《高考备考指南 数学 》课件-第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数原理、概率、随机变量及其分布第十章

(本讲对应系统复习P265)课标要求考情概览通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义考向预测：从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题.预测本年度高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识.试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.m＋n2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.

m×n【特别提醒】1.分类加法计数原理的每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.2.分步乘法计数原理的每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.【常用结论】1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法.1.(教材习题改编)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(

)A.12B.8

C.6D.4C2.(2023年北京月考)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定的不同的平面个数为(

)A.40B.16C.13D.10C3.(2023年汉中期末)某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有(

)A.9种B.13种C.64种D.81种D4.(2022年山东模拟)(多选)二进制与我国古代的《易经》有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“——”，其中“——”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为(

)A.0B.1C.2D.4ABC5.(易错题)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有

种.

48用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步.有时可能应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求解.重难突破能力提升2分类加法计数原理的应用

(1)如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(

)A.8

B.12C.16D.24B

(2)(2022年安徽模拟)某单位从甲、乙、丙、丁、戊五名职工中选取3人负责一个地区的扶贫攻坚工作，其中甲、乙两人中至少要选取1人，甲、丙两人不能同时入选，则不同的选法种数为(

)A.6B.7C.8D.9A

【解题技巧】1.分类标准的选择：(1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏.2.应用分类加法计数原理解题的一般思路：【变式精练】1.(1)(2023年日照月考)集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(

)A.9B.14

C.15D.21B(2)(2022年南通模拟)某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定：①每位学生每天最多选择1项；②每位学生每项一周最多选择1次.学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有(

)A.6种B.7种C.12种D.14种D【解析】(1)当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，由P⊆Q，所以x＝y，所以x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).(2)由表可知周一至周四都可选阅读，周一、周三和周四可选体育，周一、周二和周四可选编程，故可分4类：当周一选阅读，若体育选周三，编程有2种选法，若体育选周四，编程有1种选法，共3种选法；当周二选阅读，若编程选周一，体育有2种选法，若编程选周四，体育有2种选法，共4种选法；当周三选阅读，若体育选周一，编程有2种选法，若体育选周四，编程有2种选法，共4种选法；当周四选阅读，若体育选周一，编程有1种选法，若体育选周三，编程有2种选法，共3种选法.所以不同的选课方案共有3＋4＋4＋3＝14(种).故选D.分步乘法计数原理的应用

(1)(2023年汕头二模)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为(

)A.2563B.27C.2553

D.6A

(2)(2022年辽宁二模)重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”.它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度.其锅具抽象成数学形状如图(同一类格子形状相同).“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味.现有6种不同食物(足够量)，其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物，且每格只放1种，若同时可以吃到这6种食物(不考虑位置)，则不同放法的种数是(

)A.108B.36C.9D.6C【解析】(1)分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色.故选A.(2)根据题意，中间格有1种放法；十字格有4个位置，有3种适合放入，所以有1种放2个位置，共有3种放法；四角格有4个位置，有2种适合放入，可分为1种放3个位置，1种放1个位置或每种均放2个位置，有2＋1＝3(种)放法.综上，共有1×3×3＝9(种)不同放法.故选C.【解题技巧】1.分步乘法计数原理的注意点：(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.2.应用分步乘法计数原理解题的一般思路：【变式精练】2.(1)(2023年武汉模拟)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为(

)A.288B.336C.576D.1680(2)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

(用数字作答).

ABCDEFGHB

336【解析】(1)第一步：排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车是不相同的，故白车的停法有4×3×2＝24(种)，第二步，排黑车，若白车选AF，则黑车有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停法有2×7＝14(种)，根据分步计数原理，共有24×14＝336(种).故选B.(2)甲有7种站法，乙有7种站法，丙有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343(种)站法，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336(种).两个原理的综合应用

示通法利用两个计数原理解决应用问题的一般思路：(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.考向1涂色问题

(2022年广州三模)如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湖南、安徽、陕西互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同的颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(

)A.480B.600C.720D.840C

【解析】首先涂陕西，有5种涂法，再涂湖北，有4种涂法.接着涂安徽，分类：若安徽与陕西同色，此时江西有3种，最后涂湖南，有3种涂法，即5×4×1×3×3＝180；若安徽与陕西不同色，则安徽有3种涂法，江西、湖南也各有3种涂法，即5×4×3×3×3＝540.综上，不同的涂色方案数为180＋540＝720.考向2几何问题(2023年茂名期末)方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体(由8个大小相同的小正方体构成)，若一只蚂蚁从A点出发，沿着竹棍到达B点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有(

)A.180种B.150种

C.120种D.90种D

考向3集合问题

已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有

个.

17

【解析】当A＝{1}时，B有23－1＝7(种)情况；当A＝{2}时，B有22－1＝3(种)情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1，2}时，B有22－1＝3(种)情况；当A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况.所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个).【解题技巧】1.在综合应用两个原理解决问题的注意点：(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.3.(1)(2023年北京月考)如图的5个区域，中心区域是一幅图画，现要在其余4个区域中涂色，有4种颜色可供选择，要求每1个区域只涂1种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(

)A.64B.72C.84D.96C

(2)(2023年青岛期中)已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中，位于第一、二象限内的点P的个数为(

)A.4B.5C.6D.7(3)如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有

个(用数字作答).A

40

【解析】(1)涂色方法分两类：①A和C同色，可从4种颜色中任选1种，有4种选法，B可从余下的3种颜色中任选1种，有3种选法，同理D也有3种选法，则不同的涂色方法种数为4×3×3＝36；②A和C不同色，不妨先从A涂色，有4种选法，C有3种选法，B有2种选法，D有2种选法，则不同的涂色方法种数为4×3×2×2＝48.故不同的涂色方法种数为36＋48＝84.(2)在第一象限的点共有1×2＝2(个)；在第二象限的点共有1×2＝2(个).由分类加法计数原理可得满足题意的点P的个数为2＋2＝4.故选A.(3)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).素养微专直击高考3易错警示——两个计数原理的应用(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(

)A.24种B.4种C.43种D.34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火