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1.5.1二项式定理数学趣题:

今天是星期一,再过62008天后是星期几,

你知道吗？

思考:

（a+b)1=a+b,

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,由这些式子试猜想(a+b)4展开后的结果，它们的各项是什么呢？(a+b)5

，...呢？这里有规律吗?因为(a+b)3＝

(a+b)(a+b)(a+b)

对(a+b)3展开式进行分析:(每一项怎么来的)展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3,a2b,ab2,b3最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数.可计算如下:因为每个都不取b的情况有1种,即C30,所以a3的系数为C30;因为恰有1个取b的情况有C31种，所以a2b的系数为C31;因为恰有2个取b的情况有C32

种，所以ab2的系数为C32;因为恰有3个取b的情况有C33

种，所以b3的系数为C33;故(a+b)3＝C30

a3

＋C31a2b

＋C32ab2＋C33b3因为恰有4个取b的情况有C44种，所以b4的系数为C44(a+b)4＝C40

a4

＋C41a3b

＋C42

a2b2＋C43

ab3＋

C44b4因为(a+b)4＝

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？对(a+b)4展开式进行分析:(每一项怎么来的)展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来相乘得项,所以展开后其项的形式有:a4,a3b,a2b2,ab3,b4最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数.可计算如下:因为每个都不取b的情况有1种,即C40,所以a4的系数为C40;因为恰有1个取b的情况有C41

种，所以a3b的系数为C41;因为恰有2个取b的情况有C42

种，所以a2b2的系数为C42;因为恰有3个取b的情况有C43

种，所以ab3的系数为C43;分析(a+b)n的展开式:(每一项怎么来的)因为恰有n个取b的情况有Cnn种，所以b4的系数为Cnn因为(a+b)n＝

？展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来相乘得项,所以展开后其项的形式有:an,an-1b,an-2b2,…,bn最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数.可计算如下:因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0,所以an的系数为Cn0;因为恰有1个取b的情况有Cn1

种，所以an-1b的系数为Cn1;因为恰有2个取b的情况有Cn2

种，所以an-2b2的系数为Cn2;……………二项展开式定理右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式其中Cnran-rbr叫做二项展开式的通项，记作Tr+1Cnr

叫做

二项式系数.一般地，对于nN*，有：二项展开式的特点:①项数：共n＋1项②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n③系数:第r＋1项的二项式系数为(r＝0,1,2,…，n）解:把b用-b代替

(a-b)n=Cnan-Cna

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