《高考备考指南 数学 》课件-第8讲　函数与方程

函数概念与基本初等函数第二章第8讲函数与方程(本讲对应系统复习P54)课标要求考情概览1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由函数零点存在定理判断零点是否存在.预测本年度高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现.学科素养：主要培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使

的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与

有交点⇔函数y＝f(x)有

.

零点f(x)＝0x轴(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)：如果函数y＝f(x)在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，并且有

，那么函数y＝f(x)在区间

内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个c也就是方程f(x)＝0的根.

f(a)·f(b)＜0f(c)＝0(a，b)

2.二次函数图象与零点的关系

(x1，0)，(x2，0)

(x1，0)

2

1

03.二分法对于在区间［a，b］上图象连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

零点f(a)f(b)＜0一分为二【特别提醒】1.函数零点存在定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数.2.函数y＝f(x)的零点即是方程f(x)＝0的实根，易误认为是函数的坐标点.【常用结论】有关函数零点的3个结论：(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

BA

C

AD

x＝3由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a，b］上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间［a，b］上有零点的充分不必要条件.重难突破能力提升2函数零点的确定与求解

例1(1)(2022年琼海三模)设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈(－1，1)时，f(x)＝－x2＋1，则函数y＝f(x)＋lgx的零点的个数为(

)A.4 B.5 C.6 D.7C

【解析】(1)y＝f(x)＋lg

x的零点个数即y＝f(x)，y＝－lg

x的图象交点个数.因为f(x－1)为奇函数，故f(x－1)的图象关于原点对称，故f(x)的图象关于点(－1，0)对称.又由于f(x＋1)为偶函数，故f(x)的图象关于直线x＝1对称.又当x∈(－1，1)时，f(x)＝－x2＋1，画出图象，易得函数y＝f(x)，y＝－lg

x的图象有6个交点.故选C.函数零点的确定与求解

B

【解题技巧】判定函数零点个数的方法：

直接法令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点利用函数的零点存在性定理利用函数零点存在定理时，不仅要求函数的图象在区间［a，b］上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；或将函数f(x)拆分成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数利用函数性质若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可得函数的零点个数

C

C【解析】(2)由f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，如图，作出y＝f(x)与y＝2|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为2.故选C.函数零点的综合应用

示通法求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数，以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解.考向1由函数零点个数求参数范围例2-1(2023年乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(

)A.(－∞，－2)

B.(－∞，－3)C.(－4，－1)

D.(－3，0)

B

D

【解析】依题意，作出y＝e－x与g(x)＝ln(x＋a)的图象如图所示.由题意知，函数y＝e－x与g(x)＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点.当a＞0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝ln

x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象可知此时只需要g(0)＝ln

a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝ln

x的图象向右平移－a个单位长度得到的，此时在(0，＋∞)上y＝e－x与g(x)的图象恒有交点，满足条件.综上，a＜e.故选D.考向3求函数多个零点(方程根)的和例2-3(2023年江西三模)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(x)＝f(2－x)，且当x∈［0，1］时，f(x)＝x2，则函数y＝7f(x)－x＋2的所有零点之和为(

)A.7

B.14

C.21

D.28B

【解题技巧】

看个性(1)根据函数零点的个数求参数范围，通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解；(2)根据函数零点所在区间求参数范围，应先判断函数的单调性，再利用函数零点存在定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围；(3)求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点的横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称、关于直线的对称等)找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；(2)列式：根据函数零点存在定理或结合函数图象列式；(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围

D

D

(3)(2023年天津)若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为

.

(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)【解析】(3)①当a＝0时，f(x)＝－2x－|x2＋1|＝－2x－x2－1＝－(x＋1)2，不满足题意；②当方程x2－ax＋1＝0满足a≠0且Δ≤0时，有a2－4≤0，即a∈［－2，0)∪(0，2］，此时f(x)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1，当a＝1时，不满足题意，当a≠1时，Δ＝(a－2)2＋4(a－1)＝a2＞0，满足题意；

二次函数的零点问题

例3

(2023年四川模拟)设函数f(x)＝x|x－a|，其中a为常数.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜2的解集；

二次函数的零点问题

例3

(2023年四川模拟)设函数f(x)＝x|x－a|，其中a为常数.(2)若方程f(x)＝1有三个不等实根，求a的取值范围.

【解题技巧】解决与二次函数有关的零点问题：(1)利用一元二次方程的求根公式；(2)利用一元二次方程根的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式(组).【变式精练】3.(2023年荆州期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋mx，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；

【变式精练】3.(2023年荆州期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋mx，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示.(2)讨论关于x的方程f(x)－a＝0的根的个数.解：(2)作出函数f(x)的图象如图所示.易知f(－1)＝f(1)＝－1.方程f(x)－a＝0的根的个数等价于y＝a与函数f(x)的图象交点的个数.由图可知，当a＜－1时，关于x的方程f(x)－a＝0的根的个数为0；当a＞0或a＝－1时，关于x的方程f(x)－a＝0的根的个数为2；当－1＜a＜0时，关于x的方程f(x)－a＝0的根的个数为4；当a＝0时，关于x的方程f(x)－a＝0的根的个数为3.素养微专直击高考3素养提升——直观想象：解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查二次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆分为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

D

作出函数t＝f(x)＋1的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点.综上，函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数为5.【点评】求解嵌套函数零点问题的步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点；(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数.

［－1，＋∞)【解析】