《高考备考指南 数学 》课件-第7讲　解三角形应用举例

三角函数、解三角形第四章第7讲解三角形应用举例(本讲对应系统复习P123)课标要求考情概览1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.2.利用正、余弦定理解决实际问题，根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题(难点)考向预测：从近三年高考情况来看，解三角形的实际应用考查频率不高，常见题型为选择、填空题，解答题考查减少，几何计算问题常结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，难度以中档题为主.学科素养：主要考查数学建模和数学运算的核心能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏东α(如图③)，南偏东30°，北偏西45°等.4.坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度).坡度又称为坡比.

C2.(2023年信宜二中月考)如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿

方向行驶

海里至海岛C.(

)

C3.(2021年乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(

)

A

ABD5.(易错题)如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°的方向，灯塔B在观察站南偏东60°的方向，则灯塔A相对于灯塔B的方向角是

.

南偏西80°相对于某一正方向的水平角：(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.重难突破能力提升2求距离、高度问题示通法解三角形应用题时，实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；若已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.考向1测量高度问题 (2022年大连一模)如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告；注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，老师发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差情况进行说明.

(2)①测量工具问题；②两次测量时位置的间距差；③用身高代替测角仪的高度.(注：如果有其他的合理测量方法也可；第二问中，写出以上三种原因中之一即可).考向2测量距离问题 (2023年大庆中学月考)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现取两点C，D，测得CD＝45m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为

m.

【解题技巧】1.测量高度问题的三个关注点：(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.2.测量距离问题的两个策略：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

C

A.346B.373C.446D.473B

测量角度问题

(1)求船的航行速度v(km/h)；(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？(1)求船的航行速度v(km/h)；

(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？

【解题技巧】测量角度问题的基本思路及关注点：(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

BD

正(余)弦定理在平面几何中的应用

(1)若CD＝2，求sin∠ADC；

(2)若C＝45°，求四边形ABCD的面积.

【解题技巧】与平面几何图形有关的解三角形问题的思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.

素养微专直击高考3