近五年内蒙古中考数学真题及答案 2024

2024年内蒙古中考数学试题及答案注意事项：1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1.计算所得结果是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．【详解】解：；故选C．2.若互为倒数，且满足，则的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值．【详解】解：∵互为倒数，∴，∵，∴，则，故选：B．3.如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（）A.8 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图，根据题意，得到主视图为长为4，高为2的长方形，进行求解即可．【详解】解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形，∴面积为；故选A．4.如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解．详解】解∶∵，∴，∵，∴，又，∴图中与互补的角有，，，共3个．故选∶C．5.为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可．【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为，画树状图如下：一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是，故选：D．6.将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可．【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，则抛物线变为，∴化成顶点式则为，故选：A．7.若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故选B．8.如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接，，，，是等腰三角形，，，是等边三角形，，，，，，故选：B．9.如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（）A.14 B.11 C.10 D.9【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可．【详解】解∶过A作于M，过B作于N，∵，，，，∴，，，，∴，，∴四边形的面积为，故选：D．10.如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可．【详解】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴过点作，则：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故选A．二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．11.计算：______．【答案】3【解析】【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可．【详解】解：原式；故答案为：3．12.已知一个n边形的内角和是，则________．【答案】7【解析】【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解．【详解】解：根据题意，得，解得．故答案为：713.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可．【详解】解：设一次函数解析式为，∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴，∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．14.如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______．【答案】##105度【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．【详解】解∶连接，∵，，∴，，∵是切线，∴，即，∵，∴，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，故答案：．15.若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______．【答案】##【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案．【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为，时，，，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为，．故答案为：．16.如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解∶过D作于H，∵菱形中，，，∴，，∴，都是等边三角形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．17.（1）先化简，再求值：，其中．（2）解方程：．【答案】（1），7；（2）【解析】【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可；（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【详解】解：（1），当时，原式；（2）去分母，得，解得，把代入，∴是原方程的解．18.《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：a．本校测试成绩频数（人数）分布表：等级优秀良好及格不及格频数（人数）40706030b．本校测试成绩统计表：平均数中位数优秀率及格率222.5228c．本校所在区县测试成绩统计表：平均数中位数优秀率及格率218.7223请根据所给信息，解答下列问题：（1）求出的值；（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．【答案】（1）（2）乙同学的测试成绩是（3）见解析【解析】【分析】本题考查的是频率分布表，中位数，平均数的意义．读懂统计图，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）先根据本校测试成绩频数（人数）分布表求出本次测试的总人数，利用优秀率成绩为优秀的人数除以总人数即可求解；（2）根据第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，即可求解；（3）根据优秀率和平均数的意义说明即可．【小问1详解】解：本次测试的总人数为：（人），成绩为优秀的人数为：40人，则优秀率为：；【小问2详解】解：第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228，则，答：乙同学的测试成绩是；【小问3详解】解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7，本校测试成绩的优秀率为，本校所在区县测试成绩优秀率为，，从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平；建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．19.如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．（1）请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明；（2）根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：（1）将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为即可；（2）过C作于E，分别在和中，利用正切的定义求出、，即可求解．【小问1详解】解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为；【小问2详解】解：如图，过C作于E，则四边形是矩形，，，∴，，在中，，在中，，∴，答：教学楼的高度为．20.图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：个123468.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？【答案】（1）（2）10个【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答；（2）根据（1）中y和x的关系式列出不等式求解即可．【小问1详解】解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，∴，检验∶当时，；当时，；当时，；当时，；∴；【小问2详解】解：根据题意，得，解得，∴碗的数量最多为10个．21.如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．（1）如图1，若，，求的半径；（2）如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）【答案】（1）3（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；（2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证；法二：连接，证明，得出，然后利用平行线判定即可得证【小问1详解】解∶∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，解得，即的半径为3；【小问2详解】证明：法一：过O作于F，∴，∵∴，又，，∴，∴，∴；法二：连接，∵是直径，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．22.如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．

（1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点．①求证：是的中点；②求；（2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②（2），理由见解析【解析】【分析】（1）①根据，得出为的中点，证明出即可；②先证明出得到，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；（2）连接交于点，证明，进一步证明出四边形为平行四边形，得出为的中位线，得到，再证明出得到，再通过等量代换即可求解．【小问1详解】解：①，为的中点，，是边的中点，，，在中，∴，又∵，，，是的中点；②，四边形为平行四边形，，，，∵，，，，，；【小问2详解】解：线段与线段之间的数量关系为：，理由如下：连接交于点，如下图：由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点，，又，，，，，四边形为平行四边形，，，，为的中点，，，为的中点，为的中位线，，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）相等，理由见解析【解析】【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式；（2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明；（3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论．【小问1详解】解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，，，将代入解析式，则，，抛物线的解析式表达式为；【小问2详解】证明：如图1，延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，，点的坐标为，设直线的解析式为，则，解得：直线的解析式为，则，，，，，，，，，，，，；小问3详解】解：过点作轴，交x轴于点G，令，即，解得：，根据题意得：，，轴，轴，，，，，即，，，点的横坐标为，由折叠的性质得到，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，，，，，，，，．【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．

2023年内蒙古中考数学真题及答案一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．的相反数是（

）A． B． C． D．2．在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“”的概率是（

）A． B． C． D．3．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（

）

A．3 B．4 C．5 D．124．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

5．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（

）A．

B．

C．

D．

6．已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．7．如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（

）

A． B． C． D．8．下列命题：①；②；③圆周角等于圆心角的一半；④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（

）

A． B． C． D．10．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在中，．求作：的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线，交于点O；（3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（

）A．两点确定一条直线B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（

）

A． B． C． D．12．如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）13．已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是___________．14．将一副三角尺如图所示放置，其中，则___________度．

15．点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________．16．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动___________s．

17．某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为______．

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．计算：．19．以下是某同学化简分式的部分运算过程：解：原式…………第一步…………第二步…………第三步……(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．20．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）

21．党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第个“世界读书日”到来之际，对全校名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：调查方式抽样调查调查对象×××中学部分学生平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）A．8小时以上B．6-8小时C．4~6小时D．0~4小时

请解答下列问题：(1)求参与本次抽样调查的学生人数；(2)求图2中扇形A所占百分比；(3)估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数；(4)在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．22．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．

(1)如图1，当点M在上时，___________度；(2)改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．23．如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，求的半径．24．某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．25．阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，∴．则．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．

(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长．参考答案1．B【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：的相反数是，故选：B．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2．A【分析】直接由概率公式求解即可．【详解】解：单词中共有10个字母，其中出现了1次，故任意选择一个字母恰好是字母“”的概率为：．故选：A．【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键．3．B【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长．【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到，故平移后点与点重合，则的平移距离为，故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．4．D【分析】依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、三、四象限．【详解】解：一次函数中，令，则；令，则，∴一次函数的图象经过点和，∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．5．C【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．【详解】解：根据题意得，，解得，在数轴上表示如下：

故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．6．D【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，∴，∵，∴，即，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．7．C【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，

，∵，∴，∵，∴，∵旋转，∴，，∴，∴，即旋转角的度数是．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．8．A【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．【详解】解：①，故①是真命题；②，故②是假命题；③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．综上，正确的只有①．故选A．【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．9．A【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，

则，，，∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．∵平分，，∴，∴，在中，，∴，又，∴阴影部分周长的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．10．D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．【详解】解：作直线（两点确定一条直线），连接，

∵由作图，，∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∵，∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴，∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．∴为的外接圆．故选：D．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．B【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将四个点的一个坐标代入中可解答．【详解】解：∵点，点，

∴轴，，由旋转得：，如图，过点B作轴于C，∴，∴，∴），设直线的解析式为：，则，∴，∴直线的解析式为：，当时，，∴点不在直线上，当时，，∴在直线上，当时，∴不在直线上，当时，，∴不在直线上．故选：B．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．12．C【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴，∴，故①正确．∵当时，，∴，故②错误．∵抛物线与x轴交于两点，其中，∴，∴，当时，，当时，，，，∴，∴，故③正确；设，，如图：

由图得，时，，故④正确．综上，正确的有①③④，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．13．5【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数）求解即可．【详解】解：由这组数据可知，数字5出现2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是5，故答案为：5．【点睛】本题考查众数的定义，熟练掌握众数的概念是解题的关键．14．105【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义即可求得．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，故答案为：105．【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：，移项合并同类项得，，系数化为1得，，∴点Q的横坐标为5，∵，由得，，解得：，把代入①得，，解得：，∴，∴点Q的纵坐标为，∴点Q的坐标为，∴点Q关于y轴对称点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．16．1【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，，

∵，∴，∵和是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案为：1．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．17．【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点A，B．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可．【详解】解：设圆心为O，过O作，，和相交于点，连接，如图，

∵，分别与所在圆相切于点A，B．∴，∵，∴，，∴优弧对应的圆心角为，，∵该圆半径是，∴，∴主视图的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题的关键．18．0【分析】根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可．【详解】解：，，．【点睛】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根等知识点，掌握基本的运算法则是解答本题的关键．19．(1)一(2)见解析【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：故第一步错误．故答案为：一．（2）解：．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．20．B处距离灯塔P大约有．【分析】在中，求出的长，再在中，求出即可．【详解】解：设与灯塔P的正东方向相交于点C，根据题意，得，，；在中，∵，∴；在中，，∵，∴，答：B处距离灯塔P大约有．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．21．(1)300(2)(3)320(4)【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，根据平均每周阅读课外书的时间在“小时”中人数及其所占百分比可得总人数；（2）用扇形A的圆心角除以即可求得扇形A所占百分比；（3）根据扇形统计图求得平均每周阅读课外书的时间在“小时”所占的百分比，用总人数乘以百分比即可求得；（4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）在这次调查中一共抽查学生（人），即参与本次抽样调查的学生人数为300人．（2）扇形A所占百分比为，即扇形A所占百分比为．（3）平均每周阅读课外书的时间在“小时”所占的百分比为，∴（人），即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数为320人．（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种，∴《西游记》被选中的概率为．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求扇形统计图的相关数据，样本估计总体，列表法或画树状图法求概率等，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．22．(1)30(2)，理由见解析【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出；（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出．【详解】（1）解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，∴，．∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，∴．在中，，∴．故答案为：．（2）解：结论：，理由如下：∵四边形是正方形，，．由折叠可得：，，，．又，，∴．【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．23．(1)见解析(2)见解析(3)的半径为．【分析】（1）利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；（2）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．【详解】（1）证明：∵，，∴；（2）证明：连接，

∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（3）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴．∴的半径为．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，由题意可得：，解得：经检验，是分式方程的解每台A型机器每天搬运吨答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台由题意可得：，解得：，公司采购金额：∵∴w随m的增大而减小∴当时，公司采购金额w有最小值，即，∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键．25．(1)，(2)(3)的值为或．【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，．故答案为：，；（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，∴，，∴；（3）解：∵实数s、t满足，∴s、t可以看作方程的两个根，∴，，∵，∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．26．(1)(2)①②或【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；（2）①设，过点作于点，求出，根据列出方程求出的值即可；②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果．【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，∴把，代入得，，解得，，∴抛物线的函数解析式为；（2）①设，过点作于点，如图，

∴∵∴∵轴，∴又∴四边形是矩形，∴∴∵∴∴（不合题意，舍去）∴∴；②设，对于，当时，解得，∴∵由勾股定理得，当点在第三象限时，如图，过点作轴于点，

则四边形是矩形，∵点与点关于对称，∴∵轴，∴∴∴∴∴四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∵∴∴∴∴设直线的解析式为，把代入得，，解得，，∴直线的解析式为，∴，∴,又且∴解得，（舍去）∴∴四边形的周长；当点在第二象限时，如图，

同理可得：解得，（舍去）∴∴四边形的周长；综上，四边形的周长为或．【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．

2022年内蒙古中考数学真题及答案注意事项：1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题自的答案标号涂黑．1.若，则m的值为（）A.8 B.6 C.5 D.2【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算计算，即可求解．【详解】，，故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，即（m、n为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．2.若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（）A. B. C. D.16【答案】C【解析】【分析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是4，可得，代入即可求解．【详解】∵a，b互为相反数，∴，∵c的倒数是4，∴，∴，故选：C【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得，是解题的关键．3.若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】解：A、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；B、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；C、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；D、∵m＞n，∴，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．4.几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（）A.3 B.4 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方体的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；【详解】由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正方体，可以画出左视图如图，所以这个几何体的左视图的面积为4故选：B【点睛】本题考查了物体的三视图，解题饿到关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图．5.2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．【详解】记小明为，其他2名一等奖为，列树状图如下：故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到概率为．故选：D．【点睛】此题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．6.若是方程两个实数根，则的值为（）A.3或 B.或9 C.3或 D.或6【答案】A【解析】【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．【详解】解：∵，∴，,则两根为：3或-1，当时，，当时，，故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．7.如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接OE，如图所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中点，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．8.在一次函数中，y的值随x值的增大而增大，且，则点在（）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限【答案】B【解析】【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．【详解】∵在一次函数中，y的值随x值的增大而增大，∴，即，又∵，∴，∴点在第三象限，故选：B【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．9.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（）A.1：4 B.4：1 C.1：2 D.2：1【答案】D【解析】【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，，，∴，而，∴四边形DCBM为平行四边形，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．10.已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．11.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（）A. B. C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】如图，过作于求解结合旋转：证明可得为等边三角形，求解再应用锐角三角函数可得答案．【详解】解：如图，过作于由，结合旋转：为等边三角形，∴A到的距离为3．故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．12.如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．【详解】过点O作OM⊥BC于点M，，四边形ABCD矩形，，，，四边形ABFE是正方形，，，，，由勾股定理得，，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．13.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．【答案】且【解析】【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．14.计算：___________．【答案】##【解析】【分析】分母相同，分子直接相加，根据完全平方公式的逆用即可得．【详解】解：原式=,故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握完全平方公式．15.某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：候选人通识知识专业知识实践能力甲809085乙808590根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是___________．（填“甲”或“乙”）【答案】甲【解析】【分析】分别计算甲和乙的加权平均数，进行比较，即可得到答案．【详解】甲的成绩为（分），乙的成绩为（分），，被录用的是甲，故答案为：甲．【点睛】本题考查了加权平均数，如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权，理解加权平均数的概念，掌握其公式是解题的关键．16.如图，已知的半径为2，是的弦．若，则劣弧的长为___________．【答案】【解析】【分析】根据条件可证为直角三角形，得到，之后利用弧长公式即可得到答案．【详解】解：由题知，，，，劣弧．故答案为：．【点睛】本题主要考查勾股定理，弧长的公式，掌握弧长的公式是解题的关键．17.若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．【答案】【解析】【分析】设这个多项式为A，由题意得：，求解即可．【详解】设这个多项式为A，由题意得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．18.如图，在中，，，D为边上一点，且，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（异于点C），连接，则的长为___________．【答案】##【解析】【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据题意得出，根据等腰三角形性质得出，根据，，得出，设，则，证明，得出，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出．【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：根据作图可知，，∵DF⊥BC，∴，∵，，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF的长，是解题的关键．19.如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为___________．【答案】4【解析】【分析】如图，连结BD，证明再求解反比例函数为：，直线AB为：再求解再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连结BD，，而在反比例函数图象上，即反比例函数为：，在反比例函数图象上，即设直线AB为：解得：∴直线AB为：当时，故答案为：4【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与，证明是解本题的关键．三、解答题：本大题共有6小题，共3分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．20.2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（，，，，），并绘制成如下的频数直方图（如图）．请根据所给信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了___________名学生；（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．【答案】（1）40（2）480人（3）加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安全意识；结合校内、校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救援等），提高避险能力【解析】【分析】（1）根据频数分布直方图进行求解即可；（2）由总人数乘以测试成绩达到80分及以上为优秀的比例即可求解；（3）根据题意提出合理化建议即可．【小问1详解】由频数分布直方图可得，一共抽取：（人）故答案为：40；【小问2详解】（人），所以优秀的学生人数约为480人；【小问3详解】加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安全意识；结合校内、校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救援等），提高避险能力．【点睛】本题考查了频数直方图，用样本估计总体，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．21.如图，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角为，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角为，已知，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物的高度．【答案】19米【解析】【分析】设米．在中，得到．在中，得到，．根据，列方程．【详解】解：如图．根据题意，，．设米．在中，∵，∴．在中，∵，∴．∵，∴，∴，∴，即．∵，∴（米）．答：建筑物的高度为19米．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，锐角三角函数的应用，解题的关键是找出直角三角形，熟练利用正切函数的定理求解．22.由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；（2）求当时，草莓价格m与x之间的函数关系式；（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？【答案】（1）40千克（2）（3）第10天的销售金额多【解析】【分析】（1）把x=14代入求出y值即可；（2）用待定系数法求解，设m与x之间的函数关系式为，把(4,24),(12,16)代入，求出k，b值即可求解；（3）把x=8，x=10分别代入y=12x，求出y，再把x=8，x=10分别代入（2）问所求解析式求出m值，然后分别求出my值，比较即可求解．【小问1详解】解：∵当时，，∴当时，（千克）．∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．【小问2详解】解：当时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为，∵点在的图像上，∴解得∴函数关系式为．【小问3详解】解：∵当时，，∴当时，，当时，．∵当时，，∴当时，，当时，．∴第8天的销售金额为：（元），第10天的销售金额为：（元）．∵，∴第10天的销售金额多．【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数图像，能从函数图像获取有用作息，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．23.如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．（1）若的半径为5，求的长；（2）试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，，即四边形是矩形，所以，根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OD，根据HL得，即可得，所以，即可得．【小问1详解】解：如图所示，连接．∵，∴，∵，∴，∵为的切线，C为切点，∴，∴，∵，垂足为F，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∴．∵的半径为5，∴，∵是的直径，∴，∴在中，．【小问2详解】，证明如下证明：方法一：如图所示，∵，∴，∴．∵，∴为等边三角形，∴．∵，∴．∴在中，，∴，即；方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴CE=OD，∵，在和中，∴（HL），∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．24.如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．①若，求的长；②在满足①的条件下，若，求证：；（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．【答案】（1）①；②证明见解析（2）【解析】【分析】（1）①解：根据平行四边形的性质可证，得到，再根据，，，结合平行四边形的性质求出的长，代入比例式即可求出的长；②先根据证明可得，再根据，求出，进一步证明，最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论．（2）如图，连接，先根据证明，再结合，说明，利用平行线分线段成比例定理可得，接着证明，可得到，设，则，根据构建方程求出，最后利用可得结论．【小问1详解】①解：如图，∵四边形是平行四边形，，，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的长为．②证明：∵，∴，∵，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【小问2详解】如图，连接，∵，，∴，∴，∵，在和中，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，即，∴，∴．∴的长为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的三线合一，平行线的判定及性质，平行线分线段成比例定理等知识．灵活运用相似三角形和全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；（3）如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在，【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）如图．过点M作轴，垂足为D．当与都以为底时，可得．再求解，，直线的解析式为．直线的解析式为，可得．从而可得答案；（3）过点M作轴，垂足为E．设，则．由，可得．同理可得．再利用，建立方程方程即可．【小问1详解】解：∵抛物线与x轴交于点，顶点为，∴解得∴该抛物线的解析式为．【小问2详解】证明：如图．过点M作轴，垂足为D．当与都以为底时，∵，∴．当时，则，解得．∵，∴，∴．设点M的坐标为，∵点M在第一象限，∴，∴，∴．设直线的解析式为，∴解得∴直线解析式为．设直线的解析式为，∵直线，∴，∴，∵，∴．∴直线的解析式为，将其代入中，得，∴，解得．∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为，∴，∴．∵，∴点N与点M关于y轴对称．【小问3详解】如图．存在点M，使得．理由如下：过点M作轴，垂足为E．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，∵，∴，∴．∵，∴，在和中，∵，∴，∴．∵，∴，∴．当时，，∴．∴存在点，使得．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点坐标问题，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．

2021年内蒙古中考数学真题及答案一、单选题1．据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）A．6B．5C．4D．32．下列运算结果中，绝对值最大的是（）3．已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）A．1B．3C．1或3D．2或34．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）5．如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（）6．若，则代数式的值为（）A．7B．4C．3D．A．-1B．-2C．1D．2A．80°B．70°C．60°D．50°9．下列命题正确的是（）A．在函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则1+a＞1-aC．垂直于半径的直线是圆的切线D．各边相等的圆内接四边形是正方形10．已知二次函数的图象经过第一象限的点(1,b)，则一次函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．如图，在△ABC中，AB=AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E．若AD=8，BC=6，则的值为（）12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题13．因式分解：14．化简：15．一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+b的立方根为_______．16．某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10，若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为________．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC=2，则MN的长为__________．18．如图，在ABCD中，AD=12，以AD为直径的O与BC相切于点E，连接OC．若OC=AB，则ABCD的周长为____________．19．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE=DC，EF=EC，则∠BAF的度数为__________．20．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D(4,y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为__________．三、解答题21．为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b=2a．请根据所给信息，解答下列问题：甲组20名学生竞赛成绩统计表乙组20名学生竞赛成绩统计图（1）求统计表中a，b的值；（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：(70+80+90+100)÷4=85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．22．某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个（1）求A、D两点之间的距离：（2）求隧道AB的长度．23．小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．24．如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交AC于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．25．如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在QR上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD=∠BAP，CD=AP，连接DP，求∠CPD的度数；（2）如图2，E是BC边上一点，且EC=3BE，当BP=CP时，连接EP并延长，交AC于点F．若，求证：4EF=3AB；（3）如图3，M是AC边上一点，当AM=2MC时，连接MP．若∠CMP=150，AB=6a，MP=，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S2-S1的值（用含a的代数式表示）．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M(m,n)是抛物线上一动点．（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n=3m时，①求点M的坐标：②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD//MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若EF+NF=2MF，求证：射线FE平分∠AFG．参考答案1-5BACAD6-10CBBDC11-12DA14．115．216．3.624.25.

2020年内蒙古中考数学真题及答案一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020 B．2020 C．﹣ D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（x+y）2＝x2+y2 C．（a5÷a2）2＝a6 D．（﹣3xy）2＝9xy23．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．任意一个五边形的外角和为540° B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的 D．太阳从西方升起6．（3分）如图，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E，若∠EAB＝120°，则∠ECD的度数是（）A．120° B．100° C．150° D．160°7．（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣38．（3分）不等式组的非负整数解有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个9．（3分）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．+＝130 D．﹣130＝10．（3分）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25° B．20° C．30° D．15°11．（3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点M，N分别OB，OC的中点，若OB＝8，OC＝6，则四边形DEMN的周长是（）A．14 B．20 C．22 D．2812．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）13．（3分）中国的领水面积约为370000km2，将370000科