《高考备考指南 数学 》课件-第1讲　空间几何体的表面积与体积

立体几何与空间向量第七章

第1讲空间几何体的表面积与体积课标要求考情概览1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图考向预测：从近三年高考情况来看，本讲属于高考必考内容.预测本年度会一如既往地对本讲内容进行考查，题型以客观题为主，命题方式：①求几何体的表面积或体积，难度不大；②涉及与球有关的几何体的外接与内切问题，综合性较强.学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏02重难突破

能力提升03配套训练基础整合自测纠偏11.多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台图形

底面互相

且

多边形互相

且

侧棱平行且相等相交于

，

但不一定相等延长线交于

侧面形状平行四边形三角形梯形平行

全等

平行

相似

一点

一点

2.旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点延长线交于一点

轴截面

侧面展开图

全等的矩形

全等的等腰三角形

全等的等腰梯形

圆

矩形

扇形

扇环

3.立体图形的直观图(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴，y'轴的夹角为45°或135°，z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍

；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度

；平行于y轴的线段在直观图中

.

平行于坐标轴

不变

长度变为原来的一半

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝

S圆锥侧＝

S圆台侧＝

π(r＋r')l2πrl

πrl5.空间几何体的表面积与体积公式

表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝4πR2

C

B

C

39π

1.正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.2.正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.3.空间几何体表面积、体积的求法：(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.重难突破能力提升2基本立体图形

CC

【解题技巧】1.(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.2.多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.【变式精练】1.(1)(2023年绵阳模拟)如图，长方体ABCD－A'B'C'D'被截去一部分，其中EH∥A'D'，剩下的几何体是(

)A.棱台

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱(2)(2023年甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有

个公共点.

C12

空间几何体的表面积

例2(1)(2023年深圳模拟)圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为(

)A.384π

B.392π

C.398π

D.404πA(2)(2023年天津一模)我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(

)A.12π

B.24π

C.36π

D.48πC

【解题技巧】求空间几何体表面积的常见类型及思路：

求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

D

空间几何体的体积

A

【解题技巧】求体积的常用方法：直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换

C(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为

.

(3)如图所示的是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90̊，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，则该几何体的体积为

.

6

多面体与球的切、接问题

示通法立体几何中球的切、接问题，常用的解题策略：(1)构造特殊几何体；(2)解直角三角形；(3)借助三角形的斜边中点到各顶点的距离相等；(4)借助几何体的底面多边形的外接圆.

C

考向2几何体的内切球例4-2(2020年Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为

.

【解题技巧】“切”“接”问题处理的注意事项：(1)“切”的处理：首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，那么作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.(2)“接”的处理：抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

C

D

(2)