《高考备考指南 数学 》课件-第2讲　用样本估计总体

统计第九章第2讲用样本估计总体(本讲对应系统复习P250)课标要求考情概览1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.2.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.3.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义.4.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义.5.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差考向预测：从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点.预测本年度将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图估计总体，利用样本数字特征估计总体.题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型.频率分布直方图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题.学科素养：主要考查直观想象、数据分析的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1

定义特点众数在一组数据中出现次数

的数

体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且可能不止一个中位数将一组数据按

依次排列(相同的数据要重复列出)，处在最中间位置的那个数据(或最中间两个数据的平均数)

中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间位置的数据的信息，只有一个平均数一组数据的

与每一个样本数据有关，只有一个算术平均数大小顺序1.众数、中位数、平均数

最多

四分位数至少有(100－p)%

至少有p%

第p百分位数(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.

【特别提醒】1.平均数表示“平均水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”，它们都有各自的使用范围，在实际应用中要注意选择.一组数据的平均数、中位数都是唯一的.众数不唯一，可以有一个，也可以有多个.众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数.2.平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定.

2.方差的性质：若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性.1.(教材习题改编)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(

)A.一定为5.5kW·hB.高于5.5kW·hC.低于5.5kW·hD.约为5.5kW·hD2.(2020年Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(

)A.0.01B.0.1C.1D.10C3.(2023年绵阳模拟)已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为(

)A.64B.65C.64.5D.66B4.(2021年新高考Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(

)A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同CD

175.(易错题)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为

，第86百分位数为

.

14.5

频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2)中位数左边和右边的小矩形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.重难突破能力提升2总体百分位数的估计

(2023年辽宁月考)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦·时的部分按0.5元/(千瓦·时)收费，超过200千瓦·时但不超过400千瓦·时的部分按0.8元/(千瓦·时)收费，超过400千瓦·时的部分按1.0元/(千瓦·时)收费.(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦·时)的函数解析式；(2)为了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.

(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦·时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100×100%＝60%，用电量不超过400千瓦·时的占80%，所以75%分位数为m在［300，400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375，即用电量的75%分位数为375.

【变式精练】1.(2023年山东月考)从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；(2)求珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.故产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8

g，7.9

g.(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15，第50百分位数是8.5，第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15

g的珍珠为次品，质量大于8.15

g且小于或等于8.5

g的珍珠为合格品，质量大于8.5

g且小于或等于9.9

g的珍珠为优等品，质量大于9.9

g的珍珠为特优品.总体集中趋势的估计

(2023年大连二模)(多选)某城市100户居民月平均用电量(单位：度)，以［160，180)，［180，200)，［200，220)，［220，240)，［240，260)，［260，280)，［280，300)分组的频率分布直方图如图所示，则

(

)A.x＝0.0075B.月平均用电量的众数为210和230C.月平均用电量的中位数为224D.月平均用电量的75%分位数位于区间［240，260)内

ACD

【解题技巧】频率分布直方图的数字特征：(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数：中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于组中值与对应频率之积的和.【变式精练】2.(1)(2023年济南二模)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(

)A.7.6B.7.8C.8D.8.2B

(2)(2022年甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则(

)A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差B

总体离散程度的估计

(2023年乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536

【解题技巧】利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据：(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.【变式精练】3.(2021年乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下表：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

素养微专直击高考3典例精析

现对A，B两组有如下观测数据：

A34567B1615131417

素养提升——数据分析在统计中的应用

C【考查角度】极差、方差与标准差.【考查目的】考查数据处理能力，同时也