江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A=x∣x2−4A．−∞,2 B．−∞,22．已知复数z满足1z+i=i（iA．4 B．2 C．1 D．13．已知a,b,c均为单位向量.若a=b+A．π6 B．π3 C．2π4．某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（

）A．极差 B．45百分位数 C．平均数 D．众数5．已知数列an为等比数列，公比为2，且a1+a2=3A．4 B．5 C．6 D．76．在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为aA．13 B．12 C．17．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,bA．y=±3C．y=±38．已知函数fx=1a2x+A．−6,1 B．2,3 二、多选题9．已知cosαcosβA．sinαsinβC．tanαtanβ10．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=π3，将菱形AA．直线A′C与直线BB．直线A′C与平面BC．四面体A′BD．四面体A′B11．已知函数fx满足：对任意x,y∈R,xA．fB．fxC．当x>1D．fx在1三、填空题12．若函数fx=sinx+acos13．已知椭圆C:x22+y2=1的上顶点为A，直线l:y=k14．将9个互不相同的向量ai=xi,四、解答题15．如图，△ABC内接于圆O,AB为圆O的直径，(1)求证：平面BCE⊥(2)若AB=5,B16．已知数列an的前n项和Sn满足Sn(1)求t的值；(2)证明：an(3)若n2<S17．甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分nn∈N*,n≥(1)已知甲先上场，p=①求挑战没有一关成功的概率；②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求EX(2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由.18．已知函数fx(1)当a=0时，求证：(2)若fx>0对于x(3)若存在x1,x2∈19．设M是由直线构成的集合，对于曲线C，若C上任意一点处的切线均在M中，且M中的任意一条直线都是C上某点处的切线，则称C为M的包络曲线.(1)已知圆C1:x2+y2=1为M(2)已知M2的包络曲线为C2:x2=4y，直线l1,l①证明：FA是FP、②若点A在圆x2+(答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DBCBBDCABCABD题号11答案ACD1．D【分析】直接解不等式确定集合A,【详解】由x2−4≤0可得A又A⊆B，所以2≤故选：D2．B【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z，再计算其模即可.【详解】因为1z+i=i所以z=故选：B3．C【分析】对a=b+【详解】已知a=b+则(b+c因为a,b,根据a2=|a|将其代入a2=b2+设b与c的夹角为θ，0≤θ≤π，且|b|=因为0≤θ≤则b与c夹角的大小是2π故选：C.4．B【分析】根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后45百分位数不变.【详解】对A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误；对B，由10×从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，8×所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据．对C，去掉一个最高分一个最低分，平均数可能变化，故C错误；对D，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D错误.故选：B.5．B【分析】根据题意求出等比数列的通项，在运用等比数列的性质及前n项和公式求解即可.【详解】因为数列an为等比数列，公比为2，且a1+a2故an==2k−故选：B.6．D【分析】用射影定理即可化简求值.【详解】如图所示，过点A作AD⊥B

则BD同理可证b=因为b−2c整理得ccosA=2b所以c=2b故选：D7．C【分析】求出直线MN的方程，与渐近线方程联立，求出M,N的坐标，利用△AM【详解】由题意可得A(a,0)由y=33由y=33因为△AMN即ac整理可得b2=3所以双曲线C的渐近线方程是y=故选：C.8．A【分析】由函数解析式，可得函数的单调性与对称性，化简不等式，可得答案.【详解】由1−则1−由a>1，则函数y=a2x在由fx2+f5可得x2<6−5故选：A.9．BC【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案.【详解】由cosα+β=cos由cosα由tanα由sin2故选：BC.10．ABD【分析】A.证明BD⊥平面AEC即可；B找出线面角∠A'CE，在△A【详解】如图所示，取BD的中点，连接A因△A'BD和因AE∩CE=E，AE⊂平面因A'C⊂平面A因BD⊥平面AEC，则A'故∠A'CE为直线因∠A′BC=因A'E=EC=3，则在△因S△A'EC=1点O1、O2分别为△A'BD和△BDC的外心，过O1、则CO在△A'EC中，则OC则四面体A′BC故选：ABD11．ACD【分析】由关系xfy+yfx=fxy取x=0，y=0可求f0，取x=1，y=1可求f1，再求f0+f1，判断A，取y=−1，可得fx，【详解】因为x,令x=0，y=所以f0令x=1，y=所以f1所以f0由xf令y=−1再将xf−1−fx=所以f−所以−fx=当x≠0时，将xfy+可得xf1x当x>1时，0<所以xfx<又函数fx为奇函数，所以当x<−1时，所以当x>1时，因为xf所以若xy≠0任取x1,x则fx因为x2>x1>所以fx2x所以函数fxx在设y=当x>1时，因为fx<0因为函数fxx在1,所以y'所以fx在1故选：ACD.12．3【分析】由条件可得fπ6+【详解】因为函数fx=sin所以fπ所以sinπ所以sinπ所以2cosπ6sinx所以cosπ6=故答案为：3.13．34【分析】根据椭圆方程求出上顶点A的坐标，再设出M(x1,y1)，N(x2,y2)，利用三角形重心坐标公式得到【详解】已知椭圆C:x2设M(x1,y1)，N(x由0+x1+x23直曲联立，将直线l:y=kx展开并整理得(1根据韦达定理可知x1又因为y1=kx1由x1+x2=32由②可得m=−4k×(−当k=34时，代入②可得，m=−故答案为：3414．72【分析】先确定每行、每列向量和的可能情况，再根据向量和的情况确定满足条件的向量组合，最后计算不同的填法种数.结合分步乘法原理计算即可.【详解】已知ai那么向量ai的所有可能情况有(−1设每行、每列的三个向量的和为s=(m,n又因为三行向量和等于三列向量和，且所有向量和为i=19而i=19ai的x分量和y分量都为0（xi,要使每行、每列的三个向量和为(0,0)，则每行、每列的三个向量的x分量和对于x分量，3个数的和为0，有(−对于y分量，3个数的和为0，也有(−先确定第一行的填法，第一行的3个向量的x分量和y分量都要满足(−1,0,1)的组合，x分量的排列有A当第一行确定后，第二行第一列的向量x分量要与第一行第一列和第三行第一列的x分量和为0，y分量同理，所以第二行第一列的向量是唯一确定的，同理第二行第二列、第二行第三列的向量也唯一确定，第三行的向量也就随之确定.因为第一行确定后，第二行和第三行可以交换位置.所以不同的填法种数是36×故答案为：72.15．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）易证AC⊥BC，CD⊥BC，故（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面BCE与平面【详解】（1）因为△ABC内接于圆O,A因为CD⊥平面ABC,又AC,CD⊂平面A因为BC⊂平面BCE，所以平面（2）因为CD⊥平面AB所以CD以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB=5则A2所以CE设平面BCE的法向量由m⋅C不妨设z1=1所以平面BCE的一个法向量又BD设平面BDE的法向量由n⋅B不妨设z2=1所以平面BDE的一个法向量所以cos<即平面BCE与平面BD16．(1)t(2)证明见解析(3)1【分析】（1）由关系式Snn=an+1−nt取（2）将关系式Snn=an+1−n（3）由（2）求Sn，代入不等式可得1<a【详解】（1）因为Sn所以S22=所以a2又a2=a（2）由（1）可得Snn=因此Sn相减得an得an所以an（3）由（2）得Sn由n2<S因为1<a1所以1<17．(1)①13；②(2)概率相同，理由见解析【分析】（1）①记甲先上场且两关都没成功的概率为P.甲每关不成功概率是1−p，乙每关不成功概率是②X取值有0，1，2.求出对应概率，再按期望算法算出期望.（2）设甲先出场成功概率为P1，乙先出场成功概率为P2.把P1和P【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P，则P=②依题可知，X的可能取值为0,PPPX所以EX（2）设甲先出场比赛挑战成功的概率为P1，乙先出场比赛挑战成功的概率为P则P=P=由pnp得P因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同.18．(1)证明见解析(2)−(3)证明见解析【分析】（1）由由a=0，得fx（2）求解f′x=x+1e（3）由（2）知a<−1，设x0=x2，判断fx单调性，x2【详解】（1）由a=0，得要证fxx>令gx=e当x∈−∞,0当x∈0,+∞所以gx>g因此fx（2）f令mx=①当a≥0时，由x∈因此fx②当a<0时，由x∈因此m'x>0，则1∘若−1≤则fx在0所以fx2∘若a<−因此f′x在0,π存在唯一的零点当0<x<当x0<x所以fx综上，a的取值范围为−1（3）由（2）知a<−1则fx在0,x注意到f0故fx在0,π注意到x1,2x2要证明x1<2因为fx1=即证2x因为x2+1所以，只需证2x只需证x2由（1）得ex因此x2设hx则h′x=1−所以hx从而hx2>从而x119．(1)l(2)①证明见解析；②1【分析】（1）求出圆心到直线的距离，即可判断；（2）解法一：①设As,t,Px1,y1,Qx2,y2，利用导数的几何意义求出切线方程，即可得到直线PQ的方程为y=【详解】（1）圆心C10,0到即直线l与圆C1相切，所以l（2）解法一：①证明：由y=14x2，知F设As因为l1∈M2，且l1所以l1是曲线C2在点其方程为PA:y则t=同理，