，②正确；对③：若使得与有个交点，则，解得，故③错误；对④：若成等差数列，则，即，即，即，又，，则，即，，也即，又，故，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：处理本题的关键一是能够将函数的零点转化为图象交点的横坐标，从而数形结合解决问题；二是能够熟练应用导数处理函数单调性和最值的问题；属综合困难题.四、解答题17．求下列函数的导数．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得；（2）根据导数的运算法则计算可得.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以.18．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.

(1)证明：；(2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据题意可证平面，结合线面垂直的性质分析证明；（2）根据体积关系可得，利用等体积法可得到平面的距离为，再根据线面夹角的定义分析求解.【详解】（1）因为，，平面，可得平面，且平面，所以.（2）因为，，则，由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为，则三棱锥的体积，解得，设到平面的距离为，则，因为，则，解得，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.19．已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点.(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)求的面积.【答案】(1)；(2)36【分析】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可；（2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可；【详解】（1）由题意可得，解得，所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为.（2）由（1）可得，所以直线的方程为，设，联立，消去可得，则，，，所以，所以的面积为36.20．已知正项数列的前n项和为．(1)求数列的前n项和；(2)令，求数列的前9项之和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，两式相减，整理得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到，结合裂项相消法，即可求解.【详解】（1）解：正项数列的前n项和为，满足，可得，两式相减可得，所以，因为，所以，又因为，解得，所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列，则数列的通项公式为，可得.（2）解：由（1）知，可得，所以．21．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数有两个极值点，，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）运用导数分类讨论、、时的单调性即可.（2）根据已知条件将证明转化成证明（），运用导数研究的最大值与0比较即可.【详解】（1）由题意知，定义域为，，令，则，①当时，，，在上单调递减，②当时，，的2个根为，，此时，则，或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，③当时，，的2个根为，，此时，，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，综上，①当时，在单调递减；②当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；③当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）因为有两个极值点，，所以由（1）可知，且，，所以，要证，即证，只需证，，令，，则，令，则恒成立，所以在上单调递减，又，，由零点存在性定理得，使得，即，所以时，，单调递增，时，，单调递减，则，令，，则当时，，所以在上单调递增，所以，所以，即．【点睛】隐零点问题求解三步曲：（1）用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围．（2）以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到f(x)的最值表达式．（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．22．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.(1)求双曲线的方程；(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(3)求的取值范围.【答案】(1)；(2)是，定值；(3)；