《高考备考指南 数学 》课件-第3讲　圆的方程

平面解析几何第八章第3讲圆的方程(本讲对应系统复习P209)课标要求考情概览1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程考向预测：从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点.预测本年度将会考查：①利用直接法或待定系数法或动点轨迹求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③圆与其他知识交汇的综合问题.试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.学科素养：主要考查数学抽象、直观想象、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏02重难突破

能力提升03配套训练基础整合自测纠偏11.圆的定义及方程

定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：

半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：

半径：r＝

(a，b)

理论依据点到

的距离与半径的大小关系

三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2

r2⇔点在圆上

(x0－a)2＋(y0－b)2

r2⇔点在圆外

(x0－a)2＋(y0－b)2

r2⇔点在圆内

<＞＝2.点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆心【特别提醒】

不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆.【常用结论】1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

D2.(2022年广州三模)设甲：实数a<3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0是圆，则甲是乙的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B

A4.(2023年茂名月考)(多选)圆(x－2)2＋y2＝5，则

(

)A.关于点(2，0)对称B.关于直线y＝0对称C.关于直线x＋3y－2＝0对称D.关于直线x－y＋2＝0对称5.(2023年上海)已知圆x2＋y2－4x－m＝0的面积为π，则m＝

.

ABC－3重难突破能力提升2圆的方程

(1)(2023年榆林期末)若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方程为

(

)A.(x－2)2＋(y－3)2＝4B.(x－2)2＋(y－3)2＝8C.(x－3)2＋(y－6)2＝2D.(x－3)2＋(y－6)2＝10A(2)(2022年乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为

_

.

【解题技巧】求圆的方程的一般方法：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值，或选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.

D(2)(2022年甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)，(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为

.

(x－1)2＋(y＋1)2＝5

与圆有关的轨迹问题

已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2，2y).因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y).在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，OP，如图，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

即x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.【解题技巧】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【变式精练】2.(1)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(

)A.8x－6y－21＝0

B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0

D.6x－8y－21＝0D(2)如图，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是

.x2＋y2＝a2【解析】(1)由题意，得圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.

与圆有关的最值问题示通法处理与圆有关的最值问题，应充分探究圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用数形结合思想和转化与化归思想求解，其步骤为：(1)定型：根据题目条件，确定最值问题的类型.(2)作图：根据几何意义，利用数形结合思想求解.(3)求值：根据图形，利用相关知识求解.考向1斜率型最值问题

考向2截距型最值问题

C

考向3距离型最值问题

(2022年乐山期中)已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋3＝0，则x2＋y2的最大值为

(

)A.2B.3C.4D.9【解析】实数x，y满足x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，表示以C(2，0)为圆心、半径等于1的圆，则x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，故x2＋y2的最大值为(OC＋1)2＝(2＋1)2＝9.故选D.D考向4利用对称性求最值

已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是

.

(3)求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b