《高考备考指南 数学 》课件-第4讲　直线、平面垂直的判定与性质

立体几何与空间向量第七章

第4讲直线、平面垂直的判定与性质课标要求考情概览1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题考向预测：从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容.预测本年度将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；②利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直.试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型.学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏02重难突破

能力提升03配套训练基础整合自测纠偏11.直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的

一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

任意

(2)判定定理与性质定理：

定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条

直线都垂直，那么该直线与此平面垂直

性质定理垂直于同一个平面的两条直线

相交

a，b⊂αa∩b＝Ol⊥a

l⊥b平行

a⊥αb⊥α

2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的

所成的

叫做这条直线和这个平面所成的角.

(2)线面角θ的范围：

.

射影

角

3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念：①二面角：从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱

的射线，则两射线所构成的角叫做二面角的平面角.

③二面角α的范围：

.

两个半平面

垂直

［0，π］

(2)判定定理与性质定理：定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

性质定理两个平面垂直，如果有一个平面内一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

l⊥αl⊂β

α∩β＝a

【特别提醒】1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.【常用结论】直线与平面垂直的五个结论：(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.1.(2023年北京三模)已知α，β是两个不同平面，l是空间中的直线，若l⊥α，则“l∥β”是“α⊥β”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A2.(2023年淄博期末)如图，在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有(

)A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCDC3.(2023年莆田期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m∥n，n∥α，则m∥αB.若m⊥n，n⊥α，则m∥αC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若m∥α，α⊥β，则m⊥βC4.(教材习题改编)(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的有(

)A.平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B.平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C.平面α内的任一条直线必垂直于平面βD.在平面α内任意作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面βBD5.(易错题)如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有

对.

7两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.重难突破能力提升2直线与平面垂直的判定与性质

例1(2023年镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA.过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又因为AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥AE.因为AE∩BH＝E，AE，BH⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE.又因为AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又因为AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又因为AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.【解题技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质.2.证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【变式精练】1.(2021年甲卷)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，求证：BF⊥DE.

所以∠BHB1＝∠BGB1＋∠CBF＝∠BGB1＋∠BB1G＝90°，所以BF⊥B1G.又因为EG∩B1G＝G，EG，B1G⊂平面EGB1D，所以BF⊥平面EGB1D.又因为DE⊂平面EGB1D，所以BF⊥DE.平面与平面垂直的判定与性质

例2(2023年甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)求证：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC.又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解：如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O.因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱锥A1－BB1C1C的高为A1O.因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥AC，A1C⊥BC.又因为AB＝A1B，BC为公共边，所以△ABC与△A1BC全等，所以AC＝A1C.

【解题技巧】证明面面垂直的2种方法：(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决.【变式精练】2.(2021年乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)求证：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.(1)证明：由于PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，则PD⊥AM.又因为PB⊥AM，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，所以AM⊥平面PBD.因为AM⊂平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD.

平行、垂直关系的综合应用

例3(2023年天津月考)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD，M是SD的中点，AN⊥SC且交SC于点N.求证：(1)SB∥平面ACM；(2)AN⊥BD；(3)平面SAC⊥平面AMN.证明：(1)如图，连接BD交AC于点E，连接ME，因为ABCD是正方形，所以E是BD的中点.因为M是SD的中点，所以ME是△DSB的中位线.所以ME∥SB.又因为ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，所以SB∥平面ACM.(2)因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为SA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以BD⊥SA.又因为AC∩SA＝A，且AC，SA⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.又因为AN⊂平面SAC，所以AN⊥BD.(3)因为SA⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，所以DC⊥SA，易知DC⊥DA.因为SA∩DA＝A，且SA，DA⊂平面SAD，所以DC⊥平面SAD.因为AM⊂平面SAD，所以AM⊥DC.因为SA＝AD，M是SD的中点，所以AM⊥SD.因为DC∩SD＝D，且DC，SD⊂平面SDC，所以AM⊥平面SDC.因为SC⊂平面SDC，所以SC⊥AM.因为SC⊥AN，且AN∩AM＝A，AN，AM⊂平面AMN，所以SC⊥平面AMN.又因为SC⊂平面SAC，所以平面SAC⊥平面AMN.【解题技巧】平行、垂直的转化：

【变式精练】3.(2023年赣州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°，D，E分别为棱AB，B1C1的中点，F为线段C1E的中点.(1)求证：AF∥平面A1DE.(2)在棱BB1上是否存在一点G，使平面ACG⊥平面BB1C1C？若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

因为