辽宁省大连市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程（2）教学实录 新人教B版选修2-1

辽宁省大连市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程（2）教学实录新人教B版选修2-1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：辽宁省大连市高中数学

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年10月25日上午第三节课

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过椭圆及其标准方程的学习，学生能够理解数学与实际问题的联系，提升运用数学语言描述现实世界的能力；同时，通过探索和解决问题，培养学生逻辑推理和数学建模的能力，提高空间想象和几何直观水平。教学难点与重点1.教学重点：

-理解椭圆的定义和几何性质，包括椭圆的两个焦点、长轴和短轴的关系。

-掌握椭圆的标准方程及其系数的含义，能够根据椭圆的几何特征写出其方程。

-能够根据椭圆的标准方程解出椭圆的几何参数，如焦距、长轴长度等。

2.教学难点：

-理解椭圆的定义和几何性质与方程之间的关系，学生可能难以直观地理解焦点、半长轴和半短轴如何影响方程的形式。

-在将椭圆的几何特征转化为方程的过程中，学生可能难以正确确定方程中的系数，例如在确定长轴和短轴方向时。

-解析方程求解椭圆上的点时，学生可能对如何处理方程中的根号表达式感到困惑，尤其是在涉及到方程的解的个数和性质时。

-对于一些特殊情况，如椭圆退化成线段或一个点时，学生可能难以判断和区分这些情况，并写出相应的方程。教学资源-软件资源：几何画板、数学软件（如MATLAB、Mathematica）

-课程平台：学校内部教学平台、网络教学平台

-信息化资源：椭圆几何性质的相关视频、椭圆方程的动画演示

-教学手段：实物模型（如椭圆球体）、多媒体投影仪、黑板或白板教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-结合实际生活情境，提出问题：“如何用数学方法描述地球的形状？”

-展示地球与椭圆的形状对比图，引导学生思考椭圆的特点和性质。

-提出本节课的学习目标：“掌握椭圆的定义、标准方程及其几何性质。”

2.新课讲授（用时15分钟）

-阐述椭圆的定义：通过展示椭圆的图形，讲解椭圆的焦点、长轴和短轴等几何要素。

-讲解椭圆的标准方程：展示标准方程的形式，解释系数a和b的意义，以及如何根据椭圆的几何特征确定系数。

-举例说明如何求解椭圆上的点：通过具体实例，引导学生掌握如何根据椭圆方程求解特定点。

3.实践活动（用时15分钟）

-学生独立完成练习题：提供若干椭圆方程，要求学生判断其表示的椭圆是实轴长还是虚轴长，并说明理由。

-分组讨论：学生以小组为单位，讨论如何根据椭圆的几何参数画出椭圆，并标注焦点和长轴。

-课堂展示：各小组选取代表，展示本组讨论的成果，并进行讲解。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-学生讨论内容举例：

-如何确定椭圆的标准方程中的系数a和b？

-椭圆的焦点距离中心点的距离如何计算？

-椭圆上的点到两焦点的距离之和是否恒定？

5.总结回顾（用时5分钟）

-回顾本节课学习内容：椭圆的定义、标准方程及其几何性质。

-强调重点内容：椭圆的焦点、长轴、短轴与方程系数的关系，以及如何根据方程求解椭圆上的点。

-解答学生在实践活动中的疑问，并对课堂展示的内容进行点评。教学资源拓展1.拓展资源：

-椭圆的几何应用：介绍椭圆在实际生活中的应用，如建筑设计中的椭圆窗、天文学中的行星轨道等。

-椭圆与双曲线、抛物线的比较：对比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质和方程，帮助学生理解不同圆锥曲线的特点。

-椭圆的参数方程：讲解椭圆的参数方程及其在计算机图形学中的应用。

-椭圆的极坐标方程：介绍椭圆的极坐标方程，并探讨其在极坐标系下的几何意义。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《圆锥曲线及其应用》等书籍，深入了解圆锥曲线的理论和应用。

-观看教育视频：通过在线教育平台观看关于椭圆及其应用的科普视频，如“数学之美”系列中的相关内容。

-实践操作：利用几何画板等软件，绘制不同参数的椭圆，观察其几何性质的变化。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛，通过解决实际问题加深对椭圆及其方程的理解。

-小组研究：组织学生进行小组研究，探讨椭圆在特定领域的应用，如建筑设计、天体物理学等。

-制作教学课件：学生可以尝试制作关于椭圆及其方程的教学课件，通过制作过程加深对知识的理解和记忆。

-开展课外阅读：推荐学生阅读《数学史上的椭圆》等书籍，了解椭圆在数学发展史上的地位和作用。

-探索椭圆的特殊情况：引导学生研究当椭圆退化成线段或一个点时，其方程和几何性质的变化。课后作业1.作业题目：已知椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，求椭圆的焦点坐标。

答案：椭圆的焦点坐标为\((\pm\sqrt{4-3},0)=(\pm1,0)\)。

2.作业题目：若椭圆的半长轴为5，半短轴为3，求椭圆的标准方程。

答案：椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)。

3.作业题目：已知椭圆的焦点坐标为\((\pm2,0)\)，长轴长度为8，求椭圆的标准方程。

答案：椭圆的半长轴为4，因此椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。由焦点距离公式\(c^2=a^2-b^2\)，得\(b^2=a^2-c^2=16-4=12\)。所以椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)。

4.作业题目：设椭圆的一个焦点为F，椭圆上的点P到两焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程。

答案：椭圆的长轴长度为10，因此半长轴\(a=5\)。设另一个焦点为F'，由于椭圆的对称性，点P到F和F'的距离相等，设为d。则有\(2a=2d=10\)，即\(d=5\)。由焦点距离公式\(c^2=a^2-b^2\)，得\(b^2=a^2-c^2=25-4=21\)。所以椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1\)。

5.作业题目：已知椭圆的一个顶点为原点，焦点在x轴上，且一个焦点到顶点的距离为6，椭圆的长轴长度为10，求椭圆的标准方程。

答案：椭圆的半长轴\(a=5\)，半焦距\(c=6\)。由焦点距离公式\(c^2=a^2-b^2\)，得\(b^2=a^2-c^2=25-36=-11\)。由于\(b^2\)不能为负数，说明此题有误，应为椭圆的半焦距\(c=3\)。因此，椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)。板书设计①椭圆的定义

-椭圆：平面内到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。

-焦点：椭圆上的两个定点，记为F1和F2。

-长轴：通过焦点且垂直于焦点的线段。

-短轴：通过椭圆中心且垂直于长轴的线段。

②椭圆的标准方程

-形式：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a是半长轴，b是半短轴。

-系数关系：\(a^2=b^2+c^2\)，其中c是焦距，即焦点到中心的距离。

③椭圆的几何性质

-焦距：\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)

-长轴长度：\(2a\)

-短轴长度：\(2b\)

-焦点到中心的距离：\(c\)

-焦点到椭圆上任一点的距离之和为常数，等于长轴的长度。

④椭圆的参数方程

-形式：\(x=a\cos\theta\),\(y=b\sin\theta\)，其中\(\theta\)是参数。

⑤椭圆的极坐标方程

-形式：\(\rho=\frac{2a}{1+e\cos\theta}\)，其中\(e\)是椭圆的离心率，\(\rho\)是极径，\(\theta\)是极角。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.多媒体辅助教学：在讲解椭圆的几何性质时，运用多媒体展示椭圆的动态变化，帮助学生直观理解椭圆的形状和特征。

2.实物演示教学：准备实物模型，如椭圆球体，让学生通过观察和操作，加深对椭圆几何性质的理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对椭圆几何性质的理解不够深入：在教学过程中，发现部分学生对椭圆的焦点、长轴、短轴等概念理解不够透彻，需要进一步强化基础知识。

2.学生计算能力有待提高：在求解椭圆方程的过程中，部分学生计算错误较多，说明在数学运算方面还有待加强。

3.教学方法单一：传统的讲授法虽然能让学生掌握基本知识，但缺乏互动性和趣味性，可能导致学生的学习兴趣不高。

反思改进措施（三）

1.加强基础知识教学：针对学生对椭圆几何性质理解不够深入的问题，可以增加课堂讲解的深度和广度，通过实例分析和问题引导，帮助学生建立完整的知识体系。

2.注重数学运算训练：针对学生计算能力不足的问题，可以在课后布置一些计算题，让学生通过练习提高计算速度和准确性。同时，在课堂上适时进行计算技巧的讲解和示范。

3.丰富教学方法：为了提高学生的学习兴趣，可以尝试以下教学方法：

-案例分析法：通过