集合的概念集合间的基本关系与基本运算课件高一上学期数学人教B版

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数学

必修第一册第一章集合与常用逻辑用语习题课——集合的概念、集合间的基本关系与基本运算课标定位素养阐释1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.5.理解给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.6.能使用维恩图表示集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.自主预习新知导学一、集合中元素的特点及集合的表示1.(1)集合中元素的三个特点是确定性、互异性、无序性.(2)常用的表示集合的方法有列举法、描述法、维恩图法.(3)常见的数集符号有自然数集N、正整数集N+(N*)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.2.(1)下列说法正确的是(

)A.速度特别快的所有火车能组成一个集合B.{-3,-2,2,3}={2,-2,3,-3}C.{0,1}∪{-1,1}={-1,1,0,1}D.实数集可表示为{R}(2)自然数集用列举法表示为

,用描述法表示为

.

答案:(1)B(2){0,1,2,3,…}

{x|x是自然数}二、集合间的基本关系1.(1)若集合B中的元素都是A中的元素,则B⊆A.(2)若A⊆B,且B中有不属于A的元素,则A⫋B.(3)若集合A与B的元素完全相同,则A=B.(4)设集合M中有n(n∈N)个元素,则它有2n个子集,有2n-1个真子集.2.(1)下列关系正确的是(

)A.⌀={0}B.⌀⊆{⌀}C.对任意集合A,都有⌀⫋AD.{3,0}={(0,3)}(2)若集合N={x|x⊆{-1,0,1}},则集合N有

个子集.

解析:(2)∵{x|x⊆{-1,0,1}},∴N中有23=8个元素,∴N有28个子集.答案:(1)B

(2)28三、集合的运算1.(1)A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A或x∈B},∁UA={x|x∈U且x∉A}.(2)若A∪B=B,则A⊆B;若A∩B=B,则B⊆A.(3)(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B).2.(1)若U=R,A=(-6,8),B=[0,+∞),求A∩B,∁UA,(∁UA)∩(∁UB).(2)已知集合A=(2a,+∞),B=[3,+∞),且A∪B=B,求实数a的取值范围.解:(1)由题意,得A∩B=[0,8),∁UA=(-∞,-6]∪[8,+∞),A∪B=(-6,+∞).故(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=(-∞,-6].(2)∵A∪B=B,∴A⊆B,∴2a≥3,∴a≥,∴a的取值范围是【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)空集是任何集合的子集,含有两个元素的集合是含有三个元素的集合的子集.(

)(2)a在集合A中,可用符号表示为a⊆A.(

)(3){x|x≤1}={t|t≤1}.(

)(4)若集合A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B={x|x∈R}.(

)××√×合作探究释疑解惑探究一集合中元素的三个特点【例1】

已知集合A={1,1+d,1+2d},B={1,q,q2}.若A⊆B,且B⊆A,求实数d,q的值.对集合概念的考查一般是依据集合中元素的确定性来求集合中的参数,利用集合元素的特点,列出方程(组)求解,但要注意检验.检验时要看两点:一是所得结果是否组成集合,主要看是否满足集合中元素的互异性;二是看是否满足题意.【变式训练1】

(1)若m,m,n,n,m2,n2组成集合M,则M中的元素最多有(

)A.6个 B.5个

C.4个 D.3个(2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(

)A.1 B.3 C.5 D.9解析:(1)由集合中的元素满足互异性,知集合M中的元素最多有m,n,m2,n2,且4个元素互不相同.(2)∵A={0,1,2},B={x-y|x∈A,y∈A},∴当x=0时,y分别取0,1,2,得x-y的值分别为0,-1,-2;当x=1时,y分别取0,1,2,得x-y的值分别为1,0,-1;当x=2时,y分别取0,1,2,得x-y的值分别为2,1,0.∴B={-2,-1,0,1,2}.故选C.答案:(1)C

(2)C探究二集合的三种表示方法【例2】

已知集合A={y|y=x2},B={(x,y)|y=x},求A∩B.分析:先弄清A,B中各含有哪些元素,再求A∩B.解:A={y|y=x2}=[0,+∞),集合B是由直线y=x上的所有点组成的集合.因为A是数集,B是点集,所以A∩B=⌀.(1)将例2变为集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=x},求A∩B.(2)将例2变为集合A={y|y=x2},B={x|y=x},求A∩B.解:(1)A∩B={(0,0),(1,1)}.(2)易知A={y|y=x2}=[0,+∞),B=R,故A∩B=[0,+∞).研究一个集合,首先要看集合中元素的形式,然后看元素的限制条件.当集合用描述法表示时,注意弄清楚其元素表示的意义是什么.【变式训练2】

已知集合M={x|x是圆},N={x|x是直线},则集合M∩N中元素的个数是(

)A.0 B.1C.2 D.0或1或2解析:易知M∩N=⌀,故M∩N中有0个元素.答案:A探究三集合间的基本关系A.A⫋B

B.B⫋AC.A=B

D.以上都不对答案:C判断两个集合关系的两种常用方法:一是化简集合,从表达式中寻找两个集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系.【变式训练3】

(1)已知集合M={a||a|≥2},A={a|(a-2)(a2-3)=0,a∈M},则集合A的子集共有(

)A.1个 B.2个

C.4个

D.8个(2)已知集合A={x|0<x≤4},B={x|x<a}.若A⊆B,且实数a的取值范围是(c,+∞),则c=

.

解析:(1)由|a|≥2,得a≥2或a≤-2.又a∈M,(a-2)(a2-3)=0,解得a=2或a=±(舍去),即A中只有一个元素2,故A的子集只有2个.(2)∵A={x|0<x≤4},B={x|x<a},A⊆B,∴a>4.又a的取值范围是a>c,∴c=4.答案:(1)B

(2)4探究四集合的运算【例4】

已知全集U=R,集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},M={x|2x-a<0}.(1)求A∩(∁UB);(2)若(A∪B)⊆M,求实数a的取值范围.分析:(1)利用数轴,根据集合的基本运算可求A∩(∁UB);(2)根据(A∪B)⊆M建立关系,从而求出实数a的取值范围.解:(1)∵A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},∴∁UB={x|x≤0或x≥3},∴A∩(∁UB)={x|-1<x≤0}.(2)由题意,得A∪B={x|-1<x<3},M={x|2x-a<0}=若(A∪B)⊆M,则

≥3,解得a≥6.故实数a的取值范围为[6,+∞).解决集合的运算问题,关键在于把握集合中元素的构成.涉及不等式的集合运算问题,应注意利用数轴帮助求解,同时应注意端点值的取舍.【变式训练4】

已知全集U={x∈Z|-4≤x≤4},A={-1,a2+1,a2-3},B={a-3,a-1,a+1},且A∩B={-2},求∁U(A∪B).解:∵A∩B={-2},∴-2∈A.又a2+1>0,∴a2-3=-2,解得a=±1.当a=1时,A={-1,2,-2},B={-2,0,2},则A∩B={-2,2},与A∩B={-2}矛盾.∴a≠1.当a=-1时,A={-1,2,-2},B={-4,-2,0},则A∩B={-2},符合题意.此时A∪B={-4,-2,-1,0,2}.∵U={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},∴∁U(A∪B)={-3,1,3,4}.探究五与集合有关的新定义问题【例5】

设S是整数集Z的非空子集,如果对于任意的a,b∈S,有ab∈S,那么称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且对于任意的a,b,c∈T,有abc∈T;对于任意的x,y,z∈V,有xyz∈V,则下列结论恒成立的是(

)A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的分析:①T∪V=Z;

②对于任意的a,b,c∈T,有abc∈T;

③对于任意的x,y,z∈V,有xyz∈V

得到T,V

判断T,V是否封闭解析:取T={x∈Z|x<0},V={x∈Z|x≥0},可得T关于乘法不封闭,V关于乘法封闭;又取T={x|x是奇数},V={x|x是偶数},可得T,V关于乘法均封闭,故排除B,C,D.答案:A在集合的新定义问题中,出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算.解题时,要抓住两点:(1)分析新定义的特点,把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚,并且能够应用到具体的解题过程中;(2)集合中元素的特点以及集合的运算性质是解题的突破口,要熟练掌握.【变式训练5】

对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作A×B.例如,A={1,2},B={3,4},则有:A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.据此,试回答下列问题:(1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D;(2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B;(3)若集合A有3个元素,集合B有4个元素,试确定A×B有几个元素.解:(1)C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}.(2)因为A×B={(1,2),(2,2)},所以A={1,2},B={2}.(3)从以上解题过程中可以看出,A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关,即集合A中的任何一个元素与集合B中的每一个元素对应结合,得到集合A×B中的一个新元素.若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A×B中的元素应有(m×n)个.所以若集合A有3个元素,集合B有4个元素,则A×B有3×4=12(个)元素.思想方法

分类讨论思想在集合中的应用【典例】

设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∩B=B,求实数a的取值范围;(2)若A∪B=B,求实数a的值.分析:明确A∩B=B和A∪B=B的含义.将A∩B=B和A∪B=B分别转化为等价的关系式B⊆A和A⊆B是解决本题的关键,注意在分析包含关系式B⊆A时,不要漏掉B=⌀的情形.解:化简集合A,得A={-4,0}.(1)若A∩B=B,则B⊆A,可知集合B为空集,{0},{-4},或B=A.①若B=⌀,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.由①②③④,得a=1或a≤-1.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.又A={-4,0},而B至多只有两个元素,∴A=B,故应有a=1.遇到“A⊆B”的条件,需分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论.【变式训练】

若集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},A∩B={9},求A∪B.解:因为A∩B={9},所以9∈A,所以x2=9或2x-1=9,解得x=±3或x=5.①当x=3时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},由集合中元素的互异性,得x=3不合题意,应舍去.②当x=-3时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9}满足题意;③当x=5时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与条件矛盾,舍去.综上所述,A∪B={-7,-4,-8,4,9}.随堂练习1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=(

)A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}解析:当x=1时,y=3-2=1;当x=2时,y=3×2-2=4;当x=3时,y=3×3-2=7;当x=4时,y=3×4-2=10.即B={1,4,7,10}.因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}.故选D.答案:D2.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是(

)A.M=N

B.M∪N=N C.M∩N=N D.M∩N=⌀解析:因为集合M={-1,0,1},所以N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b}={-1,0},所以M⊇N,即M∩N=N.答案:C3.设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=

.

解析:由题意,得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∴∁UA={4,6,7,9,10}.∴(